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打印机皮带驱动系统的状态空间设计 系 、 部：电气与信息工程学院 完成时间： 2013 .6 摘 要设计以现代控制系统的状态空间设计，与打印机皮带驱动系统集合，由实际系统到建立状态空间模型的过程，同时研究皮带驱动系统在扰动下的稳定性问题。涉及到的主要知识有状态空间模型的建立，状态空间表达式，状态空间分析法，系统可控性和可观性的判定，系统极点配置，全维状态观测器和李雅普诺夫稳定性问题。研究改变皮带弹性系数和速度反馈系数，给打印机的状态空间函数稳定性造成的影响,并选择合适的参数维持打印机皮带驱动系统的稳定性。matlab是美国mathworks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括matlab和simulinks两大部分。主要运用matlab传递函数的相互转换，进行系统可控性与可观性的分析，进行极点任意配置和状态观测器的设计，同时利用仿真图形分析系统的稳定性。关键词：皮带驱动系统；状态空间分析；可控性；可观性；matlababstractthe design combine modern state-space control system design with belt drive system ,and printer set by the actual system to the process of establishing state-space model, also studied the problems of stability for belt drive system. knowledge related to the major state-space model, the state-space representation, state-space analysis,system controllability and observability determination, the system pole placement, full-dimensional state observer and stability issues. change the coefficient of elasticity of the belt and speed feedback coefficient to the printer function of the stability of the state space of the impact, and select the appropriate printer belt drive parameters to maintain system stability. the math works inc. matlab is a u.s. commercial mathematics software for algorithm development, data visualization, data analysis, and numeric computation senior technical computing language and interactive environment, including matlab and simulinks two parts. in this paper, the transfer function using matlab conversion, the system controllability and observability analysis for any pole configuration and state observer design, while using the simulation graphical analysis of system stability.key word:belt drive system;state-space analysis;controllability;observability;matlab 目 录1 绪论- 1 -1.1 状态空间法的研究意义- 1 -1.2 状态空间法的国内外研究状况- 1 -1.3 该研究解决的主要内容- 2 -2 打印机皮带驱动系统的状态空间设计- 3 -2.1 打印机皮带驱动系统的工作原理- 3 -2.2 打印机皮带驱动系统的数学模型- 4 -3 线性系统的数学模型- 7 -3.1 线性定常连续系统- 7 -3.2 线性定常离散系统- 8 -4 控制系统的状态空间分析- 10 -4.1 状态空间的基本概念- 10 -4.2 状态空间的线性变换及简化- 12 -4.3 控制系统的能控性和能观性- 15 -4.3.1 基本概念- 15 -4.3.2 线性定常系统能控性的判别- 15 -4.3.3 线性定常系统能观性的判别- 16 -4.4 控制系统的稳定性- 16 -4.4.1 稳定性的定义- 16 -4.4.2 李雅普诺夫稳定性- 17 -5 状态空间法设计- 17 -5.1 基本概念- 18 -5.2 全维状态观测器及其设计- 19 -5.3 根据微分方程建立状态空间- 20 -5.3 极点配置- 22 -4.3.1 状态反馈与极点配置- 22 -5.3.2 输出反馈与极点配置- 25 -6 基于matlab的皮带驱动系统仿真- 29 -6.1 皮带参数的选择- 29 -6.2 打印头在单位阶跃扰动下的仿真- 29 -6.3 传递函数转换成状态空间- 32 -6.4 可控性的matlab仿真- 33 -6.5 可观性的matlab仿真- 33 -6.6 稳定性分析的matlab仿真- 34 -6.7 采用状态反馈达到极点配置的matlab仿真- 35 -6.7 全维状态观测器的设计- 36 -结束语- 37 -参考文献- 38 -致 谢- 39 - 3 -1 绪论1.1 状态空间法的研究意义经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效地，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特征，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中以个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入-输出外部特征，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入-单输出系统又适用于多输入-多输出系统，既可用于线性定常系统又可以用于线性时变系统的有效分析和综合方法。在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，所以研究控制系统的状态空间分析及设计是非常有必要的。1.2 状态空间法的国内外研究状况1940年到1950年，以频域方法为基础建立了古典控制理论，其特征是传递函数作为描述“受控对象”动态过程的数学模型，进行系统分析与综合；适用范围仅限于线性、定常（是不变）、确定性的、集中参数的单变量（单输入、单输出、简称siso）系统；能解决的问题是以系统稳定性为核心的动态品质。1950年代兴起的航天技术为代表的更加复杂的控制对象是一个多变量系统（多输入多输出、简称mimo），有的控制对象具有非线性和时变特性，甚至具有不确定的、分布参数特性等。在控制目标上，希望能解决在某种目标函数意义下的最优化问题。1950年到1960年代不少科学家为此作出了杰出贡献，其中应特别提到的是庞特里亚金的“极值理论”，贝尔曼的“动态规划”，卡尔曼的“滤波”、“能控性和能观性”理论等。正是这些理论上的突破性成果奠定了现代控制理论的基础，并成为控制理论由“古典控制理论”发展到“现代控制理论”的里程碑。1960年 召开的美国自动化大会上正式确定了“现代控制理论modern control theory”名称。“现代控制理论”是以建立在时域基础上的“状态空间模型”作为描述受控对象动态过程的数学模型，在某种意义上，“现代控制理论”是以“最优控制”为核心的控制理论。1.3 该研究解决的主要内容本课题是控制系统的状态空间的设计，主要是针对状态空间模型的建立，如何建立状态空间模型，由机理出发，由微分方程出发，由传递函数出发，由系统结构图出发。根据状态空间的线性变换，有特征值、特征向量、特征空间，还有传递函数阵、组合系统的状态空间模型、离散时间动态系统的状态空间描述。状态空间法的分析主要分析系统的能控性和能观性，以及采用状态反馈或者是输出反馈达到极点配置，使系统满足性能要求。2 打印机皮带驱动系统的状态空间设计2.1 打印机皮带驱动系统的工作原理在计算机外围设备中，常用的低价位打印机都配有皮带驱动器，用于驱动打印头沿打印页面横向移动。打印头可能是喷墨式或针式的图1所示是一个装有直流电机的皮带驱动式打印机，其光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力的变化用于调节皮带的实际弹性状态。图1打印机皮带驱动系统 图2 打印机皮带驱动模型2.2 打印机皮带驱动系统的数学模型状态空间建模及系统参数选择如图2所示为打印机皮带驱动器的基本模型模型中记皮带弹性系数为k，滑轮半径为r，电机轴转角为，右滑轮的转角为，打印头质量为m，打印头位移为，光传感器用来测量，光传感器的输出电压为，且。控制器的输出电压为，对系统进行速度反馈，即有式 。 打印机系统参数取值情况如表1所示：表1 打印装置的参数变量参数质量m=0.2kg光传感器k1=1v/m滑轮半径r=0.15m电感l0电机和滑轮的摩擦系数f=0.25nms电枢电阻电机传递系数电机和滑轮的转动惯量下面推导系统的运动方程，由于，可以知道皮带的张力和分别为 ， (1) 式中k为皮带弹性系数,为速度反馈系数，都可以进行设置。于是，作用在质量m上的皮带净张力为式 (2)其中，为第一个状态变量，表示打印头实际位移y与预期位移之间的位移差。显然，质量m的运动方程为 (3)取第二个状态变量为，于是有 (4) 定义第三个状态变量为，则的导数 (5)接着，推导电机旋转的运动方程；当l=0时，电机电枢电,而电机转矩为 ，于是有 (6)设作用在驱动皮带上的扰动转矩为，则电机驱动皮带的有效转矩为。显然，只有有效转矩驱动电机轴带动滑轮运动，因此有 由于 故得 (7)在上式中，代入式(6）以及 得到 最后得到 (8) (9)式(9)的信号流图如图3所示，图中还表示了扰动力矩md的节点。图3 打印机皮带驱动系统的信号流图模型由图3所示确定传递函数。利用梅森增益公式公式可得，其中回路增益,，因而有代入表一中所示的参数可得 (10) 3 控制系统的数学模型3.1 线性定常连续系统 （1） 微分方程模型设单输入单输出（siso）线性定常连续系统的输入信号为r（t），输出信号为c(t），则其微分方程的一般形式为 （11）式中，系数，.，.，为是常数，且。(2)传递函数模型对式1在零初始条件下求拉式变换，并根据传递函数的定义可得到单输入单输出系统传递函数一般形式为 （12） 为传递函数的分子多项式。 为传递函数的分母多项式，也称为系统的特征多项式。在matlab中，控制系统的分子多项式系数和分母多项式系数分别用向量num和den表示，即， （13） (3)零极点增益模型式（12）中所示的传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后，可写成如下形式： （14）对于单输入单输出系统，.为g（s）的零点，.为g（s）的极点，k为系统的增益。在matlab中，控制系统的零点和极点分别用向量z和p表示，即 , （15）显见，系统的模型将由向量z、p及增益k确定，故为零极点增益模型。 (4)频率响应数据模型设线性定常系统的频率特性为，在幅值为1，频率为（i=1,2,3,4，.，n）的正弦信号的作用下其稳态输出为，i=1,2，.，n。 (5)状态空间模型对于多输入多输出系统，应用最多的是状态空间模型。线性定常系统状态空间模型的一般形式为 （16）式（16）中，x（t）为状态向量（n维),u(t)为输入向量（p维）；y（t）为输出向量（q维）,a为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵（nn维）；b为控制矩阵或输入矩阵（np维）；c为观测矩阵或输出矩阵（qn维）；d为前馈矩阵或输入/输出矩阵（qp维）。式4中所示系统还可以简记为系统（a，b，c，d）或状态空间模型（a，b，c，d）。3.2 线性定常离散系统 (1)差分方程模型设单输入单输出线性定常离散系统的输入序列号为r（k），输出序列号为c（k）则其差分方程的一般形式为 （17）式（17）中，系数，为实常数，且。 (2)脉递函数模型脉冲传递函数也称为z传递函数。单输入单输出系统脉冲传递函数的一般形式为 (18) （3）零极点增益模型线性定常离散系统也可用零极点增益模型描述，即 (19)式（19）中，.为g（s）的零点，.为g（s）的极点，k为系统的增益。 （4）状态空间模型多输入多输出线性定常离散系统状态空间模型一般形式为 (20)式（20）中，x（k）为状态向量（n维),u(k)为输入向量（p维）；y（k）为输出向量（q维）,a为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵（nn维）；b为控制矩阵或输入矩阵（np维）；c为观测矩阵或输出矩阵（qn维）；d为前馈矩阵或输入/输出矩阵（qp维）。式4中所示系统还可以简记为系统（a，b，c，d）或状态空间模型（a，b，c，d）。 4 控制系统的状态空间分析4.1 状态空间的基本概念 （1） 状态和状态变量系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最小）变量称为状态变量。一个用n阶微分方程描述的系统，就有n个独立变量，当这n个独立的变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此可以说该系统的状态变量就是n阶系统的n个独立变量。状态变量的选取不具有唯一性，同一个系统可能有多种不通的状态变量选取方法。状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，无任何物理意义，但在具体工程问题中，应尽可能选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。例如，机械系统中常选取线(角)位移和线（角）速度作为变量，rlc网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态变量。状态变量常用符号 表示。（2） 状态矢量如果n个状态变量用 表示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则)就称为状态矢量，记作：= （21）或 = （22）（3） 状态空间以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在特定时刻t，状态矢量在状态空间中是一点。已知初始时刻 的状态，就得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。状态矢量的状态空间表示将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。（4） 状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或者一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： ,t （23）或 f, （24）（5） 输出方程描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，是一个变换过程，其一般形式为： g,t （25）或 =g, （26）（6） 状态空间表达式状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，其一般 ,t g,t （27）或 f,=g, （28）（7） 线性系统的状态空间表达线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数。线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为： =+ =+ （29）对于线性离散时间系统，由于在实践中常取=kt(t为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式可写为=+ =+ （30） （8） 线性定常系统在线性系统的状态空间表达式中，若系统矩阵，,或的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间表达式一般形式为： （31） 或 =+ =+ （32）（9） 线性系统的状态结构图线性系统的状态空间表达式常用结构图表示。线性连续时间系统式（31）的结构图如图1所示，线性离散时间系统式（32）的结构图如图2所示。结构图中i为n x n单位矩阵，s是拉普拉算子，为单位延迟算子， s和z均为标量。每一方块的输入-输出关系规定为：输出向量=（方块所示矩阵）x (输入向量)应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。图1线性连续时间系统的结构图图2 线性离散时间系统的结构图（10） 状态空间分析法在状态空间中以状态向量或者状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状态的变化特征，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随即、多变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。4.2 状态空间的线性变换及简化为了便于对控制系统进行分析与设计，常常需要将所建立的状态空间模型进行规范化处理，本节以连续时间状态空间模型式（31）为例，讨论状态空间模型的实现及简化问题，所得结论也适用于离散时间状态空间模型。对式（31）所示状态空间模型，按照=tx进行线性变换（也称相似变换），得到 （33） 即 （34）式中，t为非奇异变换矩阵，,。对系统进行线性变换的目的在于使a阵规范化，便于对系统进行分析与综合，下面介绍状态空间模型的几种常见的规范形式。（1）对角线规范型（diagonal forms）设a为n x n 维矩阵，且有n 个互异的实数特征值，可以通过线性变换将a阵化为对角矩阵。且 = （35） （2）约当规范型（jordan forms）若a阵具有重实数特征值，则可以将其化为约当规范型。重特征值所对应的特征向量是否独立直接影响约当规范型矩阵的形式，这里仅考虑两种情形：(a)设a阵具有5重实特征值，其余为（n-5）个互异实特征值，且5重实特征值只对应1个独立的实特征向量，则a阵的约当规范型矩阵为 （36）(b)设a阵具有5重实特征值，对应两个独立的实特征向量，其余为（n-5）个互异实特征值，则a阵的约当规范型矩阵的一种可能形式为 （37）对角线规范型可以看做是约当规范型的一种特殊情况。 （3）模态规范型（modal forms）n x n 维矩阵a既有实特征值，也有成对出现的复特征值，a阵规范化后得到的矩阵m称为模态规范型。实特征值在模态规范型中的形式与约当规范型（或对角线规范型）相同，共轭复特征值则以2 x 2维模块出现在模态规范型矩阵的对角线上。例如，设n x n维矩阵a有m个互异特征值，组互异复特征值，则a阵可化为如下模态规范型矩阵m： （38） 式中，。 （4）伴随规范型（companion forms） 设系统的特征多项式为，则伴随规范型矩阵的形式为 （39）式（29）所示形式也成为友矩阵。4.3 控制系统的能控性和能观性4.3.1 基本概念设线性系统的状态空间模型为=+= （40）初始条件为=。式中，为状态向量（n维），为输入向量（p维），为输出向量（q维），为n x n 维状态矩阵，为n x p 维输入矩阵，为q x n维输出矩阵。 （1）可控性对于线性系统式（40）所示，如果存在一个分段连续输入,能在，（）有限时间区间内使得系统从一非零状态= 转移到=0,则称状态在时刻为可控的.若系统的所有状态在时刻都是可控的,则称此系统状态完全可控,简称系统式(40)可控.如果系统存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的,则称系统式(40)在时刻是不完全可控,简称系统不可控。 (2) 可观性对于线性系统式（40），若对于初始时刻为的一非零初始状态= ，存在一个有限时刻，使得有限时刻间隔的系统输出能惟一地确定系统的初始状态，则称此状态在时刻为可观测，如果状态空间中的 所有状态都是时刻的可观测状态，则称系统式（40）在时刻是完全可观测的，简称可观测。如果状态空间中存在一个或者一些非零时刻是不可观测的，则称系统式（40）在时刻是不完全可观测的，简称不可观测。4.3.2 线性定常系统能控性的判别线性定常系统=+状态完全可控的充分必要条件是可控性判别矩阵 (41)满秩，即 rank=n (42)式中，n是状态向量的维数，即系统的阶数。结论： 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵和控制矩阵。在为对角线型矩阵的情况下，如果的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件，系统状态不可能在有限时间内衰减到零状态，从状态空间上说，=是不完全能控的。4.3.3 线性定常系统能观性的判别对于线性定常连续系统 （43）状态完全可观测的充要条件是其可观测判别矩阵 （44）满秩，即 rank= （45）式中，是状态向量的维数，即系统的阶数。4.4 控制系统的稳定性4.4.1 稳定性的定义（1）系统研究运动稳定性问题时，可用如下状态方程描述系统： ， （46）满足解存在的惟一条件时，其解可表示为 (47)（2）平衡状态对于所有，满足=0的解称为系统的一个平衡点或平衡状态。线性系统的平衡状态满足。一般把平衡状态取为状态空间的原点。（3）李雅普诺夫意义下的稳定性任意给定一个实数0，设系统的初始状态位于以为球心，半径为0的闭球域内，即满足，若能使系统方程的解在的过程中都位于以为球心、以为半径的闭球域内，即满足，则称系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。（4）渐近稳定若平衡状态在时刻是李雅普诺夫意义下稳定，满足，则称平衡状态为渐近稳定的诺平衡状态为渐近稳定的，且的选取与选取无关，则称此时平衡状态为一致渐近稳定的。（5）大范围渐近稳定若平衡状态是渐近稳定的，且其渐近稳定的最大范围是整个状态空间，则平衡状态就称为大范围渐近稳定。若平衡状态为大范围渐近稳定，且的选取与选取无关，则称此时平衡状态为大范围一致渐近稳定的。（6）不稳定对于某一实数，不论取得多么的小，由内出发的轨迹，只要其中有一条轨迹越出，则称平衡状态为不稳定。4.4.2 李雅普诺夫稳定性（1）线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性线性定常连续系统在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵，满足 (48)式（34）称为李雅普诺夫（lyapunov）矩阵代数方程（或李雅普诺夫方程）。且标量函数是系统的一个李雅普诺夫函数。（2）线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性线性定常离散系统的状态方程为 ，系统在其平衡状态处渐近稳定的充分必要条件是：给定任一正定对称矩阵，存在一个正定对称矩阵，满足离散型李雅普诺夫矩阵代数方程 （49）标量函数是系统的一个李雅普诺夫函数。5 状态空间法设计5.1 基本概念（1）状态空间模型状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量测方程模型，它将系统在某时刻的输出和系统的状态及输入变量联系起来。状态空间模型按所受影响因素的不同分为：确定性状态空间模型和随机性状态空间模型 ；状态空间模型按数值形式分为：离散空间状态模型和连续空间状态模型 状态空间模型概述 ：状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由akaike提出并由mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。 非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。 aoki和cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。协调积分概念的提出具有两方面的意义：如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化；如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。 根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。状态空间模型的假设条件是动态系统符合马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。状态空间模型具有如下特点：状态空间模型不仅能反映系统内部状态，而且能揭示系统内部状态与外部的输入和输出变量的联系；状态空间模型将多个变量时间序列处理为向量时间序列，这种从变量到向量的转变更适合解决多输入输出变量情况下的建模问题；状态空间模型能够用现在和过去的最小心信息形式描述系统的状态，因此，它不需要大量的历史数据资料，既省时又省力。（2）极点配置函数matlab控制工具箱提供了控制系统状态空间法设计函数，即极点配置函数，设单输入系统的状态空间模型为 (50)其中，分别为n维、m维和q维向量，、和矩阵分别为n x n 维，n x m 维和q x n维实数矩阵。由期望闭环极点组成的向量p。将状态向量x通过状态反馈增益（参数待定）负反馈至系统的参考输入，即，便构成了状态反馈系统。引入状态反馈后系统的状态空间模型为 （51）若系统式（50）可控，选择反馈矩阵k，引入状态反馈后得到式（51）所示系统的闭环极点可任意配置。且的特征值与向量的元素按照升序一一对应，即有=。5.2 全维状态观测器及其设计当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。但在许多情况下，通常只有配控对象的输入量和输出量能够用传感器测量，而多数状态变量不易测得或不可能测得，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器来重构状态的问题。当重构状态箱梁的维数等于被控对象状态箱梁的维数时，称为全维状态观测器。（1）全维状态观测器构成方案 设被控对象动态方程为 ， （52）构造一个动态方程与式（52）相同且能用计算机实现的模拟被控系统 ， （53）上式中，分别为模拟系统的状态箱梁和输出向量，是被控对象状态箱梁和输出响亮的估值。当模拟系统与被控对象的初始状态向量相同时，在同一输入作用下，有，可用作为状态反馈所需用的信息。但是，被控对象的初始状态可能很不相同，模拟系统中积分器初始条件的设置又只能预估，因而两个系统的初始状态总有异差，即使两个系统的a,b,c阵完全一样，也必定存在估计状态与被控对象实际状态的误差，难以实现所需要的状态反馈。按以上原理构成的状态观测器及其实现状态反馈的结构图。状态观测器有两个输入，即u和y，输出为。观测器含n个积分器并对全部状态变量做出估计。h为观测器输出反馈矩阵。（2）全维状态观测器分析设计由图3可列状态观测器动态方程 ， （）故有 = （）式中，称为观测器系统矩阵。这时只要的全部特征值距具有负实部，初始状态向量误差总会按指数衰减规律，其衰减速率取决于观测器的极点配置。由输出反馈定理可知，若被控对象可观测，则的极点可任意配置，以满足逼近的速率要求，因而保证了状态观测器的存在性。图3 状态观测器及其实现状态反馈结构图5.3 根据微分方程建立状态空间已知系统的微分方程为： （52） 根据式（52）求出系统的状态空间方程。 方法一：选取状态变量: 得到: 即状态方程为： （53） （54）输出方程为： (55) (56)方法二：引入中间变量,令 并将原微分方程分解成如下两个方程：选择系统的状态变量为： 得系统状态方程和输出方程 (57)若,则有写成矩阵形式 (58) (59)5.3 极点配置4.3.1 状态反馈与极点配置状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。如图5所示是一个多输入-多输出系统状态反馈的基本结构。图5 加入状态反馈系统的结构图如图5所示中受控系统的状态空间表达式为 （60） 其中为维状态矢量，为控制矢量。分别为维矩阵。状态线性反馈控制律为 （61）其中维参考输入；维状态反馈增益阵。对单输入系统，为维行矢量。将式(61)代入式(60)整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式 （62） 比较式(48)和式(50)可知，状态反馈增益阵的引入，并不增加系统的维数，但可通过的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。可以证明状态反馈不改变系统能控性，因此可以利用状态反馈，很好地解决极点配置问题。对于单输入单输出系统，采用状态反馈对受控系统任意配置极点的充要条件是受控系统状态完全能控。若完全能控，通过状态反馈必成立 （63） 式中期望特征多项式。 （64）式中期望的闭环极点（实数极点或共轭复数极点）。若完全能控，必存在非奇异变换式中能控标准型变换矩阵。能将化成能控标准型 （65）其中 （66） （67） （68） 受控系统的传递函数为 （69）加入状态反馈增益阵 可求得对的闭环状态空间表达式 （70） 式中 闭环特征多项式为 （71）闭环传递函数为 （72） 使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足由