高中数学 2_2_1 综合法与分析法学案 新人教b版选修2-2

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线22.1综合法与分析法1理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点(重点、易混点)2会用综合法、分析法解决问题(重点、难点)基础初探教材整理1综合法阅读教材P63，完成下列问题1直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的_、_、_，直接推证结论的真实性(2)常用的直接证明方法有_与_【答案】1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法2综合法(1)定义：综合法是从_推导到_的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论(2)符号表示：P0(已知)P1P2Pn(结论)【答案】2.(1)原因结果已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c为正实数，且abc1，10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证法是_(填综合法、分析法)【解析】本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法【答案】综合法教材整理2分析法阅读教材P64P65，完成下列问题1定义：分析法是一种从_追溯到产生这一结果的_的思维方法也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的_条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实2符号表示：B(结论)B1B2BnA(已知)【答案】1.结果原因充分判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法就是从结论推向已知()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型综合法的应用(1)在ABC中， 已知cos Acos Bsin Asin B，则ABC的形状一定是_(2)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成一个首项为的等比数列，则|mn|_.(3)下面的四个不等式：a2b23ab(ab)；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有_【自主解答】(1)cos Acos Bsin Asin B，cos Acos Bsin Asin B0，cos(AB)0，即cos(C)0，cos C0，又0C，C0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab.a2b22ab对一切实数恒成立，(ab)成立综上所述，不等式成立1当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误2逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解再练一题2已知a0，1，求证：.【证明】由已知1及a0可知0b，只需证1，只需证1abab1，只需证abab0，即1，即1，这是已知条件，所以原不等式得证探究共研型综合法与分析法的综合应用探究1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？【提示】综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”探究2综合法与分析法有什么区别？【提示】综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因已知ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.【精彩点拨】先求出角B，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决【自主解答】法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60，所以cos B，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.再练一题3设x1，y1，证明：xyxy.【证明】因为x1，y1，所以要证明xyxy，只需证明xy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因为x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而可得不等式xyxy成立构建体系1下面叙述正确的是()A综合法、分析法是直接证明的方法B综合法是直接证法，分析法是间接证法C综合法、分析法所用语气都是肯定的D综合法、分析法所用语气都是假定的【解析】直接证明包括综合法和分析法【答案】A2欲证不等式成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2【解析】要证成立，只需证成立，只需证()2()2成立【答案】C3将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_由于_显然成立，因此原不等式成立【解析】用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)204设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_. 【导学号：05410045】【解析】因为abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.当且仅当abc时等号成立【答案】95已知a0，b0，求证：.(要求用两种方法证明)【证明】法一：(综合法)因为a0，b0，所以(ab)0，所以.法二：(分析法)要证，只需证abab，即证(ab)()0，因为a0，b0，所以ab与符号相同，不等式(ab)()0成立，所以原不等式成立我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1在证明命题“对于任意角，cos4sin4 cos 2”的过程：“cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2”中应用了()A分析法B综合法C分析法和综合法综合使用D间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路故选B.【答案】B2要证a2b21a2b20，只需证()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0【解析】要证a2b21a2b20，只需证a2b2a2b210，只需证(a21)(b21)0，故选D.【答案】D3在集合a，b，c，d上定义两种运算和如下：那么，d(ac)等于()AaBbCcDd【解析】由运算可知，acc，d(ac)dc.由运算可知，dca.故选A.【答案】A4欲证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2【解析】0，0，故()2sin sin Bsin()cos cos Ccos()sin sin Dcos()cos cos 【解析】因为0，0，所以0，若0，cos 0.所以cos cos cos ()若0且，因为cos()cos ，cos()cos ，所以cos()cos cos ，总之，对任意的锐角，有cos()0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法【解析】该证明方法是“由因导果”法【答案】综合法7如果ab，则实数a，b应满足的条件是_【解析】要使ab，只需使a0，b0，(a)2(b)2，即ab0.【答案】ab08若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_. 【导学号：05410046】【解析】若对任意x0，a恒成立，只需求y的最大值，且令a不小于这个最大值即可因为x0，所以y，当且仅当x1时，等号成立，所以a的取值范围是.【答案】三、解答题9已知倾斜角为60的直线L经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点(1)求弦AB的长；(2)求三角形ABO的面积【解】(1)由题意得，直线L的方程为y(x1)，代入y24x，得3x210x30.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义，得弦长|AB|x1x2p2.(2)点O到直线AB的距离d，所以三角形OAB的面积为S|AB|d.10已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2b2c24S.【证明】要证a2b2c24S，只要证a2b2(a2b22abcos C)2 absin C，即证a2b22absin(C30)，因为2absin(C30)2ab，只需证a2b22ab，显然上式成立所以a2b2c24S.能力提升1设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1 D.【解析】是3a与3b的等比中项3a3b33ab3ab1，因为a0，b0，所以ab，所以4.【答案】B2(2016石家庄高二检测)已知关于x的方程x2(k3)xk20的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是()A(1,2)B(2,1)C(，1)(2，)D(，2)(1，)【解析】令f(x)x2(k3)xk2.因为其图象开口向上，由题意可知f(1)0，即f(1)1(k3)k2k2k20，解得2kab，则实数a，b应满足的条件是_. 【导学号：05410047】【解析】ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可【答案】a0，b0且ab4(2016天津高二检测)已知，k，(kZ)且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求证：.【证明】要证成立，即证.