高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 解析几何 第18讲 高考中的圆锥曲线教师用书 理

系统掌握蕴含其中的马克思主义立场观点方法，要在系统学习、深刻领会、科学把握习近平教育思想上下功夫。精心组织开展学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神知识问答活动。第18讲高考中的圆锥曲线题型一| 圆锥曲线中的最值(范围)问题已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21. 4分(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120. 6分当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|. 8分又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|. 10分设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0， 14分所以，当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2. 16分【名师点评】与圆锥曲线有关的最值的两种解法1数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解2构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用均值不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)(2016南京盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：1(ab0)上若点A(a,0)，B，且.(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合若点P(3,0)，直线l过点，求直线l的方程；若直线l过点(0，1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围解(1)设C(x0，y0)，则，. 2分因为，所以，得4分代入椭圆方程得a2b2.因为a2b2c2，所以e. 6分(2)因为c2，所以a29，b25，所以椭圆的方程为1，设Q(x0，y0)，则1.因为点P(3,0)，所以PQ中点为，因为直线l过点，直线l不与y轴重合，所以x03，所以1， 10分化简得x9yy0.将代入化简得yy00，解得y00(舍)或y0.将y0代入得x0，所以Q为，所以PQ斜率为1或，直线l的斜率为1或，所以直线l的方程为yx或yx. 12分设PQ：ykxm，则直线l的方程为：yx1，所以xDk.将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y得(59k2)x218kmx9m2450.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为N，xN，代入直线PQ的方程得yN，代入直线l的方程得9k24m5.又因为(18km)24(59k2)(9m245)0，化得m29k250. 14分将代入上式得m24m0，解得0m4，所以k，且k0，所以xDk.综上所述，点D横坐标的取值范围为. 16分题型二| 圆锥曲线中的定点问题如图181所示，已知圆C：(x1)2y28，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点(1)求点P的轨迹曲线E的方程；(2)设点P(x0，y0)是曲线E上任意一点，写出曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程；(不要求证明)(3)直线m过切点P(x0，y0)与直线l垂直，点C关于直线m的对称点为D，证明：直线PD恒过一定点，并求定点的坐标图181解(1)点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点，PAPM，PAPCPMPC2AC2，动点N的轨迹是以点C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆. 3分椭圆的长轴长为2a2，焦距2c2.a，c1，b21.曲线E的方程为y21. 5分(2)曲线E在点P(x0，y0)处的切线l的方程是y0y1. 7分(3)证明：直线m的方程为x0(yy0)2y0(xx0)，即2y0xx0yx0y00.设点C关于直线m的对称点的坐标为D(m，n)，则 解得 10分直线PD的斜率为k， 12分从而直线PD的方程为yy0(xx0)， 14分即xy1，从而直线PD恒过定点A(1,0). 16分【名师点评】1.动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m,0)2动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2016苏北四市期末)如图182，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点为A(4,0)，过点A作斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.图182(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值解(1)因为左顶点为A(4,0)，所以a4，2分又e，所以c2，b2a2c212，所以椭圆C的标准方程为1. 5分(2)直线l的方程为yk(x4)，由消元得，1.化简得(x4)(4k23)x16k2120，所以x14，x2. 10分当x时，yk，所以D.因为P为AB的中点，所以P的坐标为，kOP(k0)，直线l的方程为yk(x4)，令x0得E点坐标为(0,4k)，假设存在定点Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，则kOPkEQ1，即1恒成立，所以(4m12)k3n0恒成立，所以即所以定点Q的坐标为(3,0). 12分(3)因为OMl，所以OM的方程可设为ykx，由得M点的横坐标为x，由OMl，得2，当且仅当即k时取等号，所以当k时，的最小值为2. 16分题型三| 圆锥曲线中的定值问题(2016苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点若直线l过椭圆C的右焦点，记ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；若直线l的斜率为，试探究OA2OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由解(1)1，得a24，b23. 2分所以椭圆C：1. 3分(2)设直线l的方程为xmy1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由化简得(3m24)y26my90，易知0， 5分所以y1y2，y1y2，所以kAPkBP， 7分所以tkABkAPkBP2， 9分所以当m时，t有最大值. 10分设直线l的方程为yxn，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x22nx2n260，(2n)243(2n26)0，即nb0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值【导学号：19592054】解(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，b. 3分由题意得a23，b22.椭圆E的方程为1. 6分(2)设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x)k22kx0y0(y3)0， 10分设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.点P在圆O上，xy5，k1k21.两条切线的斜率之积为常数1. 16分命题展望圆锥曲线中的定点、定值与最值问题反映了动点、动直线在运动变化过程中的不变性与有界性，是高考考查的热点，在复习备考时，应掌握解决此类问题的一般思路及求解策略在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆C1：y21上，且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x2的距离之比等于椭圆的离心率动点Q是动圆C2：x2y2r2(1rb0)过点A(2,1)，离心率为.图183(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程解(1)由条件知椭圆1(ab0)的离心率为e，所以b2a2c2a2. 3分又点A(2,1)在椭圆1(ab0)上，所以1，解得所以，所求椭圆的方程为1. 6分(2)将ykxm(k0)代入椭圆方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280.由线段BC被y轴平分，得xBxC0，因为k0，所以m0. 10分因为当m0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因为ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k. 14分由于k时，直线yx过点A(2,1)，故k不符合题设所以，此时直线l的方程为yx. 16分2.如图184，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率图184(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.()若AF1BF2，求直线AF1的斜率；()求证：PF1PF2是定值解(1)由题设知a2b2c2，e.由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21. 3分又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21. 6分(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由得(m22)y2my110，解得y1， 10分故AF1，同理BF2，()由得AF1BF2，解，得m22，注意到m0， 12分故m.所以直线AF1的斜率为.()因为直线AF1与BF2平行