高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 第8讲 函数与方程函数的应用课件 理 北师大版

第8讲讲 函数与方程、函数的应应用 最新考纲纲 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方 程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具 体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、 幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 函数yf(x)的图像与横轴的交点的_称为这个函数的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函 数yf(x)有_. x轴 零点 横坐标 (3)零点存在性定理 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且 在区间端点的函数值符号相反即f(a)f(b)0)的图像与零点的关系 b24ac000)的图像 与x轴的交点 _ _ _无交点 零点个数210 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) kxb(k0) 4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，) 上的增减性 单调_单调_单调递 增 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现 为与_平行 随x的增大逐渐表 现为与_平行 随n值变 化而各有 不同 值的比较存在一个x0，当xx0时，有logax0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存 在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A. (2)法一 函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x， h(x)x2图像交点的横坐标所在的取值范围.作图如下： 可知f(x)的零点所在的区间为(1，2). 法二 易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数， 且f(1)1210. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在 零点. 答案 (1)A (2)B 规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区 间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)m时，x22mx4m(xm)24mm2， 要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4m m20.又m0，解得m3. 答案 (1)D (2)(3，) 考点四 构建函数模型解决实际问题 (易错警示) 【例4】 (1)(2016四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加 大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年 增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11， lg 20.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 求k的值及f(x)的表达式； 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 答案 B (2)解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还 原. 易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制. 【训练4】 (1)(2017成都调研)某食品的保鲜时间 y(单位：小 时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e 2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 的 保鲜时间 是192小时，在22 的保鲜时间 是48小时，则该 食品在33 的保鲜时间 是_小时. 写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关 系式； 试问2017年第几个月旅游消费总额 最大？最大月旅游消费 总额为 多少元？ 答案 24 思想方法 1.转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题 ；已知方程有解求参数范围问题 可转化为函数值域问题. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断. (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断. (3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与y g(x)图象公共点的个数来判断. 3.求解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还 原为实际问题 . 易错防范 1.函数的零点不是点，是方程f(x)0的实根. 2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号 零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在 一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上 存在零点的充分不必要条件.