高三数学二轮复习1_6_1直线与圆课时巩固过关练理新人教版

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺课时巩固过关练 十五 直线与圆(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016衡水一模)已知圆x2+y2+mx-14=0与抛物线y=14x2的准线相切,则m=()A.22B.3C.2D.3【解析】选B.抛物线的准线为y=-1,将圆化为标准方程x+m22+y2=1+m24,圆心到直线的距离为1=1+m24m=3.2.(2016长春一模)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.2B.2C.32D.42【解析】选C.由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.l1,l2间的距离为|-7+5|2=2.原点到l2的距离为|-5|2=522,所以点M到原点的距离最小值为522+22=32.3.(2016承德二模)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+ (y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34【解析】选D.由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为光线与圆相切,圆心为(-3,2),所以|-3k-2-2k-3|k2+1=1.整理得12k2+25k+12=0,解得:k=-43或k=-34.4.(2016湘潭二模)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若aR,bR且ab0,则1a2+1b2的最小值为()A.1B.3C.19 D.49【解析】选A.x2+y2+2ax+a2-4=0即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0即x2+(y-2b)2=1,依题意可得,两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,则a2+(2b)2=1+2=3,即a2+4b2=9,所以1a2+1b2=1a2+1b2a2+4b29=195+a2b2+4b2a2195+2a2b24b2a2=1,当且仅当a2b2=4b2a2,即a=2b时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为_.【解析】设C(a,0)(a0),由题意知|2a|5=455,解得a=2,所以r=22+5=3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案:(x-2)2+y2=96.(2016长沙二模)若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=_.【解析】由题意得直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b截得圆的弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为22r=2,即|1-2+a|2=|1-2+b|2=2a2+b2=(22+1)2+(-22+1)2=18.答案:18三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016南昌一模)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，点A(3，5).(1)求过点A的圆的切线方程.(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求AOC的面积S.【解析】(1)由圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，配方，得(x-2)2+(y-3)2=1，圆心C(2，3).当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3)，即kx-y+5-3k=0.由d=|2k-3+5-3k|k2+1=1，得k=34.又斜率不存在时直线x=3也与圆相切，故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.(2)直线OA的方程为y=53x，即5x-3y=0，点C到直线OA的距离为d=|52-33|52+32=134，又|OA|=32+52=34，所以S=12|OA|d=12.8.(2016洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程.(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图所示,|AB|=43,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,所以圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CDAB,所以|AD|=23,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).在RtACD中,可得|CD|=2.若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:|-2k-6+5|k2+(-1)2=2,得k=34.故直线l的方程为3x-4y+20=0.直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CDPD,即CDPD=0,所以(x+2,y-6)(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.【误区警示】在本题(1)的求解中不可忽视直线l斜率的存在性,在由距离公式求出一个k时应考虑直线斜率不存在的情况,否则会造成漏解.【加固训练】(2016新乡二模)已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.(1)求圆O的方程.(2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求DEDF的取值范围.【解析】(1)圆M的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心M(1,1),半径R=22.圆O的圆心为O(0,0),因为|MO|=222,所以点O在圆M内,故圆O只能内切于圆M.设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M,所以|MO|=R-r,即2=22-r,解得r=2.所以圆O的方程为x2+y2=2.(2)不妨设E(m,0),F(n,0),且mn.由x2+y2=2,y=0,解得x=2,y=0,或x=-2,y=0,故E(-2,0),F(2,0).设D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,得|DE|DF|=|DO|2,即(x+2)2+y2(x-2)2+y2=x2+y2,整理得x2-y2=1.而DE=(-2-x,-y),DF=(2-x,-y),所以DEDF=(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1.由于点D在圆O内,故有x2+y22,x2-y2=1,得y212,所以-12y2-10,即DEDF-1,0).(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.直线l1:ax-y-3=0,l2:2x+by+c=0,则ab=-2是l1l2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当ab=-2且c=3时,l1与l2重合,而l1l2时一定有ab-2(-1)=0,即ab=-2,所以ab=-2是l1l2的必要不充分条件.【加固训练】设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab0),若ab,则直线b2x+y=0与直线x-a2y=0的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.相交但不垂直D.重合【解析】选B.由题意知两直线都经过点(0,0),因为ab,所以ab=a+b=0,所以a=-b,由于直线b2x+y=0的斜率为-b2,直线x-a2y=0的斜率为1a2,则(-b2)1a2=-1,故两直线垂直.2.已知直线l:xcos+ysin=2(R),圆C:x2+y2+2cosx+2siny=0(R),则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相切或相离【解析】选D.x2+y2+2cosx+2siny=(x+cos)2+(y+sin)2=1,所以圆的圆心坐标为(-cos,-sin),半径为1,则直线到圆心的距离为d=|-coscos-sinsin-2|cos2+sin2=|2+cos(-)|1,3,所以直线l与圆C的位置关系是相切或相离.3.命题p:0r0)上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则q是p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题导引】先求出圆心到直线的距离,因为到直线4x-3y=2的距离等于1有两条,数形结合可得答案.【解析】选A.因为圆心(3,5)到直线4x-3y=2的距离等于1,所以圆(x-3)2+ (y-5)2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,0r0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且有|OA+OB|33|AB|,则k的取值范围是()A.(3,+)B.2,22)C.2,+)D.3,22)【解析】选B.由已知得圆心到直线的距离小于半径,即|k|20得0k22.如图,又由|OA+OB|33|AB|得|OM|33|BM|MBO6,因为|OB|=2,所以|OM|1,故|k|1+11k2,综合得2kr2对m0,1成立,即r2325.故C的半径r的取值范围为103,4105.【加固训练】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】方法一:(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),因为点M为弦AB的中点,即C1MAB,所以kC1MkAB=-1,即yx-3yx=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x-322+y2=9453x3.(3)由(2)知点M的轨迹是以C32,0为圆心,r=32为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点),且E53,253,F53,-253,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与圆C相切时,由k32-4-0k2+12=32得k=34,又kDE=-kDF=-0-2534-53=257,结合上图可知当k-34,34-257,257时,直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.方法二:(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为C1(3,0).(2)设M(x,y),因为A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,所以由圆的性质知:MC1MO,所以MC1MO=0.又因为MC1=(3-x,-y),MO=(-x,-y),所以由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx,当直线l与圆C1相切时,d=|3m-0|m2+1=2,解得m=255.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=53.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,所以53x3.所以点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中53x3,其轨迹为一段圆弧.(3)由题意知直线l表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线l的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,其中53x3,化简得(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2=0,其中53x3,记f(x)=(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2,其中530时,若x=3是方程的解,则f(3)=0k=0