高中数学 第一章 导数及其应用 1_3 导数在研究函数中的应用（第1课时）课堂探究 新人教a版选修2-21

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第1课时）课堂探究 新人教A版选修2-2探究一 求函数的单调区间求可导函数单调区间的步骤：(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f(x)0或f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间(2)利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f(x)0或f(x)0时，要在函数定义域的前提之下求解(3)如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”“及”等连接，而不能写成两个区间并集的形式【典型例题1】求下列函数的单调区间：(1)yx2ln x；(2)yx32x2x；(3)yxsin x，x(0，)思路分析：先求函数的定义域，再求f(x)，解不等式f(x)0或f(x)0，从而得单调区间解：(1)函数的定义域为(0，)，又yx2ln x，yx.令y0，即0，x0，x1.令y0，即0，x0，x210，0x1.函数yf(x)的增区间为(1，)，减区间为(0,1)(2)yx32x2x，定义域为R，y3x24x1.令3x24x10，得x1或x.令3x24x10，得x1.函数yx32x2x的增区间为和(1，)，减区间为.(3)yxsin x，ycos x，令y0，得cos x.又x(0，)，0x.令y0，得cos x.又x(0，)，x.函数yxsin x的增区间为，减区间为.探究二 判断含有参数的函数的单调性1用导数研究函数的单调性，关键是判断导函数的符号，可把导函数转化为基本初等函数(能因式分解的因式分解)后，利用函数的图象直观判断符号2这类问题的求解过程中，导函数f(x)的符号往往由二次函数来决定，常与二次方程、二次不等式、二次函数的图象相结合在分类讨论时，往往依据函数类型、开口方向、是否有根、根是否在定义域内、两根的大小关系等来分类，分类要做到不重不漏【典型例题2】讨论函数f(x)ax2x(a1)ln x(a0)的单调性思路分析：先求定义域，求f(x)，再观察a对f(x)0或f(x)0的约束情况进行分类讨论解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax1，(1)当a0时，f(x)，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数；(2)当a0时，f(x)，因为a0，所以0.由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，)内为增函数；综上所述，a0时，f(x)在(0,1)内为减函数；在(1，)内为增函数探究三 已知函数的单调性求参数的取值范围已知单调性求参数的范围常用以下两种方式：(1)子区间法：即先求出yf(x)的单调区间A，然后分析已知区间同A的关系注意区间端点值能否取到(2)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意【典型例题3】(1)已知函数f(x)2axx3，x(0,1)，a0，若f(x)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)axln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是_思路分析：(1)求f(x)的单调增区间A，使(0,1)A；再由f(x)在(0,1)上是增函数f(x)0，检验“”(2)f(x)在(0,1)上不单调，可得yf(x)在(0,2)上有变号零点解析：(1)方法一：f(x)2a3x2，令f(x)0，由a0，x0可解得0x，f(x)的递增区间是.又f(x)在(0,1)上是增函数，(0,1).1，即a.a的取值范围为.方法二：f(x)2a3x2，f(x)在(0,1)上是增函数，f(x)0在(0,1)上恒成立，2a3x20，即ax2.又x(0,1)，x2，即a.检验a时，符合题意a的取值范围为.方法三：f(x)2a3x2，f(x)在(0,1)上是增函数，f(x)0在(0,1)上恒成立又f(x)为二次函数，且开口向下，解得a.a的取值范围是.(2)f(x)a，当a0时，f(x)0，即f(x)在(0,2)上单调递减，不合题意当a0时，令f(x)0，得x.f(x)在(0,2)上不单调，02，得a.答案：(1)(2)探究四 导函数图象与原函数图象间的关系研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时，要注意抓住各自的关键要素对原函数，我们重点考查其图象在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间上大于零，哪个区间上小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致【典型例题4】设f(x)是函数f(x)的导数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是选项中的()解析：由yf(x)的图象得：当1x1时，f(x)0，所以yf(x)在(1,1)上单调递增因为当x1和x1时，f(x)0，所以yf(x)在(，1)和(1，)上分别单调递减综合选项得只有B正确答案：B探究五 易错辨析易错点：对导数与函数单调性的关系理解不到位【典型例题5】已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围错解：求函数的导数f(x)3ax26x1.当f(x)0时，f(x)是减函数，则f(x)3ax26x10(xR)，故解得a3.错因分析：“f(x)0(x(a，b)”是“f(x)在(a，b)上单调递减”的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)x3在R上递减，但f(x)3x20.正解：求函数的导数f(x)3ax26x1.(1)当f(x)0时，f(x)是减函数，则f(x