狄拉克式不定方程题的扩展研究及通解公式（修改稿）

你想要的文库都懂 狄拉克式不定方程题的扩展研究及求解体系 陈 小 刚 湖南农业银行祁阳县支行 (邮编 426100） 摘要：研究 狄拉克式不定方程题简易计算方法，是一个已有近百年的趣味数学难题。从研究该题的分配规律入手，可得到它的最简计算公式 y=果再将此研究扩展到此类问题的整个领域，则又可得到： (1)能求解所有此类问题的通解公式 ;(2)公式有解、惑无解的条件 ;(3)公式的解集及最小解。同时这个研究还惊喜发现：此类狄式问题不仅容易解 ,而且还能百分之百的都得到解，从而彻底改变了过去在面对此类问题时 ,举足无措的状况。 关健词： 数论不定方程 :狄拉克式 :扩展研究 :求解体系 ;通解公式 An 26100) It is an a to s of of of we y=c. If of as to be (1) to a of (2) or no (3) of At of in to of in of is no of ： (一 ).“水手分椰子 ” 是一道求整数解的不定方程题， 于 1926年发表在美国 的 星期六晚 邮报上。 据 说 最早是由 大物理学家狄拉克 提 出 来 的， 但寻找 它 的简易计算方法，却 困扰住了 他本人和他的数学界朋友。 随后，在数学科普大师 马丁 *加德纳 的大力推广下 ,此题得到更为广泛传播。 1979 年 诺贝 尔奖获得者 李政道博士 ， 又以 “ 五猴分桃 ” 形式，将此题带到了中国 ； 自此以后 ， 研究该题的简易计算方法风靡国内。 (二 )著 名 现代 数理逻辑学家怀德海，曾用高阶差分方程理论 ；对“水手分椰子”一 题，给 出过一个 ( - 4)的 巧妙 特解 。 许多的后来者，也为此而作 出 了不懈努力。 但严格说 来 ， 到 目前 为止，对该问题的研究仍然还是 局 限在 “水手分椰子” 这样一个具体的题目上 ； 离 系统、 简 易的 求解这 种 类型 问题 ,还 存在着 较大 的 差 距。 (三 )者有幸 在月刊中国青年看到 了，中国式的狄拉克式不定方程题“五猴分桃”。并 得到了它的 极 简易计算 公式： y=最近几年 ，又将此问 题的研究对象扩展到这类问题的整个领域，并进一步得到了得求解所有此类问题的通解公 式 ,y=c 和y=c,及相关的 求解体系。现发表与大家共同探讨： 不定方程题和扩展的狄拉克式 不定方程问 题 (一 ) 狄拉克提出的原不定方程题 ： 对于狄拉克提出的趣味数学原题，现用简单数学语言表示如下： 有一堆要被分配的椰子，如果它的总数我们用 则在第一次分配时，把 份后，还剩余 1个。 接着第二次分配时 ; 从弟一次分的 5份中拿取 4份，并将这 4份之和，又分成 5份，也刚好剩余一个。 接着第三次，第四次和第五次的分配方法，也和前面完全相同，每次分配后，最后也正好剩余一个。求开始的第一次分配时，看到 对于该题目，由于它最后可以用不定方程的形式来表示，因些我们将它称之为：狄拉克式不定方程题。 (二 )扩展的狄拉克式不定方程问题 ： 如果我们将每次分配的总份数，剩余的余数，分的总次数等等各个参与分配的因素，都扩展为变量， 并 将这个问题的研究，扩展到此类问题的整个领域。这个时候，我们将这个研究 扩展 对象称之为：扩展的狄拉克式不定方程问题 ，为了研究方便，并常把它简称为：狄式不定方程问题或狄式问题。 三扩展的 狄 式 不定方程 问题的通解公式及求解体系 (一 ) 狄拉克式不定方程问题的陈氏通解公式组 ： 对于任何一个狄式不定方程问题，我们都可用如下的陈氏通解公式组来求解 陈氏简易通解公式 （ 1） y=c (用于 b/ 。 陈氏简易通解公式 （ 2） y=c, (用于 b/。 （ 为了简便，陈氏 简易 通解公式 在后面的章节中皆简称 为 ：简易通解公式或 公式 ）。 简易 通解公式中，各个符号所代表的意义分别为 : y 要被分的某物的总个数。 a 每次要分配的总份数 ,（ 可以是 使 狄式 问题不失出意义的任意自然数 a=d+c） n 需要分配的总次数，（ 的任意自然数） b 每次分配 （ a） c 每次分配 走的其中的份数 d 每次分 a 份、拿走 剩下继续再分的份数 K 通解公式 (2)中的、能使 说明 ： 通解 公式中，按照这种类型题 的 题意要求； y、 a、 b、 c、 d、 n、 必须是 正整数 ， 其中 ， 且所有 本文章中提到 “ 解 ” 这个词时 ,皆是指整数解。 a 和 d 两者在取值时，不能出现有共同的公约数，否则没有任何的实际意义，具体论证见后面通解公式求证时的分析。 解公式有解或无解同等于此类问题的本身有解或无解， (二 )通解公式组各公式的适用范围及有解或无解的条件 式 （ 1） 适用于 b/的求解；且 b/ ,此类问题 必定会 在本 公式得到 解 ； 若 b/c 不是一个正整数 ， 则用公式 （ 2） 来 求解 。 式 （ 2） 适用于 b/正整 时的求解 ， 且任何一个符合此条件的狄式问题，都必定能在公式（ 2）得到解 ， 从而 使求使狄式问题的有解率解取得了重大突破。 1）和公式（ 2）的相互关系 是； 所有用公式（ 1）能得到的解，用公式（ 2）也同样能得到，且解集相同 ； 但是当 b/时， 用公式（ 1）来求解 比较 容易 。 这是作者用通解公式组来求解狄式问题的主要考量）。 (三 ) 通解公式的解集及最小整数解： 1）的解集是： k 为任意自然数时所得到的解；很自然当 k 等于 1 时所得到的解 ， 是符合题意的最小解。 2）解集是：当 k 的取值范围为 k+所得到的解（ ；当 k 小于等于 c 时所得到的解，是符合题意的最小解。 (四 )通解公式中 式（ 1）有解时，式中的 2）有解时， 式中的 k=(xc+b)/(在一般情况下 , c，其求 , (五 )极为简易的求解 狄式问题“水手分椰子” 风靡 中外的 不定方程题 “水手分椰子”，在通解公式面前：其求解却如同 囊中取物 。求解的简易得使人难以置信。 由于此题的 b和 。这时通解公式（ 1）可化简成更为简易的 : y=形式，从而非常容易的得到它的最小解是： y=5615621。同样，我们也可非常容易得到 “五猴分桃” 一题的最小解是： y=553121， 四 解 公式 的推导和 求证 (一 ) 简易通解公式（ 1） y=证： 设 : 被分 配的某物数量的总数 为 y， 每次分 配 的总份数为 a, 余数为 b. 每次分 c 份，剩下再分的份数为 d ， 其 总共分 配 的次数为 n 次， 现在 设 最后一个人 在分 a 份时 ，分得的 每份 的数量为 x（ 。 那么最后一次（第五次）分配时看 到的数量应是 ： ax+b 则上一次（第四次）分配时看到的数量为 ; (xa+b)a/d+b=d+ba/d+b。 再上一次分配时看到的数量为： (d+ab/d+b)a/d+b=d2+b(a/d)2+b(a/d)+b。 同样 ,再再上一次 次分配时看到的数量为 ： d3+b(a/d)3+b(a/d)2+b(a/d)+b。 这样依次类推我们可得到： 最开始的第一次分配时 看到 的总的数量为： y=(a/d)a/d)a/d)a/d).+(a/d)+1b。 这时的上式中有部分已成 等比数例 ，经 整理 可得到 ： y=-(d/a)n/(1-d/a)b/-(d/a)nba/c/an)ad/c/b/c/(c)/c)/c 此时可 得到这样一个求解的基础等式 an(x+b/c)/c,简称 ： 基础 等式 （ a） 由于式 中的 a(a/d) 对于基础等式 （ a） 中的 (x+b/c)/由于 此时的(b/c)为正整数 ,我们可 使 (x+b/c)/分得到 1和 1的任意整倍数 （设这个任意的整部数为 k） ,那么 这时 我们可得到简易通解公式（ 1） y=db/c， (二 ) 2） y=c 推导及求证 当 b/一个 正整数 ,为了求整数解，这时需考虑把 c从 b/并继续使其能够得到最小解，现推导如下： 对于上面得到的基础等式 （ a） y an(x+b/c)/c,我 们 可将其中 的 x+b/c)/一 部分的分子和分母 ,同时剩以 c,得到 ： y=an(x+b/c)c/c,称为基础等式（ b） , 可看出：此时式中的 (x b/c)c/与推导公式（ 1）的时候相同；因此我们同样可 使 (x b/c)c/k， (,继面可得到 y=c,并进 一步得到必定包含有最小解的 通解公式（ 2）： y=c (三 )关于通解公式 （ 2） 中的求 对于 基础等式 （ b）： y=an(x+b/c)c/c,，由于我们已经知道 b/c 不是一个正整数，因此，我们需使其中的 (x b/c)c/k，继而有 (cx/c b/c)c/k,进一步可得到 了 求 k=(b)/四 )约数的 a和 如果有公约数的 a和 那么求解会变得混乱起来幸好，实际上 有公约数的 a和 论证如下； 现在我们假设： a 和 约数 m，这时为能求得最小解，须将求 x(c/m)+(b/m)/（ d/m) 这种含有公约数的形式，并 会 有 k=(c/m)x b/m)这个等式中，如果 b/时也得不到 k，狄式问题无解。如果 b/可通过同时约分，使问题的求解又回到了 a和 此，在求解狄式问题时，出现有公约数的 a和 没有意义的。 五 文章 在解决 “狄拉克式不定方程 ”的 简易计算方法这个问题上，跳出了 从 单个 的 、局考 虑问题的思路 ， 从 整体分析