高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题3 数列 第12讲 高考中的数列专题限时集训 理

专题限时集训专题限时集训( (十三十三) ) 高考中的数列高考中的数列 (建议用时：45 分钟) 1(2016苏州期中)已知数列an的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差 为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，a11，a22. (1)若S516，a4a5，求a10； (2)已知S1515a8，且对任意nN N*，有an1. 当n为奇数时，an0 恒成立， 8 分 n1 2 ( n1 2 1) d1d20，于是有d1d2. S1515a8，8d114d23045d2， 8 7 2 7 6 2 d1d22，ann，数列an是等差数列. 10 分 (3)若d13d2(d10)，且存在正整数m，n(mn)，使得aman，由题意得，在m，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m为奇数，n为偶数 aman，1d12d2， m1 2 ( n 21) d13d2，d1， 14 分 6 3mn1 m为奇数，n为偶数，3mn1 的最小正值为 2，此时d13，d21， 数列an的通项公式为anError! 16 分 2(2016苏锡常镇调研二)已知数列an的前n项和为Sn，a13，且对任意的正整 数n，都有Sn1Sn3n1，其中常数0.设bn(nN N*) an 3n (1)若3，求数列bn的通项公式； (2)若1 且3，设cnan3n(nN N*)，证明数列cn是等比数列； 2 3 (3)若对任意的正整数n，都有bn3，求实数的取值范围 解 Sn1Sn3n1，nN N*， 当n2 时，SnSn13n， 从而an1an23n，n2，nN N*. 又在Sn1Sn3n1中，令n1，可得a2a1231，满足上式， an1an23n，nN N* 2 分 (1)当3 时，an13an23n，nN N*， 从而 ，即bn1bn ， an1 3n1 an 3n 2 3 2 3 又b11，数列bn是首项为 1，公差为 的等差数列， 2 3 bn. 4 分 2n1 3 (2)证明：当0 且3 且1 时， cnan3nan123n13n 2 3 2 3 an13n1(33) 2 3 cn1， (an1 2 3 3n1) 又c130， 6 3 31 3 cn是首项为，公比为的等比数列，cnn1. 10 31 3 31 3 分 (3)在(2)中，若1，则cn0 也适合，当3 时，cnn1. 31 3 从而由(1)和(2)可知 anError! 当3 时，bn，显然不满足条件，故3. 2n1 3 当3 时，bn n1 . 1 3 ( 3) 2 3 若3 时，0，bn0，0，bnbn1，nN N*，且bn0. 1 3 2 3 只需b113 即可，显然成立故 00，从而bn0，故bn，要使bn3 成立，只需3 即可 1， 2 3) 2 3 于是 10，n2. 从而anan12，n2， 所以数列an为等差数列. 4 分 当nk时，恒成立 当nk1 时，两边取自然对数，整理得，. kln q 2 ln n k n k1( n k 11 k) 8 分 记f(x)(x1)，则f(x). ln x x1 11 xln 1 x x12 记g(t)1tln t,00， 1t t 故g(t)在(0,1)上为增函数，所以g(t)1，q24. (1 1 k) (1 1 k1) 从而q2,3,4， 当q4 时， 242，只能k2，此时bn22n3，符合 (1 1 k) (1 1 k1) 综上，bn22n3. 16 分 5(2016无锡期末)已知数列an与bn满足an1anq(bb1bn)，nN N*. (1)若bn2n3，a11，q2，求数列an的通项公式； (2)若a11，b12 且数列bn为公比不为 1 的等比数列，求q的值，使数列an也是 等比数列； (3)若a1q，bnqn(nN N*)且q(1,0)，数列an有最大值M与最小值m，求 的取 M m 值范围 解 (1)由bn2n3 且q2 得an1an4，所以数列an为等差数列， 又a11，所以an4n3. 3 分 (2)由条件可知anan1q(bnbn1)， 所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1q(bnbn1)q(bn1bn2) q(b2b1)a1qbnqb1a1qbn2q1， 6 分 不妨设bn的公比为(1)，则an2qn12q1， 由an是等比数列知：aa1a3可求出q ， 2 2 1 2 经检验，an2qn1，此时an是等比数列，所以q 满足条件. 10 分 1 2 (3)由条件可知anan1q(bnbn1)， 所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 q(bnbn1)q(bn1bn2)q(b2b1)a1qbnqb1a1， 即anqn1q2q， a2nq2n1q2q，因此q(1,0)， 所以a2n2a2nq2n3q2n1q2n1(q21)0，则a2n单调递增； 12 分 a2n1a2n1q2n2q2nq2n(q21)0， 所以数列an的最小项为a2q3q2qm， 则 ， M m q q3q2q 1 q2q1 因为q(1,0)，所以q2q1(1,3)，所以 . 16 分 M m ( 1 3，1) 6(2016扬州模拟)若数列an中不超过f(m)的项数恰为bm(mN N*)，则称数列bm 是数列an的生成数列，称相应的函数f(m)是数列an生成bm的控制函数 (1)已知ann2，且f(m)m2，写出b1，b2，b3； (2)已知an2n，且f(m)m，求bm的前m项和Sm； (3)已知an2n，且f(m)Am3(AN N*)，若数列bm中，b1，b2，b5是公差为d(d0) 的等差数列，且b310，求d的值及A的值 【导学号：19592039】 解 (1)m1，则a111，b11，m2，则a112t 2t1，2td2， 2t2d1 125 2t1，2t1， 128 2t 125 128 2t 125 适合题意， 此时 2tA2t，b1t，b2t3，b5t6，t3b3t6， 128 125 b310，4t7，t为整数，t4，t5，t6 或t7， f(3)27A，b310， 21027A211，A， 210 27 211 27 当t4 时，24A