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1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 问题提出 1.定积分 的含义及其几何意 义分别是什么 x y a b yf(x) O 2.微积分基本定理是什么？ 如果f(x)是区间a，b上的连续函数， 并且 ，则 . 3.用定积分可以表示曲边梯形的面 积，微积分基本定理为定积分的计算提 供了一种有效的方法，二者强强联合， 可以解决平面几何中曲边图形的面积问 题. 探究（一）：曲线y2x与yx2所围成图 形的面积 思考1：曲线y2x与yx2所围成的图形 是什么？其交点坐标是什么？ 1 1 x y O y2xyx2 (0,0) (1,1) 思考2：如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积？ x y O1 1 A B C D y2xyx2 SS曲边梯形OABCS曲边梯形OADC. 思考3：该图形的面积用定积分怎样表示 ？ x y O1 1 A B C D y2xyx2 思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？ x y O1 1 A B C D y2xyx2 探究（二）：直线yx4与曲线 及x轴所围成图形的面积 思考1：直线yx4与曲线 及 x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标 是什么？ 8 4 4 x y O yx4 (8,4) (0,0) (4,0) x y O48 yx4 4 A B C D 思考2：如何将该图形的面积转化为曲边 梯形的面积？ SS曲边梯形OABCS三角形ABD. 思考3：该图形的面积用定积分怎样表 示？ x y O48 yx4 4 A B C D 思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？ x y O48 yx4 4 A B C D 理论迁移 例1 计算由直线y2x， 和曲线 所围成的平面图形的面积 . x y O 32 y2x 1 A B 1 1 例2 如图，直线ykx将抛物线 yxx2与x轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数k的值. x y O ykx yxx2 1 1k 小结作业 1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解. 3.位于x轴下方的曲边梯形的面积， 等于相应定积分的相反数.一般地，设由 直线xa，xb(ab)，y0和曲线y f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则. x y
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