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第1章 一元二次方程第1课时 建立一元二次方程模型教学目标 1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。 2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。 3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。重点难点重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。教学过程（一）创设情境前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。 1、引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。(35-2x)2=900 2、 引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？ 通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程2t+ 0.01t2=3t。 3、能把，化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把，化成下列形式： 4x2-140x+325=0， 0.01t2-2t=0。 （二）探究新知1、观察上述方程和，启发学生归纳得出： 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a0)， 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 2、让学生指出方程，中的二次项系数、一次项系数和常数项。（三）讲解例题例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4， 化简，得 2x2+x-16=0。 二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16。 点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程?(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。解方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。（四）应用新知课本p4，练习第3题，（五）课堂小结 1、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。 2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。 3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。 （六）思考与拓展 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程? 当a1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b0时是一元一次方程。布置作业课本习题1.1中a组第1，2，3题。教学后记：第2课时 因式分解法、直接开平方法（一）教学目标1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程。3、引导学生体会“降次”化归的思路。重点难点重点：掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程。难点：通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学过程 （一）复习引入1、判断下列说法是否正确(1) 若p=1，q=1，则pq=l( )， 若pq=l，则p=1，q=1( )；(2) 若p=0，g=0，则pq=0( )， 若pq=0，则p=0或q=0( )；(3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )， 若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；(4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )， 若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。答案：(1) ，。 (2) ，。 (3)，。 (4)，。2、填空：若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ； 若x2=2，则x= 。答案：平方根， ，2， 。 （二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？ 引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。 给出11节问题一中的方程：(35-2x)2-900=0。问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程? （三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本p6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。 （四）讲解例题展示课本p7例1，例2。 按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。 引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。 因式分解法的基本步骤是：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。 直接开平方法的步骤是：把方程变形成(ax+b)2=k(k0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。 注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程； (2) 直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k0，当k0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；由例11知，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 2、让学生观察方程(x+ )2- =0，当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解？ 通过对此问题的讨论让学生明确：当b2-4ac0时，一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时，先要计算b2-4ac的值，当b2-4ac0时，可以用公式法求解；当b2-4ac0， 所以原方程有两个不相等的实数根。 (2) 原方程可化为x2-3x+ =0， 因为b2-4ac=(-3)2-41 =0，所以原方程有两个相等的实数根。(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4 21=-60，即m1。 (2) 因为原方程有两个相等的实数根，所以-4m+4=0，即m=1。 (3) 因为原方程无实数根，所以-4m+41。布置作业课本习题12中a组第5题，选做b组第1题的(2)(4)(6)(8)，第4题。教学后记：第8课时 一元二次方程的应用（一）教学目标 1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。 2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。重点难点重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。教学过程（一）复习引入1、回顾：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。 2、填空： （1）当x= 时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。 （2）当x= ，y= 时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。 （3）一元二次方程ax2bxc0（a0），当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根。（二）创设情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值 。（三）讲解例题1、展示课本p.19p.20，例1，例2。说明和建议：（1）让学生明确解这尖题的步骤是：首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。 （2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。 2、展示课本p.21，例3。注意：（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，有两个相等的实数根。(1)解这类题,首先要将方程整理成关于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a，b，c (此题是用t表示)，然后把问题化归为解一个（此题是关于t的）一元二次方程。（四）应用新知课本p.21，练习第1，2题（五）课堂小结 1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？ 2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？（六）思考与拓展将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。 （1）写出x与y之间的关系式； （2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？ 解（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是50-10x个，则依题意得y=（50+x）-40（500-10x），即y=-10x2+1000x+5000。（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000。 整理，得x2-40x+300=0。解得x1=10, x2=30。 所以商品的单价右定为50+10=60（元）或50+30=80（元） 当商品和单价为60元时，其进货量只能是500-1010=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-1030=200（个）布置作业课本习题 1.a组第1，2题，选做b组第1题 。教学后记：第9课时 一元二次方程的应用（二）教学目标 1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。 2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。重点难重重点：应用一元二次方程解决实际问题。难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型 教学过程（一）复习引入1、复习列方程解应用题的一般步骤： （1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x； （3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程：求出所给方程的解； （5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义； （6）作答：根据题意，选择合理的答案。 2、说一说，菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？ （二）讲解例题 1、展示课本p.22例4，按下列步骤讲解：（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）确定本题的等量关系是：菱形的面积= 矩形面积；（3）引导学生根据题意设未知数；（4）引导学生根据等量关系列方程；（5）引导学生求出所列方程的解；（6）检验所求方程的解合理性；（7）根据题意作答；（8）按课本p.22p.23格式写出解答过程。注意：设未知数和作答时都不要漏写单位。2、展示课本p.23例5，让学和仿照例4解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。（三）应用新知课本p.24，练习。（四）课堂小结 1、用“（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。 2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。（五）思考与拓展 如图1-2，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，（1）如果子的顶端下滑1米，那么底端也将滑动1米吗？（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。 解（1）设底端将滑动x米，依题意，得72+（x+6）2=102解得x1=-6- （不合题意，舍去），x2= -6 -6=1（米）-6 -61（2）设顶端下滑x米则底端正好滑动x米，依题意，得（8-x）2+（6+x）2=102解得x=2（米）答：（略）布置作业 课本习题1.3中a组第3题，选做b组第3题。教学后记：第10课时 一元二次方程的应用（三）教学目标 1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。重点难点重点：会熟练地列出一元二次方程解应用题。难点：将实际问抽象为一元二次方程的模型 教学过程（一）复习引入提问：1、列方程解应用题的基本步骤是什么？2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么？ （二）探究新知 把学生分成若干个学习小组，让他们以小组为单位按课本p.24p.26“探究”栏目设计的程序，进行探究学习，然后各组之间相互交流，教师加以适当引导归纳，得出正确结论。 （三）讲解例题 例 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出350-10a件，物价局规定商品的利润不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，则每件商品的售价为多少元？ 解依题意得（a-21）(350-10a)=400整理得a2-56a+775=5解得a1=25，a2=31又因为21（1+20%）=25.2而a1=2525.2，a2=3125.2，所以a =25答：每件售价为25元点评：（1）要掌握关系式：利润=销售价-进价，从而得出：“卖出商品的利润=卖出一件商品的利润卖出的件数”这个等量关系。（2）要注意题目的限制条件。（四）应用新知 课本p.26，练习（五）课堂小结1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题（解一元二次方程）求解。（六）思考与拓展在一个长为50米，宽30米的矩形空地上建造一个花园，要求修筑同样宽的道路，使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是整块空地面积的 ，请你画出设计图，并计算路宽。 说明与建议：（1）让学生分成几个小组共同设计，然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案，教师给出相应评价。 （2）下面提供两种设计方案： 方案一 如图1-3，阴影部分是宽为x米的两条垂条直的道路，则依题意有（50-x）(30-x)= 3050。 整理得x2-80x+375=0 解得x1=530，x2=7530 依题意只能取x1=5（米）方案二 如图1-4阴影部分是宽为x米的道路，则依题意有（50-2x）（30-2x）= 3050，整理得4x2-160x+375=0解得x1=2.530，x2=37.530依题意只能取x1=2.5(米)。布置作业课本习题1.3中a组第4题 ，选做b组第2题。教学后记：第11课时 小结与复习（一）教学目标 1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。 2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。3、掌握本章的主要数学思想和方法。重点难重重点：一元二次方程解法。难点：选用适当的方法解一元二次方程。 教学过程（一）复习引入1、回顾本章的主要数学思想和方法。 本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。2、理清本章的知识结构图。请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用： 方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。 方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。 方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本p.29的知识结构图）。 说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。 （二）讲解例题 例1 选择题： （1）mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是（） a m=1 b m-1 c m0 d m为任意实数 （2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ） a（x+2）2=19 b（2 x+1）2=16 c（x+ ）2=4 d（x+1）2=4 答案：b c评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+10,即m-1。（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。例2 选择适当的方法解下列方程：（1）（x-1）2+2 x（x-1）=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0（3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0 解（1）中主程左边有因式x-1，不能将方程程两边同除以x-1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（x-1）（x-1）+2 x=0，所以x1=1，x2= （2）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（x-2）2=4(x-2)2，然后直接开平方得3（x-3）=2（x-2），再求方程的解，解得x1= ，x2=5。 （3）中方程可化为4y2+y-6=0，=12-44（-6）=970，解得x1= ，x2= （4）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得x1=- + ，x2=- - 评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。 3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。（三）巩固练习1填空：（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。（2）填写下表。一元二次方程一般形式二次项数一次项系数常数项3 x2-5=2 x（x+1）2=4x 2=0x（x + ）=0答案：（1）k1。（2）见下表：一元二次方程一般形式二次项系数一次系数常数项3 x2-5=2 x3 x2-2 x-5=03-2-5（x+1）2=4x 2+-3=012-3x 2=0x 2=000x（x+ ）=0x 2+ x=0102、选做课本复习题一中b组第1，2题。（四）课堂小结1、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？3、怎么选择适当的法解一无二次方程？（五）思考与拓展1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程。答案：m1，m=12、选做课本复习题一的c组题。布置作业课本复习题一中a组第1、2、3题。教学后记：第12课时 小结与复习（二）教学目标 1、熟练运用一元二次方程解实际问题。 2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。重点难重重点：运用一元二次方程解实际问题。难点：找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。 教学过程（一）复习引入学生交流讨论下列问题。1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么？2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么？3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么？（二）讲解例题例1某工厂生产一种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。分析：此题是增长率问题，运用复利公式：q=a（1+x），通过列方程求出x的值。解设这个百分数为x。则今后第一年的产量为200（1+x）件，今后第二年的产量为200（1+x）2件，根据题意，得200+200（1+x）+200（1+x）2=1400化简得x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4（不合题意，舍去）。所以x1=1=100%答：这个百分数为100%评注：1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。3、一般情况，增长率为百分数。例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？（4）要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少？（5）有没有可能获取大于9000元的利润？解（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为：500-（55-50）10=450（千克）所以月销售利润为：（55-40）450=6750（元）（2）当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（x-50） 10=1000-10 x（千克），而每千克的销售利润是x-40千克，所以月销售利润为y=（x-40）（1000-10 x），即y=-10 x2+1400 x-40000。（3）要使月销利润达到8000元，即y=8000，所以-10 x2+1400 x-40000=8000，即x2+4800=0,解得x1=60，x2=80。当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（60-50）10=400（千克），月销售成本为：40400=16000（元）。当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500-（80-50）10=200（千克），月销售成本为：40200=8000（元）。由于80001000016000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。（4）要使月销售利润达到9000元，即y=9000，所以-10x2+1400x-40000=9000，即x2-140x+4900=0，解得x1=x2=70，销售单价应定为每千克70元。（5）要获取大于9000元的利润，则y9000，所以-10x2+1400 x-400009000，即x2-140 x+49000，（x-70）20无论x取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。 评注（3）要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，（5）仅供学有余力的同学思考。（三）巩固练习选做课本复习题一中b组第4、5题。（四）课堂小结运用一元二次方程解实问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。（五）思考拓展一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。分析：浓度问题，关键是利用基本关系式：浓度= 解 设每次倒出x升，第一次倒出后剩下的纯精为63