高中数学第2章函数2_2_2函数的奇偶性课件苏教版必修1

2.2.2 函数的奇偶性 1.奇函数和偶函数 (1)一般地,设y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的xA,都有 f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数. (2)如果对于任意的xA,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函 数. 交流1 既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?为什么? 提示存在.因为如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,f(-x)=f(x) 与f(-x)=-f(x)同时成立,则这样的函数f(x)既是奇函数又是偶函数,表 达式是f(x)=0,定义域是关于原点对称的非空数集. 2.奇偶性 (1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们说函数f(x)具有奇偶性. (2)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 交流2 若奇函数f(x)在x=0处有定义,则在x=0处的函数值是什么?若g(x) 是偶函数且在x=0处有定义,能确定g(0)的值吗? 提示根据奇函数的定义,有f(-0)=-f(0),f(0)=0,即在x=0处的函数 值为0.若偶函数g(x)在x=0处有定义,则g(0)的值不确定,如g(x)=x2+a 是偶函数,而g(0)=a是任意实数,不能确定是哪一个数. 交流3 (1)有下列函数: 其中奇函数有 ,偶函数有 .(填序号) (2)已知f(x)=ax3+bx-3中,f(-2)=3,则f(2)= . 提示(1) (2)-9 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 解(1)函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,所以f(x)既不是 奇函数也不是偶函数. (2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (3)函数的定义域为R,关于原点对称. 当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数; 当a0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数. (4)函数的定义域为R,关于原点对称. 当x0时,-x0,此时f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x); 当x=0时,-x=0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x). 综上,f(-x)=-f(x)在定义域R内都成立,所以f(x)为奇函数. 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 解(1)函数f(x)的定义域是x|x0,关于原点对称, f(x)为奇函数. (2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), f(x)为偶函数. (3)函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0, 又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)显然函数f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称,f(x)是非 奇非偶函数. 典例导学即时检测一二三 判断函数的奇偶性,首先要检查函数定义域是否关于原点 对称,再由定义判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立,也可以判断 f(x)f(-x)是否为0,或判断 是否等于1.对分段函数奇偶性 的判定与分类讨论思想有关,要注意自变量在不同情况下表达式的 不同形式以及它们之间的相互关系. 典例导学即时检测一二三 二、函数奇偶性的应用 已知f(x)是定义域在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x). (1)试求当x0, x0时,f(x)=x(1+x), f(-x)=-x(1-x). 又f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=x(1-x). x0,求实数m的取值范围. (导学号51790056) 思路分析欲求m的取值范围,应列出关于m的不等式(组),要充分 利用已知条件及单调性与奇偶性,将抽象不等关系转化为不等式( 组). 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 (2016山东济南一中高一期中)定义在-1,1上的函数y=f(x)是增函 数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)0,求实数a的取值范围. (导学号 51790057) 典例导学即时检测一二三 典例导学即时检测一二三 函数的奇偶性同单调性一样,是高考的重点内容之一,主要 考查点包括:利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的奇偶性(关 系、图象)解决某些问题,如利用奇偶性研究函数的取值、定义域 、值域、单调性、作函数的图象等,常与单调性综合考查. 典例导学即时检测123456 A.奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案:A 解析:函数的定义域为x|x0关于原点对称,由函数奇偶性的定义 有f(-x)=-f(x),为奇函数. 典例导学即时检测123456 2.已知函数y=f(x)是奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=( ). A.0B.1C.2D.3 答案:B 解析:f(x)是奇函数,且f(3)-f(2)=1, f(-2)-f(-3)=-f(2)-f(3) =f(3)-f(2)=1. 典例导学即时检测123456 3.(2016山东诸城高一期末)设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有 f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0. 当x0时,f(x)0, f(x2-x1)0,即f(x2)+f(-x1)0. f(x)是奇函数,有f(x2)-f(x1)0, f(x2)f(x1),f(x)在R上是减函数. f(x)在区间a,b上有最大值f(a),最小值f(b).故选A. 典例导学即时检测123456 4.(1)一次函数y=kx+b(k0)是奇函数,则b= ; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则b= . 答案:(1)0 (2)0 解析:(1)由-kx+b=-(kx+b),得b=0. (2)a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c, -bx=bx,故b=0. 典例导学即时检测123456 5.已知偶函数y=f(x)在区间0,4上是单调增函数,则f(-3)与f()的 大小关系是 . 答案:f(-3)f() 解析:f(x)为偶函数,f(-3)=f(3). 又034,f(x)在0,4上是