高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（一）学案 新人教a版必修4

1.2.1任意角的三角函数【学习要求】1通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数2借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号3通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等【学法指导】1在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念2紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆3理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.1任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：y叫做的 ，记作 ，即 ；x叫做的 ，记作 ，即 ；叫做的 ，记作 ，即 对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数(2)设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin _，cos _，tan _.2正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin(k2) ，cos(k2) ，tan(k2) ，其中kZ.探究点一锐角三角函数的定义问题1RtABC中，C90，若已知a3，b4，c5，试求sin A，cos B，sin B，cos A，tan A，tan B的值答sin Acos B；sin Bcos A；tan A；tan B.问题2如图，锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PMx轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sin ，cos ，tan 吗？答sin ，cos ，tan .问题3如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆锐角的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sin ，cos ，tan .探究点二任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”根据相似三角形对应边成比例可知这两种定义方法本质上是一致的问题1单位圆定义法：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： 叫做的正弦，记作sin ，即sin ； 叫做的余弦，记作cos ，即cos ；叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)问题2终边定义法：设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sin _，cos _，tan _ (x0)，其中r0.问题3由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角的终边位置有关，即与角有关，与角终边上P点的位置无关请以角为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的证明设角的终边与单位圆交于点P(x，y)，过点P作PMx轴，垂足为M，则sin y，cos x，tan .设P(x，y)为角上任意一点，且P与P不重合，过点P作PMx轴，垂足为M.则易知RtOMPRtOMP.于是，.y，x，.y，x，.(其中r0)即sin y，cos x，tan .故任意角三角函数与角终边上点P的位置无关，上述两种定义是一致的问题4利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角0sin 0101cos 1010tan 01无10无解以为例，其余略设P(x，y)为上任一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上x0，y0.sin 1；cos 0；tan ，无意义探究点三三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号(1)sin (r0)，因此sin 的符号与y的符号相同，当的终边在第 象限时，sin 0；当的终边在第 象限时，sin 0)，因此cos 的符号与x的符号相同，当的终边在第 象限时，cos 0；当的终边在第 象限时，cos 0，tan 0；当终边在第 象限时，xy0，tan 0，则r17a，于是sin ，cos ，tan .(2)若a0，是第一或第二象限角，当为第一象限角时，sin ，tan 3；当为第二象限角时，sin ，tan 3.例2求下列各式的值(1)cos tan；(2)sin(1 320)cos 1 110cos(1 020)sin 750tan 495.解(1)原式costancos tan 1.(2)原式sin(4360120)cos(336030)cos(336060)sin(236030)tan(360135)sin 120cos 30cos 60sin 30tan 13510.小结利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”同时要熟记特殊角的三角函数值跟踪训练2求下列各式的值(1)costan ；(2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540.解(1)原式costancos tan 1.(2)原式sin(360270)tan(336045)tan(236045)cos(360180)sin 270tan 45tan 45cos 18011110.例3判断下列各式的符号：(1)sin cos (其中是第二象限角)；(2)sin 285cos(105)；(3)sin 3cos 4tan.解(1)是第二象限角sin 0，cos 0，sin cos 0.(2)285是第四象限角，sin 2850，105是第三象限角，cos(105)0.(3)3，40，cos 40，sin 3cos 4tan0.小结准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆跟踪训练3(1)若sin cos 0，则是第_象限角(2)代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是_1sin(1 380)的值为()A BC D解析sin(1 380)sin (360460)sin 60.2如果角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，则cos 的值等于()A. B C D解析2sin 301，2cos 30，r2，cos .3若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于()A B C D解析cos ，5，y216，y0，y4，tan .4如果sin x|sin x|，那么角x的取值集合是_答案x|2kx2k，