高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入本章整合 新人教b版选修

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入本章整合 新人教B版选修1-2知识网络专题探究专题一常见复数运算的处理策略在进行复数的运算中，除了采用常规思路去解决，还要注意灵活利用i的性质，或适当变形创造条件，从而转化为关于i的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)i的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1i)22i；(3)设i，则31，2，120，2，3n1，3n1(nN)等；(4)31.【应用1】 i为虚数单位，()A0 B2i C2i D4i解析：利用i的周期性简化计算因为i3i，i5i，i7i，所以0.答案：A【应用2】 i为虚数单位，4等于()Ai Bi C1 D1解析：本题若分子、分母分别4次方后再求解将会非常麻烦，可直接用结论i求解于是：4i41.答案：C【应用3】 (1i)100的展开式中所有奇数项的和为_解析：令i，因为(1i)100的展开式中所有奇数项都是实数，而(1i)10021001002100()1002100299(1i)，所以(1i)100的展开式中所有奇数项的和等于299.答案：299【应用4】 i是虚数单位，2 0146_.解析：原式1 00761 007i6i1 007i6i42513i42i3i21i.答案：1i专题二复数的分类复数zabi(a，bR)【应用1】 已知z是纯虚数，是实数，那么z()A2i Bi Ci D2i解析：设纯虚数zbi(bR，b0)，则.由于是实数，所以b20，解得b2.故z2i.答案：D【应用2】 (2014广东韶关调研)已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A1 B1 C. D解析：是纯虚数，则a10，a1，故选A.答案：A专题三复数相等问题1复数相等的充要条件为abicdiac，bd(a，b，c，dR)特别地，abi0ab0(a，bR)2应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要【应用1】 (2014山东青岛一模)已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.解析：因为bi，所以2aibi.由复数相等的充要条件得b2，a1，故ab1.答案：1【应用2】 若复数z满足方程z220，则z3()A2 B2 C2i D2i解析：设zabi(a，bR)，依题意有a2b22abi20.即a2b222abi0.由复数相等的充要条件，有zi，z3(i)32i.答案：D专题四复数的四则运算复数代数形式的四则运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：当cdi0时，.复数的加法、减法、乘法是按多项式加、减、乘进行的，复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化【应用1】 已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_解析：由题意，得z(52i)22520i42120i，其实部为21.答案：21【应用2】 若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.解析：因为abi，所以3bi(abi)(1i)ab(ba)i.又因为a，b都为实数，故由复数相等的充要条件得解得所以ab3.答案：3专题五复数的模与共轭复数共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关的复数问题时，除了用共轭复数的定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)z|z|2|2；(2)|z|1z；(3)zRz；(4)z0，z为纯虚数z.【应用1】 复数z1i，为z的共轭复数，则zz1()A2i Bi Ci D2i解析：zz1|z|2z12(1i)1i.答案：B【应用2】 (2014福建厦门质检)若复数z满足(12i)z|34i|(i为虚数单位)，则复数z等于_解析：(12i)z|34i|5，z12i.答案：12i【应用3】 已知z1与z2是非零复数，且|z1z2|z1z2|，求证：20.提示：证明20，即证为纯虚数，只需证即可证明：|z1z2|z1z2|z1z2|2|z1z2|2 (z1z2)()(z1z2)() (z1z2)(12)(z1z2)(12) z12z20(z1，z2不等于零) 20，即20.专题六复数的几何意义由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，对于复数问题，如能剖析问题中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简化(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题(2)任何一个复数zabi(a，bR)与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z|，|za|的几何意义距离(3)复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则由减法的几何意义知|zz1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离(4)复数形式的基本轨迹当|zz1|r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆为|z|1.当|zz1|zz2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线【应用】 复数z满足|zi|zi|2，求|z1i|的最值提示：利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释，借助于几何意义求出最值解：|z+i|+|z-i|=2表示复数z的对应点Z与点A(0，-1)，B(0,1)的距离之和为2，而|AB|=2，所以条件表示以A，B为端点的线段，而|z+1+i|=|z-(-1-i)|表示点Z到点C(-1，-1