第六篇 第4讲 数列求和

第4讲 数列求和A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17()A8 B9 C16 D17解析S171234561516171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.答案B2(2013西安调研)等比数列an的前n项和为Sn，若a11，且4a1,2a2，a3成等z以差数列，则S4()A7 B8 C15 D16解析设数列an的公比为q，则4a24a1a3，4a1q4a1a1q2，即q24q40，q2.S415.答案C3(2013临沂模拟)在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A2 011 B2 012 C2 013 D2 014解析an，Sn1，解得n2 013.答案C4(2012新课标全国)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k1a2k32，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(4301)30611 830.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5(2011北京)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n16数列an的前n项和为Sn，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，则S100_.解析由an2an1(1)n，知a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.答案2 600三、解答题(共25分)7(12分)(2013包头模拟)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn.解(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.8(13分)已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(3an1)时，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知得得到an1an(n2)数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列又a2S1a1，ana2n2n2(n2)又a11不适合上式，an(2)bnlog(3an1)logn.Tn1.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1(2012福建)数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于 ()A1 006 B2 012C503 D0解析因cos 呈周期性出现，则观察此数列求和规律，列项如下：a10，a22，a30，a44，此4项的和为2.a50，a66，a70，a88，此4项的和为2.依次类推，得S2 012(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a2 009a2 010a2 011a2 012)21 006.故选A.答案A2(2012西安模拟)数列an满足anan1(nN*)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S21 ()A. B6 C10 D11解析依题意得anan1an1an2，则an2an，即数列an中的奇数项、偶数项分别相等，则a21a11，S21(a1a2)(a3a4)(a19a20)a2110(a1a2)a211016，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013长沙模拟)等差数列an中有两项am和ak(mk)，满足am，ak，则该数列前mk项之和是Smk_.解析设数列an的首项为a1，公差为d.则有解得所以Smkmk.答案4设f(x)，利用倒序相加法，可求得fff的值为_解析当x1x21时，f(x1)f(x2)1.设Sfff，倒序相加有2Sff10，即S5.答案5三、解答题(共25分)5(12分)设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n1项之和，两式相减(2)bnn3n的特点是数列n与3n之积，可用错位相减法解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，适合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前n项和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养6(13分)(2012南昌模拟)将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b24，b510.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131.求Sn；记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围解(1)设等差数列bn的公差为d，则解得所以bn2n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数，且321342，a10b48，所以a13a10q38q3，又a131，所以解得q.由已知可得cnbnqn1，因此cn2nn1.所以Snc1c2c3cn，Sn，因此Sn44，解得Sn8.由知cn，不等式(n1)cn，