高中数学北师大版选修2-2第2章 拓展资料：活用导数四则运算法则求函数的导数

活用导数四则运算法则求函数的导数导数的运算是进一步学习导数的基础，导数的四则运算更是导数后续学习的基石。高考说明中对导数的运算部分为B级（理解）要求，课程标准中也指出要求学生会利用导数的运算法则来求解导数，同时也应该避免过量的形式化的运算练习。下面通过实例帮助同学们进一步的理解四则运算法则：一、函数的和、差的导数例1、求下列函数的导数（1），（2）， 析：根据导数的加减运算法则： 易求得导数。解：（1） ， （2）点评：记住常见函数的导数是正确求解导数的关键，另外函数和、差的导数公式推广到多个函数的和、差形式后仍然成立。同步练习：（1） （2）答案：（1）, (2) 二、函数的积的导数例2、求下列函数的导数（1）, (2) 析：牢记，特别要注意不要和进行混淆。同时要记住若C为常数，则，由此进一步可以得到。解：（1）法一：法二：因为，故（2）法一：法二：原式可化简为，故点评：一般地，在可能的情况下尽量少用或者不用乘法的导数法则，所以在求导之前，应利用代数、三角恒等变形等对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，从而提高运算速度，避免差错。同步练习：（1）， （2） 答案：（1）， （2）三、函数的商的导数例3、求下列函数的导数 （1） （2） （3）析：正确利用商的导数的求导法则即可，要避免发生，及这样的错误。对于（2）表面看不符合商式的运算形式，但是切化弦后不难发现易用公式求解。解：（1）, (2)因为。故（3）因为，故点评：本题的（3）应引起同学们的注意，对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数。同步练习：（1）函数的导数为 。（2）设，则y= 。 （3）函数的导数为 。答案：（1）， （2），故， （3），故。四、导数运算法则的综合运用例4、（1）已知，则 。 （2）已知，则= 。析：（1）本题中理解为一个常数为解题的关键。(2)要根据试题式子结构以及求解结论灵活运用导数的乘法法则即可。解：（1）由题意，令，于是。（2）令，于是，所以，令。点评：赋值思想在（1）中得到了很好的体现，整体思想在（2）中也被发挥的淋漓尽致，同学们要好好体会这两种思想方法。同步练习：（1）已知，则 。(2)设，则= 。答案：（1）由例题知，故在中令得7。（2）令，则，故。例5、（1）已知，且函数在出切线的斜率为20，求值。 （2）若函数处的导数值与函数值互为相反数，求得值。析：对于（1）由导函数在某点处的函数值的几何意义为该点处切线的斜率这一结论易求得的值；对于（2）正确求导后利用条件可求。解：（1）由题意，故，因为函数在出切线的斜率为20。（2）因为，故由题意，。点评：对于（1）也可以利用复合函数的求导法则进行。高考一般不会直接考查导数的四则运算，而是和其他知识点综合考查。这类题目属于中低档题，只要方法得当，运算准确便可得分。同步练习：（1）已知函数，且，求。（2）函数，若求值。答案：（1），由，得。（2）因为，由得，故。例6、已知函数，满足，求函数的图像在处的切线方程。析：本题特点是抽象函数，但是只要抓住题目的特征及导数的几何意义问题亦不难解决。解：由题意，故，又，故切线方程为，即。点评：本题为苏北五市（徐淮连宿盐）2008第三次调研试题，当时从统计看得分率并不高，主要原因是：一、导数的运算法则用错，二、在代入有关数值或者运算时出错。从这提醒同学们要加强运算能力的训练，争取考试中