高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题6 函数与导数 突破点17 函数与方程教师用书 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。突破点17函数与方程(对应学生用书第167页)提炼1函数yf(x)零点个数的判断(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点.提炼2已知函数零点个数，求参数的值或取值范围已知函数零点个数，求参数的值或取值范围问题，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题回访1函数零点个数的判断1(2015湖北高考)函数f(x)2sin xsinx2的零点个数为_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.设y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点2(2014福建高考)函数f(x)的零点个数是_2当x0时，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一个零点当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(3，)作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.4(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点5(2014山东高考改编)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)kx过A点时斜率为，故f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.(对应学生用书第167页)热点题型1函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016秦皇岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：图象关于(1,0)点对称；f(1x)f(1x)；当x1,1时，f(x)则函数yf(x)|x|在区间3,3上的零点个数为()A5 B6C7D8(2)(2016青岛模拟)已知定义在R上的奇函数yf(x)的图象关于直线x1对称，当0x1时，f(x)logx，则方程f(x)10在(0,6)内的零点之和为() 【导学号：67722062】A8B10 C12D16(1)A(2)C(1)因为f(1x)f(1x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数yf(x)|x|在区间3,3上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以当1x0时，f(x)f(x)log(x)，又因为函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)的图象的对称轴为x2k1，kZ，在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图易得直线y1与函数f(x)的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x1和x5对称，所以方程f(x)10在(0,6)内的零点之和为212512，故选C.求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象交点的横坐标其解题的关键步骤为：分解为两个简单函数；在同一坐标系内作出这两个函数的图象；数交点的个数，即原函数的零点的个数提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化变式训练1(1)(2016合肥二模)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的零点个数为()A2B3 C4D5(2)已知函数f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，则函数h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6B8 C10D12(1)D(2)D(1)在同一坐标系中画出函数yf(x)和ya(0a1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F(x)有5个零点(2)函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.热点题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016枣庄模拟)已知函数f(x)|x|(a0)没有零点，则实数a的取值范围是()A(0,1)B(0，)C(0,1)(2，)D(0，)(2，)(2)(名师押题)已知函数f(x)g(x)kx1(xR)，若函数yf(x)g(x)在x2,3内有4个零点，则实数k的取值范围是()A.B(2，)C.D(2，4(1)C(2)C(1)令f(x)0，得|x|，令y|x|由y，得x2y2a(y0)，在同一坐标系中分别画出y|x|和y的图象如图所示：要使函数f(x)没有零点，则1或，即0a1或a2.(2)当x0时，显然有f(x)g(x)，即x0不是yf(x)g(x)的零点当x0时，yf(x)g(x)在x2,3内的零点个数即方程f(x)g(x)(2x3)的实根的个数当0x3时，有kx1x23，即kx；当2x0时，有kx114xcos x，即k4cos x.则yf(x)g(x)(2x3)的零点个数等价于函数yk与y的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知2k，故选C.求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果变式训练2(1)(2016湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是() 【导学号：67722063】A.B.CD(2)(2016汕头一模)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)f(x)0，当x1,0时，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，则a的取值范围为()A3,5B4,6C(3,5)D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函数，则f(2x21)f(x)f(x)，又因为f(x)是R上的单调函数，所以2x21x只有一个零点，即2x2x10只有一个零点，则18(1)0，解得，故选C.(2)因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示：因为g(x)f(x)logax在x(0，)上有且仅有三个零点，所以yf(x)和ylogax的图象在(0，)上只有三个交点，所以解得3a5.专题限时集训(十七)函数与方程A组高考达标一、选择题1(2016泰安一模)函数f(x)ln xx39的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)C由于函数f(x)ln xx39在(0，)上是增函数，f(2)ln 210，f(3)ln 3180，故函数f(x)ln xx39在区间(2,3)上有唯一的零点2(2016张掖一模)已知函数f(x)exx，g(x)ln xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()AcbaBabcCcabDbacB由f(x)0得exx，由g(x)0得ln xx.由h(x)0得x1，即c1.在坐标系中，分别作出函数yex，yx，yln x的图象，由图象可知a0,0b1，所以abc.3(2016武汉模拟)已知函数f(x)则函数g(x)f(1x)1的零点个数为()A1B2 C3D4Cg(x)f(1x)1当x1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.4(2016山东实验中学模拟)已知函数f(x)(aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A(，1)B(，0)C(1,0)D1,0)D当x0时，f(x)3x1有一个零点x，所以只需要当x0时，exa0有一个根即可，即exa.当x0时，ex(0,1，所以a(0,1，即a1,0)，故选D.5(2016安庆二模)已知函数f(x)若函数g(x)f(x)k仅有一个零点，则k的取值范围是()A.B(，0)C(，0)D(，0)D函数f(x)函数g(x)f(x)k仅有一个零点，即f(x)k只有一个解，在平面直角坐标系中画出yf(x)的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k(，0)，故选D.二、填空题6(2016济南模拟)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_当x0,3)时，f(x)，由f(x)是周期为3的函数，作出f(x)在3,4上的图象，如图由题意知方程af(x)在3,4上有10个不同的根由图可知a.7(2016西安模拟)函数f(x)|x1|2cos x(4x6)的所有零点之和为_10问题可转化为y|x1|与y2cos x在4x6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x1对称，所以x1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x1两侧分别有5个交点，所以所求和为5210.8(2016南宁二模)已知函数f(x)若f(0)2，f(1)1，则函数g(x)f(x)x的零点个数为_ 【导学号：67722064】3依题意得解得令g(x)0，得f(x)x0，该方程等价于或解得x2，解得x1或x2，因此，函数g(x)f(x)x的零点个数为3.三、解答题9已知f(x)|2x1|ax5(a是常数，aR)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)如果函数yf(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|2x1|x52分由解得x2；由解得x4.所以f(x)0的解集为x|x2或x4.6分(2)由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的图象，10分观察可以知道，当2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数yf(x)有两个不同的零点故a的取值范围是(2,2).12分10(名师押题)已知函数fn(x)xln x(nN*，e2.718 28为自然对数的底数)(1)求曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程；(2)讨论函数fn(x)的零点个数解(1)因为f1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲线yf1(x)在点(1，f1(1)处的切线方程为y1(x1)，即yx.4分(2)令fn(x)0，得xln x0(nN*，x0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，则函数fn(x)的零点与函数g(x)nln xx的零点相同因为g(x)1，令g(x)0，得xn，所以当xn时，g(x)0；当0xn时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(0，n上单调递增，在区间n，)上单调递减所以函数g(x)在xn处有最大值，且g(n)nln nn.8分当n1时，g(1)ln 1110，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n2时，g(2)2ln 222ln e20，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n3时，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)n(ln e1)0，因为g(e2n)nln e2ne2n2n24n2n2(13)n2n22n213n3n(n1)n210，且g(1)0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)nln xx在区间(1，n)和(n，)内都恰有一个零点所以函数g(x)nln xx的零点个数为2.综上所述，当n1或n2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n3且nN*时，函数fn(x)的零点个数为2.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016南昌二模)若函数f(x)满足f(x)1，当x0,1时，f(x)x.若在区间(1,1内，g(x)f(x)mx2m有两个零点，则实数m的取值范围是()A0mB0mC.m1D.m1B当1x0时，0x11，所以f(x1)x1，从而f(x)11，于是f(x)f(x)mx2m0f(x)m(x2)，由图象可知0mkAB.2(2016临沂模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意x，都有f(x3)f(x)成立；当x时f(x)，则f(x)在4,4上根的个数是()A4B5C6D7Bf(x3)f(x)成立，奇函数f(x)是周期等于3的周期函数当0x时，f(x)则f(x)在4,4上根的个数就是函数f(x)与函数y的交点的个数，如图所示故选B.3(2016临汾模拟)函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为() 【导学号：67722065】A(，0)B0,1)C(，1)D0，)C函数f(x)的图象如图所示，作出直线l：yax，向左平移直线l，观察可得函数yf(x)的图象与直线l：yxa有两个交点，则方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根时，a1，故选C.4(2016衡阳模拟)函数f(x)的定义域为1,1，图象如图171(1)所示，函数g(x)的定义域为2,2，图象如图171(2)所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn()(1) (2)图171A14B12 C10D8A由题图(1)可知，若f(g(x)0，由g(x)1或g(x)0或g(x)1，由题图(2)知，g(x)1时，x1或x1；g(x)0时，x的值有3个；g(x)1时，x2或x2，故m7.若g(f(x)0，则f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0，由题图(1)知，f(x)1.5与f(x)1.5时，x的值各有2个；f(x)0时，x1或x1或x0，故n7.故mn14.故选A.二、填空题5(2016中原名校联考)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为_13a函数f(x)和ya的图象如图所示，由图可知，f(x)的图象与直线ya有5个交点，所以函数F(x)f(x)a有5个零点从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5，则x1x28，x4x58.当2x0时，0x2，所以f(x)log(x1)log3(1x)，即f(x)log3(1x)，2x0，由f(x)log3(1x)a，解得x13a，即x313a，所以函数F(x)f(x)a(0a1)的所有零点之和为x1x2x3x4x513a.6(2016衡水模拟)已知函数f(x)x，g(x)logx，记函数h(x)则函数F(x)h(x)x5的所有零点的和为_5由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线yx对称，函数F(x)所有零点的和就是函数yh(x)与函数y5x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线yx对称，所以5，所以x1x25.三、解答题