高中数学 第二章 推理与证明 2_2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第2课时）课堂探究 新人教A版选修2-2探究一 用反证法证明否定性命题当要证结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题时，因为此类命题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾【典型例题1】已知f(x)ax(a1)，证明方程f(x)0没有负数根思路分析：本题考查反证法问题，因涉及方程的根可从范围方面寻找矛盾证明：假设x0是f(x)0的负数根，则x00，x01且ax0，由01可知01，解得x02，这与x00矛盾，故假设不成立，即方程f(x)0没有负数根反思 反证法的具体步骤是：(1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；(2)推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果；(3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立探究二 用反证法证明唯一性命题1证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便2证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性【典型例题2】已知函数yf(x)在区间a，b上的图象连续不间断，且f(x)在a，b上单调，f(a)0，f(b)0.求证：函数yf(x)在a，b上有且只有一个零点思路分析：由函数零点存在性判定定理易证存在性，对于唯一性可用反证法证明证明：由于yf(x)的图象在a，b上连续不间断，又f(a)0，f(b)0，即f(a)f(b)0，故yf(x)在区间a，b上一定存在零点x0.下面用反证法证明只有一个零点x0.假设yf(x)在a，b上还存在一个零点x1(x1x0)，则f(x1)0.由函数f(x)在a，b上单调且f(a)0，f(b)0知f(x)在a，b上单调递减若x1x0，则f(x1)f(x0)，即00，矛盾，若x1x0，则f(x1)f(x0)，即00，矛盾，因此假设不成立，即f(x)的零点是唯一的探究三 用反证法证明“至多”“至少”问题当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或qp且q至多有n个至少有n1个p且qp或q【典型例题3】已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点思路分析：证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，且2(2c)24ab0，且3(2a)24bc0.同向不等式求和得4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ac0，(ab)2(bc)2(ac)20，abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证探究四 易错辨析易错点：漏用假设的结论而导致出错【典型例题4】已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根错解：假设方程x22x5p20有实根，由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，而关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)2p，p24，0，即关于x的方程x22x5p20无实根错因分析：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法正解：假设方程x22x5p20有实根，则该方程根的判别式44(5p2)0，解得p2或p2.而由已知条件实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，二者无公共部分，所以假设不成立，故关于x的方程x22x5p20无实根反思 利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件