高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 第14讲 高考中的立体几何专题限时集训 理

专题限时集训专题限时集训( (十五十五) ) 高考中的立体几何高考中的立体几何 (建议用时：45 分钟) 1(2014江苏高考)如图 149，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱 PC，AC，AB的中点已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 图 149 求证：(1)直线PA平面DEF； (2)平面BDE平面ABC. 证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA.3 分 又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF. 6 分 (2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DEPA3，EFBC4. 1 2 1 2 又因为DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 10 分 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE， 所以平面BDE平面ABC. 14 分 2.如图 1410，在三棱锥PABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点 图 1410 (1)求证：PA平面BEF； (2)若平面PAB平面ABC，PBBC，求证：BCPA. 证明 (1)在PAC中，E，F分别是PC，AC的中点，所以PAEF，3 分 又PA平面BEF，EF平面BEF，所以PA平面BEF. 6 分 (2)在平面PAB内过点P作PDAB，垂足为D，因为平面PAB平面ABC，平面PAB 平面ABCAB，PD平面PAB，所以PD平面ABC， 又BC平面ABC，所以PDBC， 10 分 又PBBC，PDPBP，PD平面PAB，PB平面PAB， 所以BC平面PAB， 又PA平面PAB，所以BCPA. 14 分 3如图 1411，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA 垂直于底面ABCD，PAADAB2BC2，M，N分别为PC，PB的中点 图 1411 (1)求证：PBDM； (2)求点B到平面PAC的距离 解 (1)证明：因为N是PB的中点，PAAB， 所以ANPB，因为AD平面PAB，所以ADPB，又因为ADANA， 3 分 从而PB平面ADMN，因为DM平面ADMN， 所以PBDM. 6 分 (2)连结AC，过B作BHAC， 因为PA底面ABCD， 所以平面PAC底面ABCD，所以BH是点B到平面PAC的距离. 12 分 在 RtABC中，BH. 14 分 ABBC AC 2 5 5 4(2016苏州期末)如图 1412，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是 AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O. 图 1412 (1)求证：A1，C1，F，E四点共面； (2)若底面ABCD是菱形，且ODA1E，求证：OD平面A1C1FE. 证明 (1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是ABC的中位线， 所以EFAC.3 分 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1. 所以EFA1C1， 故A1，C1，F，E四点共面. 6 分 (2)连结BD，因为直棱柱中DD1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1， 所以DD1A1C1. 10 分 因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1B1D1. 又DD1B1D1D1，所以A1C1平面BB1D1D. 因为OD平面BB1D1D，所以ODA1C1. 又ODA1E，A1C1A1EA1，A1C1平面A1C1FE，A1E平面A1C1FE， 所以OD平面A1C1FE. 14 分 5(2016苏北四市期末)如图 1413，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直 角三角形，ABAC1，AA12，点P是棱BB1上一点，满足(01) BP BB1 图 1413 (1)若 ，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值； 1 3 (2)若二面角PA1CB的正弦值为 ，求的值 2 3 解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2) (1)由 得，(1,0，2)，(0,1，2)， 1 3 CP (1，1， 2 3) A1B A1C 设平面A1BC的法向量为n n1(x1，y1，z1)，由Error!得Error!3 分 不妨取z11，则x1y12， 从而平面A1BC的一个法向量为n n1(2,2,1) 设直线PC与平面A1BC所成的角为， 则 sin |cos，n n1|， CP | CP n n1 |CP |n n1| 22 33 所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为. 22 33 6 分 (2)设平面PA1C的法向量为n n2(x2，y2，z2)，(1,0,22)， A1P 由Error!得Error! 不妨取z21，则x222，y22， 所以平面PA1C的法向量为n n2(22，2,1). 10 分 则 cosn n1，n n2， 94 3 4289 又因为二面角PA1CB的正弦值为 ， 2 3 所以，化简得2890，解得1 或9(舍去)， 94 3 4289 5 3 故1. 14 分 6(2016苏锡常镇调研一)如图 1414，在长方体ABCDA1B1C1D1中， AA1AB2AD2，点E是AB的中点，F是D1E上的一点，D1F2FE. 图 1414 (1)证明：平面DFC平面D1EC； (2)求二面角ADFC的大小 解 (1)证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立 如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2) E为AB的中点，E点坐标为E(1,1,0) D1F2FE， (1,1，2)， D1F 2 3D1E 2 3 ( 2 3， 2 3， 4 3) (0,0,2)，3 分 DF DD1 D1F ( 2 3， 2 3， 4 3) ( 2 3， 2 3， 2 3) 设n n(x，y，z)是平面DFC的法向量，则Error! Error! 取x1 得平面FDC的一个法向量n n(1,0，1)， 设p p(x，y，z)是平面ED1C的法向量，则Error! Error! 取y1 得平面D1EC的一个法向量p p(1,1,1) n np p(1,0，1)(1,1,1)0，平面DFC平面D1EC. 6 分 (2)设q q(x，y，z)是平面ADF的法向量，则q q