数学建模-图论方法专题【PPT课件】

数学建模 图论方法专题 图论方法专题 一 图的基本概念 二 三 最短路问题及其算法 四 最小生成树问题 五 图 图的矩阵表示 六 网络最大流 A B C D 哥尼斯堡七桥示意图 问题 1:七桥问题 能否从任一陆地出发通过每座桥恰好一次而 回到出发点？ 数学建模 七桥问题模拟图 : A B D C 欧拉指出：如果每块陆地所连接的桥都是偶数座，则从任一陆地出发，必能通过每座桥恰好一次而回到出发地。 数学建模 问题 2:哈密顿圈（环球旅行游戏） 十二面体的 20个顶点代表世界上 20个城市，能 否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？ 数学建模 问题 3:四色问题 对任何一张地图进行着色，两个共同边界的 国家染不同的颜色，则只需要四种颜色就够了。 德 摩尔根致哈密顿的信（ 1852年 10月 23日） 我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚 了了的事实。他说如果任意划分一 个图形并给各部分着上颜色，使任 何具有公共边界的部分颜色不同， 那么需要且仅需要四种颜色就够了 。下图是需要四种颜色的例子 （图 1）。 数学建模 1847年德国的克希霍夫 ( 树 的概念和实践利用于工程技巧的电网络方程组的研究； 1857年英国的 凯莱 (提出了树的概念，并运用于有机化合物的分子构造的研究中； 1936年匈牙利的数学家哥尼格 (出了第一本图论专著 有限图与无穷图的理论 ，使图论成为一门独立的学科。 图论的应用 数学建模 由于管理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等方面的大量问题的出现，大大增进了图论的发展。特别是电 子计算机 的大量应用，使大规模问题的求解成为可能。实际问题如 电网络 、 交通网络 、 电路设计 、 数据结构 以及社会科学中的问题所涉及到的图形都是很复杂的，需要计算机的辅助才有可能进行分析和解决。目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、经济治理等几乎所有学科领域都有应用。 数学建模 数学建模 9 2017年 6月 12日 一、图的基本概念 假设 平面上 的 n 个点，把其中的 一些点对用曲线或直线连接起来，不考虑点的位置与连线曲直长短， 形成 的 一个关系结构 称为 一个图。记 )(),( ,)( 是 顶点集，)( 是 边集。 如果各条边都加上方向，则称为 有向图 ，否则称为 无向图 。如果有的边有方向，有的边无方向，则称为 混合图 。 如果任两顶点间最多有一条边，且每条边的两个端点皆不重合的图，则称为 简单图 。 10 2017年 6月 12日 一、图的基本概念 如果图的二顶点间有边相连，则称此顶点 相邻 ，每一对顶点都相邻的图称为 完全图 ，否则称为 非完全图 ，完全图记为 若 0,)( ，且 X 中无相邻的顶点对， Y 中亦然，则称图 G 为 二分图 . 数学建模 例：什么是匹配：把上图想象成 3男4女搞对象（无同性吸引），连线代表彼此有好感，但最终只能 1夫 1妻，最终的配对结果连线就就是一个匹配。 什么是最大匹配：在有好感的基础上，能够最多发展几对。 设 )( ，是边 )( 的端点，则称 v 与 e 相关联 ，与顶点 v 关联的边数之和称为该顶点的 次数 ， 记为 )( 一、图的基本概念 可以证明 :)(2)()(， 且由此可知：奇次顶点的总数是偶数，即所有顶点的次数之和是边数的两倍。 次数为奇数顶点称为 奇点 ， 否则称为 偶点 。 11 2017年 6月 12日 数学建模 常用 d(v)表示图 d(v)称为顶点 与顶点 度 ，记作 d +(v)， 与顶点 度 ，记作 d -(v)。 用 N(v)表示图 一、图的基本概念 数学建模 几个基本定理： ，有，、对图数个。、度为奇数的顶点有偶2 . 3则是有向图，、设一、图的基本概念 数学建模 若将图 (e), 则称 F(e)为该边的 权 , 并称图 权图 , 记为 G = (V, E , F ). 设 G = (V, E )是一个图 , , V, 且“ 1 i k, 1 E, 则称 v0 的一条 通路 . 如果通路中没有相同的顶点 , 则称此通路为 路径 , 简称路 . 始点和终点相同的路称为 圈 或 回路 . 一、图的基本概念 数学建模 顶点 u与 通 的，如果存在 u到 二顶点都连通的图称为 连通图 ，否则，称为 非连通图 。极大连通子图称为 连通分图 。 连通而无圈的图称为 树 , 常用 T 表示树 . 树中最长路的边数称为树的 高， 度数为 1的顶点称为 树叶 。其余的顶点称为 分枝点 。树的边称为 树枝 。 设 果 称 有向树 ，也简称 树 。 一、图的基本概念 数学建模 邻接矩阵（结点与结点的关系） 关联矩阵（结点与边的关系） 路径矩阵（任意两结点之间是否有路径） 可达性矩阵 直达矩阵 等等 二、图的矩阵表示 数学建模 1 有向图的邻接矩阵 A = (n n （ 0,1例 1：写出右图的邻接矩阵 ： 0101100101001010 二、图的矩阵表示 数学建模 2 有向图的权矩阵 A = ( n n （ 0,例 2：写出右图的权矩阵 ： 05420370860 二、图的矩阵表示 数学建模 3 有向图的 关联矩阵 A =(n m （ 不关联与若的终点是若的始点是若,1,1有向图： 无向图： 不关联与若关联与若,1二、图的矩阵表示 数学建模 例 3：分别写出右边两图的关联矩阵 解：分别为： 1101100011011000000111011001的矩阵表示 0001101001111000011010000图论 二、图的矩阵表示 4 应用实例 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 5个槽，每个槽的高度从 1， 2， 3， 4， 5， 6)中任取一数由于工艺及其它原因，制造锁具时对 5个槽的高度有两个限制： (1)至少有 3个不同的数； (2)相邻两槽的高度之差不能为 5 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批我们的问题是如何确定每一批锁具的个数 ? 1994年全国大学生数学建模竞赛 锁具装箱 )中关于锁具总数的问题可叙述如下： 数学建模 该问题用图论中的邻接矩阵解决较为简单易见，令 x=中， 的锁具数，即：满足限制条件 (2)的锁具数， 且槽高仅有 1个或 2个的锁具数，即：满足限制条件 (2)但不满足限制条件 (1)的锁具数 我们用图论方法计算 t和 s. 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , , 5 G V E V E i j i j V i j ， 且在 的道路对应于一个相 邻两槽高度之差不超过 5的锁具，即满足限制条件（ 2）的锁具，反之亦然，于是可以通过 来计算 体步骤如下： 构造无向图 1 2 4 3 5 6 数学建模 二 、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 111110111111111111111111111111011111A5555545555555555555555555555554555552A( i 数学建模 又令 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） ,654321 其中 2)但不满足限制条件 (1)且首位为 （ i=1,2,3,4,5,6),显然 y1=y2=y4=y3=是我们只需要计算 计算 ， 12， 13， 14， 15的情形若只有 1，这样的锁具效只有 1个， 若只有 1和 i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数 =和 度为 3的道路数，此数可通过 1 1 2 4 3 5 6 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例解法分析） 4444222211111211 ，行第行第事实上，因为 其中 i=2,3,4,5,显然 +(4+4+4+44=61. 同理，计算 ,21,23,24,25, 26时的情形，类似计算可得 +(4+4+4+4 5=76 于是， s=61 2+76 4=426， x=6306880. 该算法既易理解又易操作并且又可扩展 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 公交线路选择问题： 在给定某城市公交线路的公交网信息后，求任意两个站点之间的最佳出行路线，包括换乘次数最少、出行时间最短、出行费用最低等。以下图的简化公交网为例来说明。 1 2 3 4 5 图中由两条公交线路组成，实线表示第一条线路，依次经过站点 1,3,4,5，虚线表示第二条线路，依次经过站点 2,3,5。 首先考虑换乘次数最少的线路选择模型，首先建立直达矩阵如下： 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 0111110101110111010011100A42312232223241212122222232 3 4 5 计算 由于 以任意两站点经过换乘一次都可到达，由于问题较简单，结果显然正确。 一般地，比较 A=(a(2) , a(k)的 (i,j)元够成的向量中第一个非零向量的上标即为出行换乘的最少次数。 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 站点不可直达站点与，站的距离站点共有站点011231012110112103210 3 4 5 接下来考虑出行时间最短的模型，建立直达距离矩阵： 下面利用 义 T*T=(t(2) t(2)ij=右图所示。 G=的邻接矩阵为： 数学建模 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 000000001000000011000000110000000011000010100000000000001010000011100000110100000 中，矩阵 记 a(k)i,j）元，目标是使 a(k)1,10不等于 0的最小的 自然数 k. 利用 k=11，且 a(11)1,10 =4,即小船至少 11次才 能把所有人全部运到右岸，说明共有 4种不同的过河方案。继续计 算可得出 a(19)1,10 =45060，如果允许小船过河 19次的话，共有 45060中不同的方案。 数学建模 若将图 (e), 则称 F(e)为该边的 权 , 并称图 权图 , 记为 G = (V, E , F ). 设 G = (V, E )是一个图 , , V, 且“ 1 i k, 1 E, 则称 v0 的一条 通路 则称此通路为 路径 ,简称 路 . 对于赋权图， 路的长度（即路的权） 通常指路上所有边 的权之和。 最短路问题 ：求赋权图上指定点之间的权最小的路。 三、最短路问题及其算法 数学建模 重要性质： 若 v0 G 中从 则 对 1 k m, 为 G 中从 最短路 . 即：最短路是一条路，且最短路的任一段 也是最短路。 三、最短路问题及其算法 数学建模 设有给定连接若干城市的公路网，寻求从指定城市到各城市的最短路线。 2、应用实例：最短路问题 问题的数学模型 : 设任一城市为图的一个顶点 v ，连接任意两个城市的公路为图的边，记为 e ，)( e 之长。对任意的)( ，寻求轨道),( 0 得 )(m i n),( 0 三、最短路问题及其算法 37 2017年 6月 12日 即从0v到 v 的所有轨道长中寻求最小的一个。 )( 上各边长之和。 数学建模 注意 ：若 )(, ，当 不 相 邻 时 ， 则),( Di j k s t 法： (1) 令 ;0,;,)(,0)(0000 017年 6月 12日 ( 2) 对每个，用 ),()(),(m i n 代替 )( 设1 )( 最小值的令 );,2,1,0(11 三、最短路问题及其算法 0 2 8 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 4 8 数学建模 ( 3) 若 1)( 则停止；若 1)( 令 1 （ 2 ）； 39 2017年 6月 12日 算法结束时 ， 从0顶点 标号， 标号，算法就是不断修改各个点的 至获得 P 标号。若在算法运行过程中，将每一顶点获得 P 标号所由来的边在图上标明，则当算法结束时，0 三、最短路问题及其算法 数学建模 D i j k st 法 M at l 序如下： f u n c t i o n d , i n d , i n d e x 2 = D i j k f (a) M= ma x (ma x ( a); p b (1 : l e n g t h (a) )= 0 ; p b (1 )= 1 ; i n d e x 1 = 1 ; % in d e x 1 到指定点距离从 小 到 大 的排序 i n d e x 2 = o n e s ( 1 , l e n g t h ( a); % i n d e x 2 每个点到指定点最短路径 所含边的条数 d ( 1 : l en g t h (a ) = M; d ( 1 ) = 0 ; t em p = 1 ; w h i l e s u m( p b ) = 2 i n d e x = i n d e x ( 1 ); e n d i n d e x 2 ( t em p ) = i n d e x ; en d 40 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 上述例题的 M at l 序如下： c r M = 1 0 0 0 0 0 ; a (1 , :)=0 , 7 , M , 6 , 1 0 , 1 0 , 1 3 , 8 , M ; a (2 , :)= z e ro s( 1 , 2 ) , 2 , M , M , M , M , M , 6 ; a (3 , :)= z e ro s( 1 , 3 ) , M , 5 , M , M , M , 4 ; a (4 , :)= z e ro s( 1 , 4 ) , M , M , M , 4 , M ; a (5 , :)= z e ro s( 1 , 5 ) , M , 9 , M , 4 ; a (6 , :)= z e ro s( 1 , 6 ) , 7 , 6 , M ; a (7 , :)= z e ro s( 1 , 7 ) , M , M ; a (8 , :)= z e r o s( 1 , 8 ) , M ; a (9 , :)=z e ro s(1 , 9 ) ; a = a + a ; d in d e x 1 i n d e x 2 = f (a ) ; d 41 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 运行结果 如下： d = 0 7 9 6 1 0 1 0 1 3 8 1 3 i n d e x 1 = 1 4 2 8 3 5 6 7 9 i n d e x 2 = 1 1 2 1 1 1 1 1 2 即可以求出 42 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 0 2 8 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 4 8 数学建模 改进后的 D i j k s t r a 算法： 43 2017年 6月 12日 改进后的 法，可求出任意两顶点间的最短距离，避免了很多的重复计算，并且提高了效率。 另外，还有一种 Fl 法 求任意两顶点间 的 最短距离问题也较简单。 改进算法后 D i j k s t 法 的 M at l a b 程序如下： a = a) n= g th(a); 2:n j= 1:(i - 1) a(i , j)= a(j, i); k = 1:(n - 1) b= 1:(k - 1), (k+ 1):n; k k = b); k ; (k + 1):n; k k 1= le n g th( 三、最短路问题及其算法 数学建模 w h i l e k k 0 f o r j= 1 :k k 1 a (k , a _ i d)+ a ( a _ i d, b 1 (j) ; i f t m i i d 1 = f i nd(b 1 = = a _ i d ); b 1 = b 1 ( 1 :( m i i d 1 - 1 ) , b 1 ( m i i 1 ):k k 1 ); k k 1 =l en g th(b 1 ) ; e f o r j =(k +1 ):n; a (j , k )=a (k , j); 44 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 上述例题的 M at l 序如下： n = 9 ; a= o n e s ( n ) + i n f ; f o r i = 1 : n a( i , i )= 0 ; en d a( 1 , 2 ) = 7 ; a( 1 , 4 ) = 6 ; a( 1 , 5 ) = 1 0 ; a( 1 , 6 ) = 1 0 ; a( 1 , 7 ) = 1 3 ; a( 1 , 8 ) = 8 ; a( 2 , 3 ) = 2 ; a( 2 , 9 ) = 6 ; a( 3 , 5 ) = 5 ; a( 3 , 9 ) = 4 ; a( 4 , 8 ) = 4 ; a( 5 , 7 ) = 9 ; a( 5 , 9 ) = 4 ; a( 6 , 7 ) = 7 ; a( 6 , 8 ) = 6 ; d i j 2 ( a) 45 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 运行结果 如下： an s = 0 7 9 6 1 0 1 0 1 3 8 1 3 7 0 2 1 3 7 1 7 1 6 1 5 6 9 2 0 1 5 5 1 9 1 4 1 7 4 6 1 3 1 5 0 1 6 1 6 1 9 4 1 9 1 0 7 5 1 6 0 2 0 9 1 8 4 1 0 1 7 1 9 1 6 2 0 0 7 6 2 3 1 3 1 6 1 4 1 9 9 7 0 1 3 1 3 8 1 5 1 7 4 1 8 6 1 3 0 2 1 1 3 6 4 1 9 4 2 3 1 3 2 1 0 即可以 任意两结点 间 的最短距离。 46 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 0 2 8 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 4 8 数学建模 d (i,j) ： i 到 j 的距离 r (i,j) ： i 到 j 之间的插入点 输入 : 带权邻接矩阵 ),(. (1) 赋初值：对所有 i,j, d(i,j) w (i,j), r(i,j) j, k 1. (2) 更新 d(i,j), r(i,j) : 对所有 i,j ，若 d(i,k) + d(k ,j) U ( i , m ) + U ( m , j ) U ( i , j ) = U ( i , m ) + U ( m , j ) ; e n d e n d e n d m = m + 1 ; e n d u = U ( k 1 , k 2 ) ; P 1 = z e r o s ( 1 , n ) ; k = 1 ; P 1 ( k ) = k 2 ; 55 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 V = o n e s ( 1 , n ) * i n f ; k k = k 2 ; w h i l e k k = k 1 ; f o r i = 1 : n V ( 1 , i ) = U ( k 1 , k k ) - W ( i , k k ) ; i f V ( 1 , i ) = = U ( k 1 , i ) P 1 ( k + 1 ) = i ; k k = i ; k = k + 1 ; e n d e n d e n d k = 1 ; w r o w = f i n d ( P 1 = 0 ) ; f o r j = l e n g t h ( w r o w ) : ( - 1 ) : 1 P ( k ) = P 1 ( w r o w ( j ) ) ; k = k + 1 ; e n d P u 56 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 上述例题的 M at l 序如下： W = 0 7 i n f 6 1 0 1 0 1 3 8 i n f ; 7 0 2 i n f i n f i n f i n f i n f 6 ; i n f 2 0 i n f 5 i n f i n f i n f 4 ; 6 i n f i n f 0 i n f i n f i n f 4 i n f ; 1 0 i n f 5 i n f 0 i n f 9 i n f 4 ; 1 0 i n f i n f i n f i n f 0 7 6 i n f ; 1 3 i n f i n f i n f 9 7 0 i n f i n f ; 8 i n f i n f 4 i n f 6 i n f 0 i n f ; i n f 6 4 i n f 4 i n f i n f i n f 0 ; n 2 s h o W , 1 , 9 ) % w 为 1 到 9 的最短路径经过的顶点 运行结果如下： P = 1 2 9 u = 1 3 an s = 1 2 9 57 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 0 2 8 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 4 8 数学建模 若 程序 改为 ： W = 0 7 i n f 6 1 0 1 0 1 3 8 i n f ; 7 0 2 i n f i n f i n f i n f i n f 6 ; i n f 2 0 i n f 5 i n f i n f i n f 4 ; 6 i n f i n f 0 i n f i n f i n f 4 i n f ; 1 0 i n f 5 i n f 0 i n f 9 i n f 4 ; 1 0 i n f i n f i n f i n f 0 7 6 i n f ; 1 3 i n f i n f i n f 9 7 0 i n f i n f ; 8 i n f i n f 4 i n f 6 i n f 0 i n f ; i n f 6 4 i n f 4 i n f i n f i n f 0 ; n 2 s h o W , 1 , 5 ) 则 运行结果如下： P = 1 5 u = 1 0 an s = 1 5 利用该程序可以求出任意两结点间的最短距离。 58 2017年 6月 12日 三、最短路问题及其算法 数学建模 应用实例及解法分析 59 2017年 6月 12日 ( 设备更新问题 ) 某企业使用一台设备 , 每年年初 , 企业都要作出决定 , 如果继续使用旧的 , 要付维修费；若购买一台新设备 , 要付购买费 . 试制定一个 5 年更新计划 , 使总支出最少 . 已知设备在每年年初的购买费分别为 11,11 , 12,1 2 ,13. 使用不同时间设备所需的维修费分别为 5,6,8, 11,1 8. 三、最短路问题及其算法 数学建模 应用实例及解法分析 ： 设 b i 表示设备在第 i 年年初的购买费 , c i 表示设备使用 i 年后的维修费 , V = v 1 , v 2 , , v 6 , 点 v i 表示第 i 年年初购进一台新设备 , 虚设一个点 v 6表示第 5 年年底 . E = | 1 i j 6 . 60 2017年 6月 12日 求 三、最短路问题及其算法 411 4 11()1 1 5 6 8v v b c 数学建模 应用实例及解法分析 61 2017年 6月 12日 由实际问题可知 , 设备使用三年后应当更新 , 因此删除该图中 v 1 到v 5 , v 1 到 v 6 , v 2 到 v 6 的连线；又设备使用一年后就更新则不划算 , 因此再删除该图中 v 1 v 2 , v 2 v 3 , v 3 v 4 , v 4 v 5 , v 5 v 6 五条连线后得到 从上图中容易得到 而这两条路都是 三、最短路问题及其算法 数学建模 应用实例及解法分析 （ 98 年全国大学生数学建模竞赛 B 题 ） 62 2017年 6月 12日 1998 年夏季，我国长江、松花江流域的广大地区遭受了特大水灾。某受灾地区领导为了更加及时、准确地掌握受灾情况，组织自救，决定带领有关部门的负责人从县政府所在地出发，走遍全县 17 个乡， 35 个村后再回到出发地。考虑灾情的刻不容缓，而且要走遍所有的乡、村，我们的目标任务是： (1) 如何在组数定 (3 组 ) 的情况下，走遍乡村使总路线最短且三组的路程近可能均衡 ; (2) 若巡视人员要在乡停留 T=2 小时，村停留 t=1 小时，汽车时速 V=35 公里小时，那么至少分几组能在 24 小时内走完 ? 并找出最佳巡视路线。 (3) 在上述关于 T ， t ， V 的假定下，若巡视人员足够多，虽短能在几小对内走遍 ? 并给出这种情况下的虽佳巡视路线。 （ 4) 若巡视组数一定 ( 如 3 组 ) ，要求尽快完成巡视，讨论 T , t 和 V 改变对最佳路线的影响。 三、最短路问题及其算法 数学建模 （ 2）答案： 由于 T=2小时 ,t=1小时 ,V=35公里 /小时 ,需访问 的乡镇共有 17个，村共有 35个 . 计算出在乡 (镇 )及 村的总停留时间为 17 2+35=69小时，要在 24小时 内完成巡回，若不考虑行走时间，有 : 69/i 的生成子图T=(V=V,E为 为树 , 这棵树 的生成树 . 设 的一棵生成树 , 用 F (T)表示树 F(T)称为树 . 一个连通图 图 图 小生成树 . 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 怎样找出最小生成树？ G 8是 图 成树 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 法 或避圈法 思想：在不形成圈得条件下，优先挑选权小的边形成生成树。 7 6 7 8 8 3 3 4 2 4 5 v1 v2 v3 v4 v5 v6 8 3 3 2 4 v1 v2 v3 v4 v5 v6 、最小生成树问题及其算法 数学建模 步骤如下： 1) 选择边 得 w(可能小； 2) 若已选定边 ，则从 . . , 21 ,., 21 ，使得 : 1 为无圈图， ,. . , 121 是满足 i)的尽可能小的权， )( 1当第 2)步不能继续执行时，则停止 . 定理 4 由 ,. ., 121* 是最小树 . 数学建模 四、最小生成树问题及其算法 例 用 在左图中 权值 ,. . , 821 任取一条 , 51 1 中选取权值 ,. . , 832 中权值最小边有 , 从中选 ：73 , 会与已选边构成圈 ,故停止。 中选取在中选取 ,7 . 但 与 都 , 86 4 , e 8e, 876432 , 87642 42 法 M at l a b 程序如下： T= Kr us f ( d , f la g) n n = = 1 n = si z e( d , 2); m = s s d =0) /2; b = s(3, m ); k = 1; fo r i= 1:n f o r j= (i+ 1): n d (i. j)= 0 b (1, k )= i; b (2, k )= j; b (3, k )= d (i. j); k = k + 1; en d b = d ; n = m a x ( m a x( b (1:2, :); m = si z e( b , 2); B, i= so s( b , 3); B= B; 74 2017年 6月 12日 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 c= 0; T= ; k = 1; t= 1:n ; fo r i= 1: m t(B(1, i)= t(B(2, i) T(1:2, k )= B(1:2, i); c= c+ B(3, i); k = k + 1; tm i n = m i n (t (B(1, i), t(B(2, i); tm a x = m a x (t (B(1, i), t(B(2, i); f o r j= 1: n t(j)= = t m a x t(j)= tm i n ; en d k = = n b r T c 75 2017年 6月 12日 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 76 2017年 6月 12日 四、最小生成树问题及其算法 运行结果如下： T = 1 3 5 1 6 3 2 6 6 6 7 4 c = 26 上述例题的 b=1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6;2 6 3 6 4 6 7 7 6 7 7;2 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6; b,1); 1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 62 6 3 6 4 6 7 7 6 7 72 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6b7 6 7 8 8 3 3 4 2 4 5 v1 v2 v3 v4 v5 v6 8 3 3 2 4 v1 v2 v3 v4 v5 v6 学建模 求最小生成树的 P ri m 算法的思想 如下： 从连通图 G = 的某一顶点 v 出发，选择与其关联的具有最小权的边 (v ) ，将其顶点加入到生成树的顶点集合 U 中。以后每一步从一个顶点 在 U 中而另一顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的边（ u ， v ），把它的顶点加入到集合 U 中，如此下去，直到图中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止，这时得到一颗最小生成树。 77 2017年 6月 12日 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 m 算法 M at l 序如下： T = m f(a) l= gt h ( a); a(a= = 0)= k = 1:l; k)= 0; )= 1; e= 1; wh e a(i, j ) m i n = a (i, j); b = a(i, j); s= i; d = j; en d en d 78 2017年 6月 12日 四、最小生成树问题及其算法 数学建模 d )= 1; d n ce(e)= b ; r ce(e)= s; d n e)= d ; e= e+ 1; T= r d ; fo r g= 1:e - 1 c(g)= a(T(1, g), T(2, g)