高三数学二轮复习 专题突破 专题四 数列 第2讲 数列求和及简单应用课件 文

第2讲 数列求和及简单应用 热点突破 高考导航 备选例题 高考导航 演真题明备考 高考体验 1.(2012大纲全国卷,文6)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn等于( )B 2.(2012新课标全国卷,文12)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前 60项和为( ) (A)3 690(B)3 660(C)1 845(D)1 830 D 3.(2013全国卷,文17)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和. 4.(2014全国卷,文17)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0 的根. (1)求an的通项公式; (2)求数列 的前n项和. 高考感悟 1.考查角度 (1)以递推公式为背景求通项公式或前n项和,这类问题还常与函数的性质( 如周期性质)综合命题. (2)以等差数列、等比数列为背景构造新数列,利用分组转化、裂项相消、 错位相减法求和. (3)根据条件构造等差、等比数列,求通项公式或前n项和. 2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题;中档题. 热点突破 剖典例促迁移 求数列的通项公式热点一 【例1】 (1)(2016湖南衡阳联考)已知数列an满足a1=1,an+1- 2an=2n(nN*),则数列an的通项公式为an= . 答案:(1)n2n-1 (2)(2016河北石家庄二模)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,nN*, 则an= . 解析:(2)因为Sn=2an-4, 所以n2时,Sn-1=2an-1-4, -得Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-2an-1, 所以an=2an-1,即=2. 又a1=S1=2a1-4,所以a1=4, 所以数列an为首项为4,公比是2的等比数列, 所以an=42n-1=2n+1. 答案:(2)2n+1 构造法求通项公式 (1)本例(1)中,若将“an+1-2an=2n”改为“an+1-2an=2”,则an= . (2)本例(1)中,若将“an+1-2an=2n”改为“an+1=”,则an= . 【方法诠释】 解决此类题目的关键是构造等比数列,进而求得an. 【方法技巧】 (1)利用Sn与an的关系求通项公式: 通过纽带:an=Sn-Sn-1(n2),消掉an或Sn求解.如需消掉Sn,可以利用已知递推式 ,把n换成(n+1)得到新递推式,两式相减即可.若要消掉an,只需把an=Sn-Sn-1代入 递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式an=Sn-Sn-1成立的条件n2.因此要验 证n=1是否成立,若不成立写成分段形式. (2)由递推关系求通项公式的三种类型及方法: 对形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推式求通项公式时,常用累加法 ,巧妙求出an-a1与n的关系式. 对形如an+1=anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推式求通项公式时,常用累乘法, 巧妙求出 与n的关系式. 对形如an+1=kan+b(k1,b0)(其中k,b为常数)的递推式求通项公式时,可以 构造等比数列 ,先求出该等比数列的通项公式,再求an. 热点训练:(1)(2016安徽省“江南十校”联考)已知Sn为数列an的前n项和 , a1=1,2Sn=(n+1)an,若存在唯一的正整数n使得不等式 -tan-2t20成立,则 实数t的取值范围为 . 数列求和热点二 考向1 分组求和法 【例2】 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列an+bn的前n项和Tn. 考向2 裂项相消法 【例3】 (2016四川绵阳质检)设Sn为各项不相等的等差数列an的前n项 和,已知a3a5=3a7,S3=9. (1)求数列an的通项公式; 考向3 错位相减法 【例4】 (2014江西卷,理17)已知首项都是1的两个数列an,bn(bn0, nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn= ,求数列cn的通项公式; (2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn. 解:(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n =-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1. 【方法技巧】 (1)错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应 项的乘积构成的数列的求和. (3)分组求和法:适用于由等差数列和等比数列的和(或差)构成的数列. 数列的综合问题 热点三 (2)若cn= +2n,求数列cn的前n项和Sn. 【方法技巧】 (1)解决数列与不等式综合问题的常用方法有比较法(作差法 、作商法)、放缩法等. (2)数列是特殊的函数,解题时要充分利用函数的性质解决数列问题,如数列 中的最值问题. 备选例题 挖内涵寻思路 解:(1)由2Sn=(n+1)2an-n2an+1, 得到2Sn-1=n2an-1-(n-1)2an, 所以2an=(n+1)2an-n2an+1-n2an-1+(n-1)2an, 所以2an=an+1+an-1, 所以数列an为等差数列, 因为2S1=(1+1)2a1-a2, 所以4=8-a2, 所以a2=4, 所以d=a2-a1=4-2=2, 所以an=2+2(n-1)=2n. (2)是否存在正实数,使得bn为等比数列?并说明理由.