初二数学专项讲解 有关三角形全等三角形加辅助线、加条件的证明.pdf

第八讲第八讲 有关三角形全等、有关三角形全等、 三角形加辅助线、加条件的证明三角形加辅助线、加条件的证明 【例 1】如图，在四边形 abcd 中，ab=dc，ad=bc，点 e、f 在 ac 上，且 ae=cf， 请你以 f 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明 它和图中已有的哪一条线段相等(只需证明一组线段相等即可). （1）连接：bf （2）猜想：bf=de （3）证明： ab=dc,ad=bc,ac=ca abc cda 1=2 又ae=cf adecbf de=bf 【例 2】已知：如图，a、g、o 在同一条直线上，过点 o 的直线 l/ab.以点 o 为 圆心，ab 长为半径画弧，与直线 l 相交于 d、e 两点.请利用线段 oe 或线段 od 为一边构造一个三角形，使它和abc 全等，写出构造方法，并加以证明. 解：解： 构造方法： 以 o 为圆心， 以 ac 长为半径画弧， 交 ac 于 f，h 连接 oe 或 od 证明：ab/l 1=2 又ac=of,ab=oe oefabc odhabc 由学生完成 【例 3】已知：如图，在abc 中，abc=acb，延长 ac 到 d，使 cd=ab，e 是 ac 中点，求证 bd=2be. 证明：延长 be 到 f，使 ef=be，连接 cf e 是 ac 的中点 ae=ec 又6=7 aebcef ab=cf, 3=a 又cd=ab cf=cd abc=acb 5=a+abc=4+3 即bcd=bcf 又bc=bc bcfbcd(sas) bd=bf 即 bd=2be 【例 4】已知：如图，ad 平方bac，ad=ab，cmad 于 m.请你通 过观察和测量，猜想线段 ab、ac 和线段 am 有怎样的数量关系，并 证明你的结论. 猜想：ab+ac=2am 证明： 过点 c 作 ce/ab,ce 与 am 的延长线交于点 e，则 ecd=b，e=bad ad 平方bac 1=2 e=cad ac=ec 又 cmad 于 m am=me 即 ae=2am ad=ab b=adb 又edc=adb ecd=edc ed=ec ab+ac=ab+ce=ad+ed=ae ab+ac=2am 巩固：第二种方法学生完成（提示：用倍长法） 【例 5】已知：ab=ac, a=100,bd 平分abc，求证： bc=bd+ad 分析：让一条线段等于两条线段的和，可以在长线段截取一段等于其 中一段，再证明另一段相等（简称做一让一） 分析：让一条线段等于两条线段的和，可以在长线段截取一段等于其 中一段，再证明另一段相等（简称做一让一） 证明：证明：在 bc 上截取 af=ab，be=bd，连结 fd、de。 bd 平分abc 1=2 又bd=bd abdfbd ad=fd 3=a=100 ab=ac, a=100 abc=c=40 2=20 bd=be bde=4=80 3=100 5=80 5=4 df=de 4=80 6=100 c=40 7=40 7=c de=ec ec=ad bc=be+ec bbc=bd+ad 【例 6】已知：如图， abc 中， acb=90 , bac=30 分别为边在abc 的外侧作等边三角形 abe 和等边三角形 acd，de 交 ab 于点 f.求证：ef= ed. 分析：要 ef= ed，需让 df=fe，若将 df、fe放在adf 和abf 中让全等是不通的，因为adf 是 rt ，这个需要构造一个以 ef 为 斜边的 rt . 证明：过点 e 作 em ab 于 m abe 为等边三角形 ab=be , bm= ab 又 acb=90, bac= 30 bc= ab bc=bm rtabcebm ac=em 又adc 是等边三角形 ad=ac 1 2 1 2