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第四章 函数的连续性 第一节 连续性概念1按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）； （2）。 证：（1）的定义域为，当时，有 由三角不等式可得： ， 故当时，有 对任意给的正数，取则，当 且时，有 可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。(2) 的定义域为对任何的，由于 ，从而对任给正数，取，当时，有 故 在连续，由的任意性知，在连续。2指出函数的间断点及类型： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）解： （1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。 （2）在间断，由于 ， 故是的跳跃间断点。 （3）在间断， 由于 ， 故 是的可去间断点。 （4）在间断，由于 ， ，故是的可去间断点。 （5）在间断，由于 ， ， ， 故 是的跳跃间断点。 （6）在的点间断且若，则 不存在，故是的第二类间断点。 （7）在及间断，且，不存在，故是的第二类间断点。又因 ，故是的跳跃间断点。3延拓下列函数，使在 上连续： （1）； （2）； （3） 。 解：（1）当时，没有定义，而=12 于是函数 是的延拓，且在 上连续。（2）当时，没有定义，而=，于是 函数 是的延拓，且在 上连续。（3）当时，没有定义，而=，于是 函数 是的延拓，且在 上连续。4若在点连续，则 ，是否也在连续？又若或在上连续，那么在上是否连续？解：（1）若在点连续，则与在连续。 （i）在点连续。事实上，由于在点连续，从而对任给正数，存在正数，当时，有，而 故当 时，有 ，因此在点连续。 （ii）在点连续。事实上，由于在点连续，从而由局部有界性知：存在及使当时， 有 ， （1）有连续性定义知：对任给正数，存在正数，当有 （2）先取 ，则当，上（1）与（2）式同时成立，因此 故 在点连续。（2）逆命题不成立。例如设 ，则 ，均为常数，故是连续函数，但在任一点都不连续。5设当时，而，试证与这两个函数中至多有一个在连续。 证明：（反证）假设与均在连续，则，又因时，于是，从而 这与 相矛盾。故与这两个函数中至多有一个在连续。6证明：设为区间上的单调函数，且为的间断点，则必是的第一类间断点。 证： 不妨设为区间上的递增函数，于是当，且时， 从而由函数极限的单调有界定理可知：存在 ，且= 同理可证 存在，且= 因此 ， 是的第一类间断点。7设函数只有可去间断点，定义，证明为连续函数。 证：设 的定义域为区间，则在上处处有定义（因只有可去间断点，从而极限处处存在），任取，下证在连续。由于且（），从而对任给正数，存在正数，当时有 ，任取，则必存在。于是当 时，由不等式性质知 因此当 时，有 ，故在处连续。8设为上的单调函数，定义，证明函数在上每点都连续。 证：由于为上的单调函数，故只有第一类间断点，故右极限处处存在。于是处处有定义，任取，下证在右连续。由于=且=，（）从而对任给正数，存在正数，当时，有，任取，则必存在。于是当时，上不等式成立。由极限不等式性质知 因此当时，有 ，故在处右连续。9举出定义在上符合下列要求的函数： （1）在和三点连续的函数