复化梯形公式和复化辛普森公式的精度比较.doc

实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较 （2学时）一、实验目的与要求 1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理；2、熟悉并掌握二者的余项表达式；3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两者的精度；4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。二、实验内容：对于函数，试利用下表计算积分。表格如下：01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值。三、实验步骤 1、 熟悉理论知识，并编写相应的程序；2、 上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好；3、 得出结论，并整理实验报告。四、实验注意事项1、复化梯形公式，程序主体部分：for n=2:10 T(n)=0.5*T(n-1) for i=1:2(n-2) T(n)=T(n)+(sin(2*i-1)/2(n-1)/(2*i-1)/2(n-1)/2(n-1)； endend2、复化Simpson公式，程序主体部分：for i=1:10 n=2.i x=0:1/n:1 f=sin(x)./x f(1)=1 s=0 for j=1:n/2 s=s+f(2*j) end t=0 for j=1:(n/2-1) t=t+f(2*j-1) end S(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)end五实验内容复化梯形公式和复化辛普森公式的引入复化梯形公式：；复化辛普森公式：；根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下：Matlab代码clcs=quad(sin(x)./x,0,1)p1=zeros(10,1);p2=zeros(10,1);for k=6:15 s1=0; s2=0; x=linspace(0,1,k); y=sin(x)./x; z=(1/(2*(k-1):(1/(k-1):1; sz=sin(z)./z; y(1)=1; for i=1:(k-1) s1=s1+0.5*(x(i+1)-x(i)*(y(i)+y(i+1); end for j=1:(k-1) s2=s2+(1/6)*(x(j+1)-x(j)*(y(j)+y(j+1)+4*sz(j); end p1(k-5)=s1-s; p2(k-5)=s2-s;endp1;p2;s1=s+p1(4)s2=s+p2(4)format longfor k=1:length(p1) p1(k)=abs(p1(k); p2(k)=abs(p2(k);endp1p2plot(6:1:15,p1,-r)hold onplot(6:1:15,10000*(p2),-c)hold off 部分程序结果输出：s = 0.946083070076534s1 = 0.945690863582701s2 =0.946083085384947结果分析根据结果输出可知：积分的准确值为：I= 0.946083070076534；通过复化梯形公式和复化辛普森公式得到的积分值为：s1 =0.945690863582701:s2 =0.946083085384947;相对误差为：；显然，从相对误差可知通过辛普森公式得到的结果误差小精度高。由于以上的算法只算了结点个数为9的情况，只能横向比较两公式的精确程度，而不能分别比较两公式随节点个数变化精度的变化，故而将以上程序重新编（以上程序为最终程序）可得出两公式随节点个数变化精度的变化情况所取得节点个数为从6到15，共计10种情况对应的误差值如下表：节点数678910T0.0010.00070.000510.000390.00031S*100000.987620.477660.259130.153080.09666节点数1112131415T0.000250.000210.000170.000150.00013S*100000.064410.044910.032570.024440.01892（表1）注：由于辛普森公式的精度较高，所得的误差值较小不宜比较，故而将辛普森公式计算出的误差值乘上10000得到以上表1的结果，其相应的曲线图如下（图1）。（图1:两误差曲线比较）备注：红色