高三第一轮复习数学---逻辑联结词与四种命题

高三第一轮复习数学-逻辑联结词与四种命题一、教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用二、教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系三、教学过程：（一）主要知识：（一）逻辑联结词1命题：可以判断真假的语句叫做命题2逻辑联结词：“或（）”、“且（）”、“非（）”这些词叫做逻辑联结词。或：两个简单命题至少一个成立 且：两个简单命题都成立， 非：对一个命题的否定3简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。4表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5真值表：表示命题真假的表叫真值表；复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定。pqpPqPq真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假（二）四种命题1一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定。于是四种命题的形式为：原命题：若p则q（）逆命题：若q则p否命题：若p则q逆否命题：若q则p互 逆原命题若p则q逆命题若q则p否命题若则逆否命题若则互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆2四种命题的关系：3一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。（4）逆命题为真，否命题一定为真。（三）几点说明1逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3真值表 P或q：“一真为真”， P且q：“一假为假”4互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。5反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法 2）如何得到矛盾。（二）主要方法：1逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比； 2通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；4反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾 （三）例题分析：例1已知复合命题形式，指出构成它的简单命题，（1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边，（2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧，（3）（4）平行四边形不是梯形解：（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边， q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边； （2）P且q形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦， q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 （3）P或q形式，其中p：4，q： （4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。练习1（变式1）分别写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题（1）p：是有理数，q：是无理数（2）p：方程x2+2x-3=0的两根符号不同，q： 方程x2+2x-3=0的两根绝对值不同。例2（四种命题之间的关系）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若q1，则方程x2+2x+q=0有实根，（2）若ab=0，则a=0或b=0，（3）若x2+y2=0，则x 、y全为零。解：（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则qb，则ac2bc2（3）若在二次函数y=ax2+bx+c中b2-4ac0，则该二次函数图象与x轴有公共点。例3反证法的应用已知函数f(x)在（-，+）上是增函数，a,bR对命题“若a+b0则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明，(2)写出逆否命题,判断其真假，并证明。解：（1）逆命题：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，则a+b0（真） 用反证法证明：假设a+b0，则a-b b-a, f(x)在（-，+）上是增函数，则f(a)f(-b)，f(b)f(-a)f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)与题设矛盾，所以逆命题为真。（2）逆否命题：若f(a)+f(b) f(-a)+f(-b)，则a+b0为真命题。因为命题它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题即可，从略。例4已知命题：方程有两个不相等的实负根，命题：方程无实根；若或为真，且为假，求实数的取值范围分析：先分别求满足条件和的的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论解：由命题可以得到： 由命题可以得到： 或为真，且为假 有且仅有一个为真当为真，为假时，当为假，为真时，所以，的取值范围为或例5已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根解：假设至少有两个不同的实数根，不妨假设，由方程的定义可知：即由已知时，有这与式矛盾因此假设不能成立故原命题成立注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题例6用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A.假设都是偶数 B.假设都不是偶数 C.假设至多有一个是偶数 D.假设至多有两个是偶数（四）巩固练习：1命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是 （ D ）A若不正确，则不正确 B. 若不正确，则正确C. 若正确，则不正确 D. 若正确，则正确2“若，则没有实根”，其否命题是 （ D ）A. 若，则没有实根 B. 若，则有实根C. 若，则有实根 D. 若，则没有实根四、小结：1逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义与日常生活中的“或”