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人教版高中数学必修1复习导学案第一章 集合与函数 371.1.1 集合的含义与表示【学习目标】1了解集合的含义，明确集合元素的特征；2掌握集合的表示方法；3体会元素与集合的“从属”关系.【知识回顾】（一）知识点填空：1一般地，我们把 统称为元素，把一些元素的 叫做集合，集合中的元素是 的、 的、 的.2集合的表示方法：（1） ；（2） .3元素与集合的关系是 （二）课前检测：1、用“”或“”填空：（1）0 n；（2） q；（3） ；（4） ；（5） ；2、用适当的方法表示下列集合：（1）奇数集合；（2）5除余1的数的集合；（3）不等式解集；（4）方程组的解集；（5）；（6）抛物线上的点组成的集合.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【例题讲解】例1、用列举法表示集合a=.例2、用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点组成的集合.23o例3、已知，求的值.【跟踪训练】1、已知集合m=，求的值.2、已知集合a=，若a，求实数的值.1.1.2 集合间的基本关系【学习目标】1区别元素与集合、集合与集合之间的关系；2理解集合的包含关系及相关概念；3能用venn图表示集合间的关系；4理解空集、集合相等的概念，会判断集合是否相等；5能利用集合之间的关系解决相关的参数问题.【知识回顾】（一）知识点填空：1对于集合a和b，如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，就说集合a与集合b具有 关系，集合 是集合 的子集，记作a（或），如果a，且存在元素b，但a，就说集合a是集合b的真子集，记作ab（或）2不含任何元素的集合叫做 ，记作 .3子集的性质：（1）a；（2）；（3）如果a，b，那么a.4对于两个集合，如果它们的元素完全相同，就说这两个集合 ，记作 .用子集来定义就是：如果a，b，那么a=b.（二）课前检测：1用“” 填空：（1） ； （2） ； （3） ；（4） n； （5）q r；（6） .2写出集合的所有子集.3已知集合p=，那么满足q的集合q的个数是（ ）a.5； b.6； c.7； d.8.4已知a=，b=，c=，d=，用venn图表示四个集合之间的关系，并用符号表示四个集合中的所有包含关系.【例题讲解】例1、已知集合m=，集合n=，若nm，求实数的取值范围.例2、已知集合a=，b=，若a=b，求的值.【跟踪训练】1、设a=，b=，若ab，则的取值范围是（ ）a. ； b. ； c. ； d. .2、集合m=与集合n=之间的关系是（ ）a. ； b. ； c. d. .3、满足条件 的集合b有 个.4、设集合a=，b=，若，求实数的取值范围.1.1.3 集合的基本运算（1）【学习目标】1、 掌握集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；2、 能用venn图表达集合的关系与运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.【知识回顾】（一）知识点填空：1、由所有 的元素组成的集合称为集合a与集合b的并集，记作，由所有 的元素组成的集合称为集合a与集合b的交集，记作，用符号语言可表示为：，.用venn图表示为：并集的性质：，交集的性质：.并集与交集的性质不必死记，只要画出venn图即可.2、如果一个集合含有我们研究问题中所涉及的 ，那么称这个集合为全集，全集通常记作“u”3、对于一个集合a，由全集u中所有 的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集，记作ua. 即 ua=.补集的性质：a)=u，a .补集的性质也不必死记，由venn图可以理解.（二）课前检测：1、设集合，则等于（ ）a. ； b. ； c. ； d. .2、设集合p=，q=，则等于（ ）a.； b. ； c. ； d. .3、设集合a=；b=，则 .4、设全集u=，m=，则 .5、已知m=，n=，则等于（ ）a.， b.； c. r； d.6、已知全集u，集合a= ，求集合b.【例题讲解】例1、设，若，求实数的取值范围.例2、设全集为r，集合a=，b=，求及 【跟踪训练】1、设全集u=，a=，b=，则等于（ ）a. ； b. ； c. ； d. .2、已知全集u=，集合a=，b=，求：（1）；（2）；（3）；（4）.3、已知集合a=，b=，求、的值.1.2.1 函数的概念及表示方法【学习目标】1、理解函数的概念，了解构成函数的三个要素；2、会求一些简单函数的定义域，能够正确使用区间表示函数的定义域；3、理解实际问题中对定义域的要求.【知识回顾】1、设a、b是两个 数集，如果按照某种对应法则，对于集合a中的 元素，在集合b中都有 的数和它对应，那么就称为从集合a到集合b的一个函数，记作,其中叫作 ，的取值范围a叫做函数的 ，与的值对应的的值叫做 ，函数值的集合叫做函数的 . 是集合b的子集2、构成函数的三要素是： 、 和 .它们是判断两个函数是否为同一函数的依据.3、基本初等函数的定义域和值域：（1）一次函数：（2）反比例函数：（3）二次函数：4、用区间表示数集（略）【课前检测】1、判断下列各组函数是否相等（对的打“”，错的打“”）：（1）（ ）；（2）（ ）；（3）（ ）；（4）（ ）.2、区间表示的集合是（ ）a. ； b. ；c. ； d. .3、函数的定义域是 ，值域是 .4、函数的定义域是 .5、已知函数，（1）画出函数图象的简图；（2）根据图象写出函数的值域.【题型讲解】例1、已知，.（1）求、的值；（2）求的值.例2、（1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）若函数的定义域为，求的定义域.例3、已知为一次函数，且，求函数的解析式.例4、已知，求的解析式.例5、已知，求的解析式.例6、已知函数.（1）作出函数的图象；（2）判断关于的方程的解的个数.【跟踪训练】1、函数的定义域是 . 2、函数的定义域是，其值域是 .3、设，则 .4、已知则 ， .5、函数的值域是 .6、若函数，则函数的表达式为= .7、已知一次函数满足，且图象经过点，求的解析式.8、已知，求.9、已知函数满足：，求.10、（1）已知函数的定义域是，求函数的定义域.（2）已知函数的定义域是，求函数的定义域.1.2.2函数的表示方法（续）【学习目标】1、了解分段函数的概念，能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题；2、了解映射的概念，会判断给出的对应是不是映射.【知识回顾】1、如果一个函数在定义域的不同部分有不同的对应关系（或不同的表达式），这样的函数就叫做分段函数.2、设a、b是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系，使对于集合中a的任意一个元素，在集合b中都有唯一的元素与之对应，那么就称对应为集合a到集合b的一个映射，记作“”.注意：函数是特殊的映射，但映射不一定是函数.【课前检测】1、已知函数，则 .2、已知函数，若，则的值为 .3、分别画出函数与函数的图象.1231234、下列对应不是映射的是（ ）a b. 123123c. d.【题型讲解】例1、画出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）例2、某汽车以53km/h的速度从a地到260km远处的b地，在b地停留h后，再以65km/h的速度返回a地.写出汽车离开a地后行走的路程s（km）与时间（t）的函数关系式.例3、已知函数.（1）试比较与的大小；（2）求使的的值.例4、下列对应为集合到集合的映射的是（ ）a. ；b. ；c. ；d. .1.3 函数的基本性质1.3.1 函数的单调性与最大（小）值【学习目标】1、 理解函数单调性的概念，会判断函数的单调性，会求函数的单调区间；2、 会用定义证明函数的单调性；3、 理解函数最值的概念及其几何意义；4、 掌握简单函数最值的求法.【知识回顾】1、函数单调性的概念（1）设函数的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间d上是增函数，如果对于定义域i内的某个区间d上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间d上是减函数如果一个函数在某个区间上m上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间m上具有单调性，区间m称为单调区间2、证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在区间d上任取两个值、，且；（2）作差：计算；（3）断号：判断的符号；（4）定论：作出函数单调性的结论3、设函数的定义域为a，如果存在实数m满足：（1）对于任意的，都有或；（2）存在实数，使得，那么就称m为函数的最大值或最小值【课前检测】73-43-2561、如图为函数，的图象，则它的单调增区间为 ，单调减区间为 ，最大值为 ，最小值为 2、函数在区间上的最小值为 ，最大值为 3、函数的最大值为 4、证明函数在r上是增函数5、求函数的单调区间【题型讲解】例1、证明函数在区间上是减函数例2、设是定义的上的增函数，且，若，且，求实数的取值范围例3、已知在上是减函数，求实数的取值范围例4、求二次函数在上的最大值与最小值例5、已知函数对任意的、，都有，且当时（1）求证：是r上的减函数；（2）求在上的最大值和最小值【跟踪训练】1、对于函数，下列判断正确的是（ ）a在内单调递增； b在内单调递减；c在内单调递增； d在内单调递减2、若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）a ； b； c； d3、在区间上为增函数的是（ ）a； b； c； d4、已知为r上的增函数，则满足的实数的取值范围是 5、函数的最大值为 6、函数在区间上的最大值为 7、用定义法证明函数在区间上是增函数8、画出函数的图象，并写出该函数的单调区间1.3.2奇偶性【学习目标】1、 理解奇函数与偶函数的定义；2、 掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3、 初步学会运用函数的图象理解和研究函数的性质【知识回顾】1、如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数2、如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数3、奇偶函数的定义域一定关于原点对称，如果函数的定义域不关于原点对称，那么此函数既不是奇函数也不是偶函数4、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，确切一点说：“奇函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点；偶函数的图象是轴对称图形，对称轴是轴5、若奇函数的定义域内有0，则6、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数则相反【课前检测】1、下列结论正确的是（ ）a偶函数的图象一定与轴相交；b奇函数的图象一定过原点；c偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；d奇函数在定义域上一定单调2、若函数是奇函数，且，则必有（ ）a； b；c； d3、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）； （4）【题型讲解】例1、判断下列函数的奇偶性：（1）； （2）例2、已知奇函数当时，求的解析式例3、设是上的奇函数，且，当，则（ ）a； b； c； d例4、若为偶函数，其定义域为r，且在上为增函数，试比较与的大小【跟踪训练】1、若函数为偶函数，且当时，则当时，= 2、若函数是偶函数，且有两个根、，那么 3、已知函数为偶函数，则的值是 4、若偶函数在上是增函数，则下列关系式成立的是（ ）a；b；c； d5、若是奇函数，则下列关系式成立的是（ ）a； b；c； d6、已知，其中、为常数，若，则的值为（ ）a； b； c； d7、判断函数的奇偶性8、已知定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围第二章 基本初等函函数2.1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算【学习目标】1、 理解次方根及根式的概念，理解指数幂的含义，掌握根式与指数幂的互化，明确根式与指数幂有意义的条件；2、 掌握根式及指数幂的有关性质，能运用相关性质进行根式的化简与运算【知识回顾】1、一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，记作其中叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数都有意义；当为偶数时，对于非负实数都有意义，对于负实数没有意义2、，3、，其中,4、5、整数数指数幂的运算法则对于分数指数幂同样适用【课前检测】1、（1） ；（2） ；（3） ；（4）；（5）；2、用根式表示分数指数幂：（1）；（2）；（3）.3、用分数指数幂表示根式：（1）；（2）；（3）.4、设，化简.【题型讲解】例1、将下列根式化为分数指数幂的形式：（1）； （2）例2、计算：（1）；（2）.例3、（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值【跟踪训练】1、的值是（ ）a； b； c； d2、化简的结果是（ ）a1； b； c； d3、计算的结果是（ ）a； b； c； d4、计算：（1）；（2）；（3）2.1.2指数函数及其性质【学习目标】1、 理解指数函数的概念，明确指数函数的图象的形状；2、 通过指数函数的图象研究指数函数的性质；3、 应用指数函数的性质解决简单的问题【知识回顾】1、 形如的函数叫做指数函数2、 指数函数的图象及性质：(略)【题型讲解】例1、指出下列函数中，哪些是指数函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），（7）；（8）例2、求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）；（3）例3、比较大小：（1）与； （2）与； （3）与【跟踪练习】1、函数的定义域是（ ）a； b； c； d2、函数的图象必经过定点（ ）a； b； c； d3、已知，则、的大小关系是（ ）a； b； c； d4、函数，对于任意实数都有（ ）a； b；c； d5、函数是（ ）a奇函数； b偶函数； c非奇非偶函数； d既是奇函数又是偶函数6、若，则的取值范围是 7、若是奇函数，则8、函数与的图象的交点的个数为 个9、已知函数，求当时的值域10、已知，函数的值恒大于1，求实数的取值范围2.1对数与对数函数一、知识要点： （一）对数及其运算1、如果，那么叫做以为底n的对数，记作叫做底数，叫做真数以10为底的对数叫做常用对数，记作，以为底的对数叫做自然对数，记作由对数的定义得：=n（对数恒等式）；（底数的对数等于1）；（1的对数等于0）2、对数的性质：； 3、对数换底公式：由对数换底公式可得：；（二）对数函数及其性质：形如的函数叫做对数函数，其定义域为，值域为r对数函数的图象过定点（1，0）；当时，对数函数是减函数，当时，对数函数是增函数二、题型讲解例1、填空：（1） ；（2） ；（3） ；（4）= ；（5） 例2、求下列各式中的：（1）已知，则= ；（2），则= （3）若，则= ；若，则= 例3、（1）已知，用 、表示 例4、计算：（1） （2） 例5、解答下列各题：（1）设，求的值；（2）若，求的值例6、求下列函数的定义域：（1）y=； （2）； （3）例7、作函数的图象例8、比较大小：（1）与； （2）与；例9、（1）比较与及；（2）已知，比较与的大小例10、解不等式：例11、.求下列函数的单调区间及值域：（1） ； （2） 三、跟踪练习一、选择题：（本题共12小题，每小题3分，共36分）1、已知，则（ ）a； b； c； d2、若，则（ ）a； b； c； d3、已知，则（ ）a； b； c； d4、使有意义的的取值范围是（ ）a； b； c； d且5、已知，那么用表示是（ ）a； b； c； d6、，则的值为（ ）a； b4； c1； d4或17、如果方程的两根是、，则的值是（ ）a； b； c35； d8、已知，那么等于（ ） a； b； c； d9、函数的图像关于（ ）a轴对称； b轴对称； c原点对称； d直线对称10、函数的定义域是（ ）a； b； c； d11、函数的值域是（ ）a； b； c、； d、12、，则的取值范围是（ ）a； b； c； d二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）13、 ， ， 14、已知，则 15、已知，则 16、已知，则 17、若，则 18、函数的定义域是 。三、解答题：（本题共5小题，共66分.）19、计算：（每小题5分，共20分）（1）； （2）（3）； （4）20、（5分）设，试用、表示21、（5分）已知，且，求的值22、（每小题4分，共24分）求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）（4）； （5）；（6）23、画出下列函数图象的草图：（每小题5分，共12分）（1）； （2）； （3）ooo第三章 函数的应用3.1根与零点及二分法【知识要点】阅读教材p86-90完成下面填空1方程有实根 2零点定理：如果函数在区间 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间 内有零点，即存在，使得 ，这个也就是方程的根3二分法求函数零点近似值的步骤：（1）确定区间 ，验证 ，给定 （2）求 ；（3）计算 ；若 ，则 ；若 ，则令 ；若 ，则令 （4）判断 【课前练习】1下列函数中有2个零点的是 ( )a； b c ； d 2若函数在区间上为减函数，则在上( )a至少有一个零点； b只有一个零点c没有零点； d至多有一个零点3用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 4若的最小值为1，则的零点个数为 ( )a0； b1； c0或l； d不确定【例题讲解】5已知唯一的零点在区间、内，那么下面命题错误的（ ）a函数在或内有零点； b函数在内无零点；c函数在内有零点； d函数在内不一定有零点6若函数在上连续，且有则函数在上 ( )a一定没有零点； b至少有一个零点；c只有一个零点； d零点情况不确定7如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）a； b； c； d8函数的零点个数为 9设，用二分法求方程内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）a（1，1.25）； b（0.25，1.5）； c（0.5，2）； d不能确定10证明：函数在区间（2，3）上至少有一个零点【课后巩固】1求零点的个数为（ ）a b c d2若函数在上连续，且同时满足，则 ( )a在上有零点；b在上有零点；c在上无零点；d在上无零点；3方程的实数根的个数是 ( )a1； b2 ； c3； d无数个4用二分法求方程在精确度下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间且，此时不满足，通过再次取中点有，此时，而在精确度下的近似值分别为 (互不相等)则在精确度下的近似值为 ( )a； b； c； d5已知，判断函数有无零点?并说明理由111函数的应用(2)生活中的函数问题【知识要点】阅读教材p95-106完成下面填空1几类不同增长的函数模型利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2函数模型及其应用 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： ； ； ； 3解函数实际应用问题的关键：耐心读题，理解题意，分析题中所包含的数量关系（包括等量关系和不等关系）【课前练习】1某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造06万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底沙漠比原有面积增加数020000400006001观测时间1999年底2000年底沙漠比原有面积增加数07999100012有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是p和q万元，它们与投入资金x（万元）的关系为：,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？【例题讲解】3如图，河流航线ac段长40公里，工厂上；位于码头c正北30公里处，原来工厂b所需原料需由码头a装船沿水路到码头c后，再改陆路运到工厂b，由于水运太长，运费太高，工厂b与航运局协商在ac段上另建一码头d，并由码头d到工厂b修一条新公路，原料改为按由a到d再到b的路线运输设|ad|=公里(040)，每10吨货物总运费为y元，已知每10吨货物每公里运费，水路为l元，公路为2元(1)写出y关于的函数关系式；(2)要使运费最省，码头d应建在何处?4某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系：（1）写出明年第个月这种商品需求量 (万件)与月份的函数关系式，并求出哪几个月的需求量超过14万件；（2）若计划每月该商品的市场投放量都是万件，并且要保证每月都满足市场需求，则至少为多少万件? 【课后巩固】 自主落实，未懂则问1如图，今有网球从斜坡o点处抛出路线方程是；斜坡的方程为，其中y是垂直高度(米)，是与o的水平距离(米)（1）网球落地时撞击斜坡的落点为a，写出a点的垂直高度，以及a点与o点的水平距离；（2）在图象上，标出网球所能达到的最高点b，求ob与水平线o之间的夹角的正切值 22008年5月12日,四川汶川地区发生里氏80级特大地震在随后的几天中,地震专家对汶川地区发生的余震进行监测,记录的部分数据如下表：强度（j）1632里氏5052强度（j）4564里氏5354注：地震强度是指地震时释放的能量（1）画出震级()随地震强度()变化的散点图；（2）根据散点图，从下列函数中选取选取一个函数描述震级()随地震强度()变化关系： ，(3)四川汶川地区发生里氏80级特大地震时释放的能量是多少？（取）必修1模块过关试题（1）一、选择题：（每小题4分共40分）1函数的定义域是（ ） a； b； c； d2如果幂函数的图象经过点,则的值等于 a； b； c； d3已知是单调函数的一个零点，且则 a； b；c； d4下列表示同一个函数的是（ ） a； b；c； d5函数的图象为（ ）obocodoa6若偶函数在上是减函数，则下列关系中成立的是（ ）a； b ；c ； d 7 下面不等式成立的是a； b；c； d8定义在r上的偶函数满足，且当时，则等于（ ）a； b； c； d9 函数是定义在上的偶函数，则在区间上是a增函数； b 减函数； c先增后减函数； d先减后增函数10若函数在区间上是减函数，则的取值范围是a ； b； c； d选择题答案题号12345678910答案二、填空题(每小题5分，共20分)11已知在映射下的对应元素是，则在映射下的对应元素是 ；12设为定义在r上的奇函数，且当时，则时 的解析式为_ _13当a、b是非空集合，定义运算ab=，若，则mn= 14方程的解的个数为 个15= 三、解答题：本题共5小题，共40分16计算（6分）：17（8分）已知函数的定义域为，的定义域为集合；集合，若，求实数的取值集合18（8分）定义在r上的偶函数，在区间上递增，且有，求的取值范围 19（8分）设某旅游景点每天的固定成本为元，门票每张为元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比一天购票人数为人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过人时，该旅游景点需另交保险费元设每天的购票人数为