高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12_6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理 北师大版

12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.离散型随机变量的均值与方差 知识梳理 若离散型随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1,2，r). (1)均值 EX ，均值EX刻画的是 . (2)方差 DX 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值 EX的 . a1p1a2p2arpr X取值的“中心位置” E(XEX)2 平均偏离程度 2.二项分布的均值、方差 若XB(n，p)，则EX ，DX . 3.正态分布 (1)XN(，2)，表示X服从参数为 的正态分布. (2)正态分布密度函数的性质： 函数图像关于 对称； 决定函数图像的“胖”“瘦”； P(0)的大小 95.4% 68.3% 99.7% 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 ，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( ) (3)正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数是正态分布的均值 ，是正态分布的标准差.( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用 结果之和，它就服从或近似服从正态分布.( ) (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.( ) 思考辨析 考点自测 1.(教材改编)某射手射击所得环数的分布列如下： 答案解析 已知的均值E8.9，则y的值为 A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9 78910 Px0.10.3y 答案解析 2.设随机变量的分布列为P(k) (k2,4,6,8,10)，则D等于 A.8 B.5C.10 D.12 3.已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则随机变量的均值E及方 差D分别是 A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6 答案解析 DX100.6(10.6)2.4， 设随机变量X的均值及方差分别为EX，DX， 因为XB(10,0.6)，所以EX100.66， 故EE(8X)8EX2， DD(8X)DX2.4. 4.设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a 为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为 _. 答案解析1a,4 5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布N(100,102)， 已知P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数 为_. 答案解析10 题型分类 深度剖析 题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点1 求离散型随机变量的均值、方差 例1 (2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动 由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队 ”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜 对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率 是 ，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假 设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的概率； 解答 记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“星队至少猜对3个成语”. 由事件的独立性与互斥性， (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值EX.解答 由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 可得随机变量X的分布列为 X012346 P 命题点2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 例2 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个 红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分. (1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机 会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列 ； 解答 由题意得2,3,4,5,6， 所以的分布列为 23456 P 解答 由题意知的分布列为 123 P 解得a3c，b2c，故abc321. 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变 量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出 含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值. (3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义， 对实际问题作出判断. 思维升华 跟踪训练1 (2015四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校 所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的 男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； 解答 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参 赛的男生人数，求X的分布列和均值. 解答 根据题意，X的可能取值为1,2,3， 所以X的分布列为 X123 P 题型二 均值与方差在决策中的应用 例3 (2016全国乙卷)某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘 汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每 个200元.在机器使用期间，如果备件 不足再购买，则每个500元.现需决策 在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机 器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件 数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示 购买2台机器的同时购买的易损零件数. 解答(1)求X的分布列； 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零 件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而 P(X16)0.20.20.04， P(X17)20.20.40.16， P(X18)20.20.20.40.40.24， P(X19)20.20.220.40.20.24， P(X20)20.20.40.20.20.2， P(X21)20.20.20.08， P(X22)0.20.20.04. 所以X的分布列为 X16171819202122 P0.04 0.16 0.24 0.240.20.08 0.04 (2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值； 解答 由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68， 故n的最小值为19. (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19与n20之中 选其一，应选用哪个？ 解答 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当n19时，EY192000.68(19200500)0.2(19200 2500)0.08(192003500)0.044 040； 当n20时，EY202000.88(20200500)0.08(20200 2500)0.044 080. 可知当n19时所需费用的均值小于n20时所需费用的均值，故应选n 19. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变 量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产 实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同， 再用方差来决定. 思维升华 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明 理由. 解答 若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为 若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为 X25003000 P X1300150 P 所以EX1EX2，DX10.5P(Y2)，故A项错误； 对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高 ”，所以1P(2). 从回答对题数的均值考查，两人水平相当； 从回答对题数的方差考查，甲较稳定； 从至少正确回答2题的概率考查， 甲获得通过的可能性大. 因此可以判断甲的通过能力较强. 12分 返回 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤： 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差； 第五步：根据均值、方差、进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的 应用问题)； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 返回 课时作业 1.(2016郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张 写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成 语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4 ，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则 这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为 A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 答案解析 123456789 由题意得X0,1,2，则 P(X0)0.60.50.3， P(X1)0.40.50.60.50.5， P(X2)0.40.50.2， EX10.520.20.9. 123456789 2.(2017芜湖质检)若XB(n，p)，且EX6，DX3，则P(X1)的值 为 A.322 B.24C.3210 D.28 答案 解析 123456789 3.设随机变量XN(，2)，且X落在区间(3，1)内的概率和落在区 间(1,3)内的概率相等，若P(X2)p，则P(02)p，P(2E(3X2)， 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大. 记“这2人的累计得分X3”为事件A， 则事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三个两两互斥的事件， 123456789 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1， 都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下： 123456789 X1024 P X2036 P 因为EX1EX2， 123456789 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大. *9.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖 励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机 摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元 ，求： 顾客所获的奖励额为60元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及均值； 解答 123456789 设顾客所获的奖励额为X. 依题意，得X的所有可能取值为20,60. 123456789 所以顾客所获的奖励额的均值为 X2060 P 123456789 故X的分布列为 (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有 面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的 奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说 明理由. 解答 123456789 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以均值也不可能为60元. 123456789 因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20