高中数学 第二章 推理与证明 2_2_1 综合法与分析法课堂探究 新人教b版选修1-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法课堂探究 新人教B版选修1-2探究一 应用综合法证明命题1综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“，”或“”2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性【典型例题1】 设数列an满足a10，且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snb1b2bn，证明：Sn1.思路分析：(1)构造数列，证明其是等差数列(2)对bn进行拆分，这样便于求出Sn，最后再与1进行比较(1)解：由题设1，知是公差为1的等差数列又1，故n.所以an1.(2)证明：由(1)得bn，Snb1b2bn111.探究二 用分析法证明命题1分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知2用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，则只需证明命题P1为真，从而有这只需证明命题P2为真，从而有这只需证明命题P为真而已知P为真，故Q必为真3用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错【典型例题2】 设a，b为实数，求证：(ab)思路分析：对ab0时的情形单独证明，再用分析法证明ab0时的情形，注意均值不等式的正确使用证明：当ab0时，0，(ab)成立当ab0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式得证探究三 分析法与综合法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明【典型例题3】 在ABC中，若ABC421，a，b，c分别为A，B，C的对边求证：.分析：已知条件是角的关系，求证的结论是边的关系，很难直接建立二者的关系，可结合正(余)弦定理进行证明证明：设C，则B2，A4，且247.欲证：.可证：bcacab，即abbcac.因而只需证：ac.下面我们考虑找出线段a-c的关系来，可在BC上取一点D，使AD=AB(如图)由角的关系并注意到7=，可有DC=AD=AB=c，故BD=a-c.因而只需证BD=即可在ABD中，由正弦定理，得=，从而BD=.又7=，故sin 3=sin 4，故BD=2ccos 2.故只需证cos 2=即可由于要证的结论中含有a，b，需考虑ABC，由正弦定理，有=，由于sin 4=2sin 2cos 2.故有cos 2=，所以有+=.点评 本题将分析法与综合法交错使用，我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来，那样会更简洁，但必须在分析之后探究四易错辨析易错点1：忽视不等式性质的使用前提而致误【典型例题4】 求证：.错误证法：要证，需证()2()2，需证7292，需证222，需证1，需证2821，需证272，需证729720，这与事实不相符，故原不等式不成立错因分析：aba2b2的前提是：a，b都是大于0的实数由于没注意到这一点，从而造成逻辑上的错误正确证法：要证，需证，需证8282，需证，即证1215，这是事实，故原不等式成立易错点2：证明不等式却误用了结论本身而致误【典型例题5】 求证：2.错误证法：2，并且和2都是正数，所以()2(2)2，即12424，3，所以59.因为59成立，所以不等式2成立错因分析：把2看成了条件去推理，不符合分析法的要求正确证法：因为和2都是正数，所以要证2，只需证明()2(2)2，展开，得1