高一数学必修四(公式总结).pdf

1 高一数学公式总结高一数学公式总结 复习指南复习指南 1 1 注重基础和通性通法注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力， 注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注 重基础和通性通法的同时， 应注重一题多解的探索， 经常利用变式训练和变式引申来提高自 己的分析问题、解决问题的能力。 2.2.注重思维的严谨性注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了 不一定美。即数学学习的五种境界：听懂会对美。 我们今后要在第五种境界上下功夫， 每年的高考结束， 结果下来都可以发现我们宿迁市的考 生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调 很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观” ： 1. 审题观2. 思想方法观3.步骤清晰、层次分明观 3.3. 注重应用意识的培养注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心， 达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.4.培养学习与反思的整合培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的， 而只能由学生 依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、 和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的 或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行 记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修 正。 （这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。 ）记得有一位中科院 的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一 门学问门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展知识的得到拓展， ， 能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我 们的自然的习惯！ 5.5.注重平时的听课效率注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有 些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题 心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要 印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的， 听听老师对问题的分析和解题技巧， 老师是如何想 到的， 与自己预习时的想法比较。 课堂上记下比较重要的东西， 更重要的是跟着老师的思路， 注重老师对题目的分析过程。 课后宁愿花时间去整理笔记， 因为整理笔记实际上是一种知识 的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，就记下来， 抓住自己思维的火花，因为较为深刻的思维火花往往是稍纵即逝的。 在这里我再一次强调听课要做到“五得” 听得懂 想得通 记得住 说得出 用得上 2 6.6. 注重思想方法的学习注重思想方法的学习 学习数学重再学习数学思想方法，它是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含 于数学知识发生、发展和应用的过程中，也是历年来高考数学命题的特点之一。不少学者认 为： “传授知识”是数学的一种境界，加上“能力培养”是稍高的境界，再加上“方法渗 透”是较高的境界，而再加上“提高修养（指数学文化和非智力引力的介入） ”则是最高境 界。作为学生一定要深刻理解数学的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法， 才能把数学的知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，才能体现数学的学科特点， 才 能形成数学素养。 即使在以后我们走上社会， 在工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为 自身的较深的修养， 从而使得自己的气质得以升华， 它对于我们今后的做人和处事有很大的 指导意义，再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养。 真心希望我的这些忠告能够对你今后的学习有所帮助，果真如此，也就聊以欣慰了！ 基本三角函数基本三角函数 2 2 、 2 、 2 、 2 、 终边落在终边落在 x x 轴上的角的集合：轴上的角的集合：z=, 终边落在终边落在 y y 轴上的角的集合：轴上的角的集合： +=z , 2 终边落在坐标轴上的角的集合：终边落在坐标轴上的角的集合： =z , 2 2 2 1 2 1 rrls rl = = 弧度 度弧度 弧度 弧度度 180 180 1 180 1 2360 . = = = = 倒数关系：倒数关系： 1 1 1cottan = = = seccos cscsin正六边形对角线上对应的三角函数之积为正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1 1 基本三角函数符号记基本三角函数符号记 忆忆： “一全，二正弦，三切一全，二正弦，三切， 四四 余弦余弦” 3 平方关系：平方关系： 22 22 22 1 1 1tan csccot cossin sec =+ =+ =+ 乘积关系：乘积关系：cossintan=， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 诱导公式诱导公式终边相同的角的三角函数值相等 () () ()zk , tan2tan zk , 2 zk , 2 =+ =+ =+ k coskcos sinksin 轴对称关于与角角x () () () tantan= = = coscos sinsin 轴对称关于与角角y () () () tantan= = = coscos sinsin 关于原点对称与角角+ () () () tantan=+ =+ =+ coscos sinsin 对称关于与角角xy= 2 cot 2 tan 2 2 = = = sincos cossin cot 2 tan 2 2 = + = + = + sincos cossin 上述的诱导公式记忆口诀上述的诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限” 周期问题周期问题 () () () () () () 2 t , 0b , 0 , 0a , b 2 t , 0 b , 0 , 0a , b t , 0 , 0a , t , 0 , 0a , 2 t , 0 , 0a , 2 t , 0 , 0a , =+= =+= =+= =+= =+= =+= xacosy xasiny xacosy xasiny xacosy xasiny () () () () =+= =+= =+= =+= t , 0 , 0a , cot t , 0 , 0a , tan t , 0 , 0a , cot t , 0 , 0a , tan xay xay xay xay 三角函数的性质三角函数的性质 三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方边对应的三角函数的平方 4 性性质质 xsiny =xcosy = 定义域定义域r rr r 值值域域 1 , 11 , 1 周期性周期性22 奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数 单调性单调性 减函数 增函数 , 2 3 2, 2 2 , 2 2 , 2 2 zkkk zkkk + + 减函数 增函数 ,2 ,2 , 2 , 2 zkkk zkkk + 对称中心对称中心 ()zkk,0 , zkk +,0 , 2 对称轴对称轴 zkkx+=, 2 zkkx=, 图图 像像 性性质质 xy tan=xy cot= 定义域定义域 +zxx , 2 zxx, 值值域域r rr r 周期性周期性 奇偶性奇偶性奇函数奇函数奇函数奇函数 单调性单调性 增函数, 2 , 2 zkkk + ()增函数,zkkk+ 对称中心对称中心()zkk,0, zkk +,0, 2 对称轴对称轴无无无无 5 线段定比分点坐标公式 + + = 1 21 xx x + + = 1 21 yy y 线段定比分点向量公式 . 线段中点坐标公式线段中点向量公式 . 2 21 opop op + = 图图 像像 ()kxasinysinxy+=变化为怎样由？ 振幅变化：sinxy=asinxy=左右伸缩变化： xasiny=左右平移变化)(+=xasiny 上下平移变化kxasiny+=)( 平面向量共线定理：一般地，对于两个向量平面向量共线定理：一般地，对于两个向量()如果有,0,baa ()是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数ababaab,0,= .,ab=使得那么又且只有一个实数 线段的定比分点线段的定比分点 点p分有向线段 21p p所成的比的定义式 21 pppp= . + + = 1 21 opop op 当1=时当1=时 2 21 yy y + = 向量的一个定理的类似推广向量的一个定理的类似推广 2 21 xx x + = x y 0 6 向量共线定理：()0 =aab 推广 平面向量基本定理： += 不共线的向量 为该平面内的两个其中 21 2211 , , ee eea 推广 空间向量基本定理： += 不共面的向量 为该空间内的三个其中 321 332211 , , eee eeea 一般地，设向量一般地，设向量()()aayxbyxa如果且, 0, 2211 =0 1221 =yxyxb那么 反过来，如果反过来，如果ayxyx则 , 0 1221 =b. 一般地，对于两个非零向量一般地，对于两个非零向量ba,有有cosbaba=，其中其中为两向量的夹角。为两向量的夹角。 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba cos + + = = 特别的，特别的， 22 aaaaaaa=或者 ()() 0 , , 0 , , , 2121 21212211 =+ += yyxxba yyxxbaayxbyxa 特别的 则且如果 0o , 2121 =+ + nn oaoaaoaaan则的中心为边形若正 三角形中的三角问题三角形中的三角问题 2 - 22 , 22 , cbacba cba = + = + =+ ()( )()( ) = + = + =+=+ 22 cos 2 cos 2 ccoscos c sin ba cba sinbacsinbasin 正弦定理：正弦定理： sincsinbsina cba r sinc c sinb b sina a + + =2 余弦定理：余弦定理： 2 2 , 2 222 222222 abcoscbac accosbcabbccosacba += +=+= 7 变形：变形： ab cba cosc ac bca cosb bc acb cosa 2 2 , 2 222 222222 + = + = + = cbacbatantantantantantan=+ 三角公式以及恒等变换三角公式以及恒等变换 两角的和与差公式：两角的和与差公式： () () )( )( s , s , + = +=+ sincoscossinsin sincoscossinsin () () () () )( )( )( )( t , tantan1 tantan tan t , tantan1 tantan tan c , c , + + + = + =+ += =+ sinsincoscoscos sinsincoscoscos 变形变形： ()() ()() 为三角形的三个内角其中 , tantantantantantan tantan1tantantan tantan1tantantan =+ += +=+ 二倍角公式：二倍角公式： 2 2222 tan1 tan2 2tan 21122 22 = = = sincossincoscos cossinsin 半角公式：半角公式： 2 1 2 2 1 2 cos cos cos sin + = = sin cos cos sin cos cos = + = + = 1 11 1 2 tan 降幂扩角公式：降幂扩角公式： 2 21 , 2 21 22 cos sin cos cos = + = 积化和差公式：积化和差公式： ()() ()() ()() ()() += += += += coscossinsin coscoscoscos sinsinsincos sinsincossin 2 1 2 1 2 1 2 1 和差化积公式：和差化积公式： + = + =+ + = + =+ 22 2 22 2 22 2 22 2 sinsincoscos coscoscoscos sincossinsin cossinsinsin （ sscc cccc csss scss 2 2 2 2 = =+ = =+ ） 8 万能公式万能公式: : 2 tan1 2 tan1 2 tan1 2 tan2 2 2 2 + = + = cos sin ( (+cts) ) 2 tan1 2 tan2 tan 2 = 三倍角公式：三倍角公式： coscoscos sinsinsin 343 433 3 3 = = 2 3 tan31 tantan3 3tan = “三四立，四立三，中间横个小扁担三四立，四立三，中间横个小扁担” () () () () () () () () . . , . , 1. , . ,: tan , tan , y .4 tan , tan , y .3 tan , tan , .2 tan , .1 22 22 22 22 22 22 22 22 比较容易理解和掌握与差的与弦来靠项是余弦的就用两角和 第一的正弦来靠正弦的就用两角和与差一般是表达式第一项是 的就可以直接写出 其它的推导即表达技巧只要记忆不需要死记公式求解最值问题 进而可以化归相同的形式也有不同的归不同的形式有不同的化注 其中 其中 其中 其中 其中 其中 其中 a b cosba b a sinba sinbabsinacos b a cosba a b sinbabcosasin a b cosba b a sinbabsinacosy a b sinbabcosasiny =+= =+= += =+= =+= =+= =+=+= =+=+= 补充：补充： 1.1. 由公式由公式 () () )( )( t , tantan1 tantan tan t , tantan1 tantan tan + + = + =+ 可以推导可以推导 ：()()2tan1tan1 , z , 4 =+=+ 时当 在有些题目中应用广泛。 2.2.()()+=+tantantantantantan 3.柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dr+ 9 补充补充 1常见三角不等式： （1）若(0,) 2 x ，则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x ，则1sincos2xx+.(3)|sin |cos | 1xx+. 2. 22 sin()sin