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误差理论与测量平差编写 戴华阳 中国矿业大学（北京）2006.4-2008.12第一章 绪论1.1 引言我们做一个实验。用钢尺测量这个讲台的长度，三次观测的结果（观测值）分别为1.356，1.357，1.355m。三次读数各不相同，而讲台的真实长度只有一个值（尽管现在还不知到该值的大小）。说明这三个读数中至少两个有问题，也可能三个都存在问题。什么问题呢？观测读数与真实长度不一致，观测存在误差。什么是误差？误差就是观测值与被观测量的客观真值的偏差。误差又称观测误差，真误差）。由以上实验可知，观测误差可以通过多余观测来发现；如果没有多余观测，即对讲台只进行一次测量，观测值不能显示自身有无误差，我们便无从知道观测值有没有误差，或者误差有多大。通过测量学课程的学习，我们掌握了测量仪器（如经伟仪、水准仪、测距仪等）观测角度和边长的基本方法。但是，由于观测值不可避免地存在误差，因此通过测量取得的观测值常常不能直接用于计算各测点的平面坐标和高程。误差理论与测量平差基础是一门关于误差的来源、分类、分布特性，协方差传播规律的科学（误差理论）；是处理含有误差的观测值和进行观测量估计的方法（测量平差）。误差理论与测量平差基础是本专业的一门基础理论课，它的内容涉及概率论，数理统计，矩阵代数，线性代数等工程数学，其理论原理我们并不陌生；而它又紧密结合测量中的实际情况，立足于解决测量工程中的基本问题，具有很强的实用性。课程的主要内容及各部分之间的关联性：1.2 误差的来源与不可避免性（1）观测误差：是观测值与被观测量的客观真值之间的偏差。观测值的误差为： （为的真值）。误差有正负但无0，误差一般不会太大（因为是正式的观测），误差与观测值单位相同。观测误差的表现形式：在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象。（2）观测误差的来源（观测误差不可避免）主要来源于三个方面（观测条件）。1）测量仪器（仪器的工艺水平有限、精密度有限）；2）观测者（由于人的感官局限性，观测过程中整平、对准、读数等均存在偏差）；3）外界条件（外界因素影响不可避免，观测是在一定的环境下进行的，环境温度、风力、其气折光等对观测结果产生直接影响）。1.3 误差的分类观测误差的分类（按其对观测结果的影响性质）（1）系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，误差在大小、符号上表观出系统性；或者误差在观测过程中按一定的规律变化；或者误差为某一常数。如某钢尺存在比长误差：当用其连续测量一段距离时，尺长误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比增加，距离愈长所累计的误差也愈大，呈规律变化，称尺长误差为系统误差。系统误差具有累积作用，对成果影响显著，通过改善观测方法或其它方法，消除系统误差或减小其对观测成果影响。（2）偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即：从单个误差来看，该列误差的大小和符号没有规律性；但就大量误差的总体而言；具有一定的统计规律。偶然误差又称随机误差，因为偶然误差就其总体而言，都具有一定的统计规律。据分析，观测误差和观测值都是服从正态分布的随机变量。偶然误差的例子：用经纬仪测角时，测角误差由照准误差、读数误差。外界条件变化所引起的误差，仪器不完善引起的误差等综合的结果，每一项误差又是由许多偶然因素所引起的小误差的代数和，每项微小误差又随偶然因素影响而不断变化，表现为误差大小和符号的变化，它们的总和构成的某一项误差总和，就其个体而言，数值大小或符号正负均不能事先预知，因此，把这种性质的误差称偶然误差。偶然误差通过平差来处理。测量平差中所要处理的观测值假定不包含系统误差。由观测实验和误差分布统计可知，偶然误差和只含偶然误差的观测值都是服从正态分布的随机变量，都具有一定的统计规律。因此我们可用概率论和数理统计学的原理来研究此类观测值与观测误差的特征。（3）粗差：是比偶然误差大几倍的误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大误差还要大的误差。粗差在一定程度上可以避免，粗差需要识别和处理。第二章 概率论、矩阵基本知识2.1 随机事件与概率随机事件：是不能预先知道试验结果的事件，其特点为：在一次试验中可能出现也可能不出现的事件； 大量重复试验中具有某种规律性的事件。观测值、观测误差是随机事件。概率（事件发生的可能性大小）：在相同条件下，对同一试验重复地进行n次，若事件A出现m次。则称m/n为A出现的频率。当试验次数n愈来愈大时，m/n趋于稳定常数，称m/n为A出现的概率。记P(A)= m/n P(A)=1为必然事件，P(A)=0为不可能事件。概率加法（事件和）：事件A或事件B出现的事件，表示为A+B或AB。若A、B为互斥事件（A、B不能同时出现），则P (A+B)= P(A)+P(B)概率乘法（事件积）：A、B同时出现的事件，表示为AB或ABP (AB)= P(A)P(BA)= P(B)P(AB)若A、B独立（A的出现不影响B的出现），则P (AB)= P(A)P(B)，P(BA)= P(B)，P(AB)= P(A)。2.2 一维随机变量及其分布(1) 随机变量：引入一个变量X，用其数值x来表示每次试验的结果。X的取值x随偶然因素而变化，虽事先不可预知，但遵从一定的概率分布规律。这样的变量叫做随机变量。一个随机变量可代表一个或多个随机事件。试验：3个黑棋，5个白棋，取一个棋子的事件P（X=1）=3/8，P（X=2）=5/8黑棋 白棋x 1 2Pi 3/8 5/8(2) 随机变量的概率分布函数F（x）（简称分布函数）：随机变量X的取值不超过实数x的事件的概率，即 F（x）=P（Xx）， (-x)(3) 分布函数F（x）的5点性质：1）F（x）=0， F（x）=12）若x1x2，则F（x1）F（x2） (单调性)3）F（x+0）= F（x） (右连续性)4）P（aXb）=F(b)-F(a)5）P(X=a)=F(a)-F(a-0)（4）随机变量分类：连续型随机变量：可能的取值有无限个，不能一一列出来； 离散型随机变量：随机变量的全部可能取值为有限个，可以一一列出。（5）离散分布与概率分布列：离散型随机变量X只能取有限个或可列个数值x1，x2，xn，记P（X=xk）=pk（k=1，2），则称pk为X的概率分布列。pk有如下性质： 1）pk0；2）pk=1；3）D为实数域，P（XD）=； 4）X的分布函数F（X）=（6）连续分布与分布密度函数f（x）连续型随机变量X有无穷多个取值点，每个取值点及其概率均不能一一列出，故用分布密度函数来描述。若连续型随机变量X的概率分布函数F（x）可表示为F（x）= （f（x）0）则称f（x）为X的分布密度函数，简称密度函数。f（x）的性质：（1）f（x）=0（2）=1（3）P（XD）=，D为实数域。（7）随机变量的函数的分布随机变量X，分布函数FX（x），分布密度函数fX（x）则随机变量Y =g（X）的分布函数FY（x）=对于连续型随机变量，FY（x）=对于离散型随机变量，FY（x）=2.3 二维随机变量及其分布（1） 二维联合分布函数、边缘分布随机实验的结果需用2个或2个以上的随机变量来描述（人的体征用身高、体重描述，射击的中心位置用X，Y坐标描述）我们把二个随机变量的下述概率称为联合分布函数。，它表示事件和的同时出现的概率当只考虑一个变量的分布，而不考虑另一个变量是如何分布时，就把二维分布的问题归结为一维分布的问题了。常称，分别为X，Y的边缘分布。例：有5个男生（2高，2中，1矮），3个女生（其中两个高，1个中，0个矮），从中随机找一个学生，用性别和高矮分别作为随机变量，求各种情况的概率。表2-1 二维离散随机变量概率计算表随机变量及其概率X（性别）x1=1(男)x2=2(女)i=1,2,3Y（个头）y1=1(高)y2=2(中)y3=3(低)1.0 （2）连续型二维随机变量的密度函数，是X，Y处的的交集（P(AB)=P(A)P(B/A)）； ；为条件概率密度函数。 若X，Y独立，则,则2.3 随机变量的数字特征一个随机变量X的数字特征：是表示随机变量分布重要特征的数字。（1） 数学期望：对于离散型随机变量 ， 对于连续型随机变量 （2） 方差：= （2.2）对于离散型随机变量 对于连续型随机变量 中误差（标准差）：方差的算术平方根 （3）协方差：X、Y为两个随机变量，函数的数学期望，称为X、Y的协方差Dxy或xy (2.3)对于离数型变量 对于连续型变量 相关系数 (2.4)则称xy 为随机变量X与Y的相关系数（-1+1）。xy=0时，X与Y不相关；=1时X与Y是函数关系。（4）矩：分别取随机变量X的函数 则称 为X的k 阶原点矩；为X的k阶中心矩；为X 和Y的k+l 阶混合中心矩。（5）权：表示各测值方差之间比例关系的数字特征，是表示相对精度的数字指标。 (2.5)i2为观测值Li的方差，0为选定的任一正常数。权的特点是：同一问题中只能选一个0（称为单位权中误差，0一经选定它还有着具体的含义） ；权的意义不在于它们本身数值的大小，而重要的是它们之间所存在的比例关系；只要事先给定一定的条件就可确定权的数值，而不一定要知道观测值精度数值。2.4数学期望、方差的运算关系X、Y为两个随机变量，C为常数。（1） 数学期望的运算E（C）=CE（CX）=C E（X）E（X+Y）= E（X）+ E（Y）若X、Y相互独立，则E（XY）= E（X）E（Y）（2）方差性质（运算性质）D（C）=0D（CX）=C2 D（X）D（X）= E（X2）E2（X）D（X+Y）= D（X）+ D（Y）+2DXY；若X、Y相互独立，则D（X+Y）= D（X）+ D（Y）证明1）证明2）若X，Y独立，则2.5 相关性与独立性的关系 =又 （1）若X、Y独立：或，则X、Y不相关：。证明：当X,Y独立时，有=0，故X，Y不相关。（2）若X、Y不相关：，X、Y不一定独立。因为 （3）若X、Y为正态随机变量，则不相关与独立等价。正态随机变量X、Y独立X、Y不相关的证明同（1）；正态随机变量X、Y不相关X、Y独立的证明见正态随机变量一节。（4）若X、Y同为随机变量Z的函数，则X、Y也可能不相关。2.6 正态随机变量2.6.1 正态随机变量的密度函数和分布函数正态随机变量X，记为XN（，2），、为两个参数。其密度函数和分布函数分别为： 标准正态分布X N（0，1）密度函数和分布函数f（x）=，(-x)F（x）= 图1 正态分布密度函数图形 图2 正态分布函数图形2.6.2 正态随机变量的数字特征（1）对于正态分布X，E（X）= 又对于标准正态分布，即 （2）对于正态分布X，D（X）=2 2.7 矩阵的基本知识（1）矩阵和向量1）定义：由个元素排成的矩形阵，称为矩阵，它是多个元素规则排列形成的一个整体。记为：或称为A的阶；阶A成为n阶矩阵；对角元素为1，其余为0的矩阵，称为单位矩阵I；阶A称为列矩阵，阶A称为行矩阵。（2）矩阵转置把矩阵中的元素放到B矩阵中的j行，i列所形成的新矩阵，称B为A的转置矩阵，记为若m=n，且，则称矩阵A为对称（3）矩阵运算若，则B为A的逆矩阵，否则，A不可逆，为奇异矩阵。若，则若为可逆矩阵，则其求逆和转置可互换顺序：=若为对称可逆矩阵，则亦为对称可逆矩阵：=（4）复数集内的运算设A，B，C，全体阶，元素为复数的矩阵所组成的集合，全体阶，元素为实数的矩阵所组成的集合，C全体复数集。则有 （5）矩阵的秩（平差法方程求解）A的行列式：detA A的秩R(A)=Rank(A) K阶子式由A的k行、k列交叉元素组成的行列式，记为：当A的时，则A的秩为k定理：的充要条件或A可逆 ， 则（6）方阵的迹（平差值的统计性质） ，、为方阵，、均为方阵平差中=是的无偏估计。（6）平差中的矩阵问题1）方差-协方差阵 相关观测值的方差阵、协因数阵、权阵均为对称、可逆方阵（因为）=，=，=，=不相关（独立）观测值的、均为对角、对称、可逆方阵（因为=0）。观测值与的协方差阵，与的协方差阵：2）条件平差中的矩阵问题对称可逆3）间接平差中的矩阵问题对称可逆，也是对称阵 注意：4）矩阵求导对x求导：对求导：= 特别地 对求导：= 对x求导：= = = =2.8 偶然误差的随机特性2.8.1 偶然误差的随机特性一般认为只含偶然误差，或主要只讨论偶然误差的问题。在相同条件下，独立地观测了一组（421个）平面三角形的全部（3*421个）内角，由此得到内角和真值（180）与其观测值间的一组偶然误差，按符号、区间统计误差出现的频率，可绘出误差的分布直方图。偶然误差的分布形态图由统计分析可以看出，偶然误差的分布具有下列特性：1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；（误差有限）2）绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；（分布集中）3）绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；（正负均等）4）偶然误差的数学期望为零。（期望为0）偶然误差的上述统计性质与正态分布相似，因此正态分布常被看成是偶然误差的理论分布。偶然误差（有时简称为误差）是随机变量服从正态分布，而且参数=0，N（0，2）。图2-4 偶然误差分布密度曲线 图2-5 偶然误差分布曲线f()= -E()=0D()=2=E（2）观测值（假设只含偶然误差） L=-它是的函数，L也是随机变量，L亦服从正态分布。f(L)= -L可证E(L)= ，D(L)=2故 LN（，）。2.8.2 观测向量的随机特性描述（1）两个观测值的方差阵X，Y为两个观测值X，Y，X，Y的联合密度函数为用矩阵表示：，称为Z的方差阵或方差协方差阵。（2）观测值向量的联合密度函数、方差-协方差阵(又称方差阵、协方差阵)观测向量=，则其联合密度函数为其数学期望其方差-协方差阵表示由随机变量向量的所有方差或两两间协方差按秩序排列组成的矩阵。=又设，2.8.3 正态分布的X，Y不相关与独立等价1） 若随机变量X、Y独立不相关。证明见2.5节。2） 若正态随机变量X，Y不相关独立。证：设所以X、Y独立。2.8.4 观测值的精度指标精度：对于一组观测误差，其分布的密集程度（或离散程度）称为该组观测值的精度。相同条件下的一组观测值，对应于同一个误差分布和同一的密集程度（精度），其中的每一个观测值称为同精度观测值。每一个观测值均有其所服从的误差分布和精度。一次读数是这种观测条件下的一个观测值，只不过其分布情况由此种观测条件以往的经验来推定。如新仪器在出厂前的精度检定就是为此仪器以后的观测精度提供一个参考值，当然实际观测精度还与观测者、环境有关。精度指标：描述误差分布的密集或离散程度、精度高低的数植，如方差、中误差、平均误差、或然误差、极限误差或、相对误差。 对于一组偶然误差，不同误差区间上的概率各不相同；在（-，+）区间出现的概率为68.3%。 对于不同分布的两组偶然误差，相同概率对应的误差区间也不相同：若误差分布越密集，则误差出现某一概率所需区间宽度越小，越小；反之，若误差分布越离散，则误差出现某一概率所需区间宽度越大，越大。 因此可以作为衡量误差分布密集或离散程度的指标，即精度指标。1）方差和中误差及其估值越小，曲线越陡峭，精度越高，观测质量越好。越大，曲线越平滑，精度越低，观测质量越差。的估算： 假设在相同的条件下得到一组独立的观测误差估值：估值：2)平均误差（不是算术平均，是绝对平均）对于相同条件下的一组独立观测误差 （绝对平均之极限）图2-6 平均误差与或然误差的区间3）或然误差定义：误差出现在之间的概率等于1/2，即查表得：，设标准正态N（0，1）4）极限误差置信概率如下： 1-P 31.7% 4.5% 0.3%取作为偶然误差的极限值，是基于大于的偶然误差出现的概率仅有0.3%，它是近于0的小概率事件，或者如此大的误差实际上不可能的事件。若某观测误差超过限，那就可以认为它是错误（粗差），应该舍去相应的观测值。5）相对误差：有时单靠有时还不能完全表达观测结果之好坏，我们就用相对中误差来衡量某些观测结果。6）由有限个同精度独立真误差估计观测值的各精度指标在相同条件下进行的一组独立观测值，当已知真值时，可计算出一组真误差ia）、由同精度独立观测真误差估算方差、中误差、协方差D(X)=E(X-E(X)2=E(X2)-E2(X)2= D()= E（2）=是的所有可能取值之理论平均值，因此对于同精度真误差，有2=2的估值=同样 =b)、由同精度独立观测真误差估算平均误差=E（）=或者 =0.7979第三章 协方差传播规律3.1 观测值精度指标概述a方差2和中误差 (2.6)b平均误差： (2.7)c或然误差：误差出现在（-，+）之间的概率等于1/2，称评价指标为或然误差d极限误差：2倍或是3倍称为极限误差绝对值大于1倍中误差的偶然误差，出现概率31.7% 绝对值大于2倍中误差的偶然误差，出现概率4.5%绝对值大于3倍中误差的偶然误差，出现概率0.3%e相对误差：有些观测结果，用中误差的大小不足以衡量其结果好坏，所以采用相对误差指标，如边长的观测精度，用。3.2 协方差传播规律观测值（变量）观测值的函数，观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的关系可以通过方差和协方差的运算规律来导出，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。设有观测值向量，其协方差阵为，数学期望为，观测值的t个线性函数Z（X） (2.8)Z的协方差为于是 (2.9)另设观测值的线性函数，同理有 。Y和Z的互协方差阵为 (2.10) (2.11)至此，即可通过观测值的方差-协方差确定观测值的函数的方差-协方差。对于观测值的非线性函数，应首先按泰勒公式将函数关系线性化，然后再按协方差传播律求解。协方差传播律的应用很广泛，传播律公式是通用的公式，方差运算法则也是简单的方差-协方差传播形式。对于涉及观测值个数少，或者是同精度观测、不相关观测等协方差传播问题，采用方差运算法则可使求解过程更为简便；对于涉及多个观测值和相关观测问题一般采用传播律公式。例1：设在一个三角形中，同精度独立观测得到三内角L1、L2、L3，其中误差为。试求三角形闭合差平均分配后的各角 、的协方差阵。图2-3 三角形内角观测平差模型解：按传播律公式求解。内角和闭合差 ， 所求协方差阵 。3.3 协因数传播律3.3.1 协因数阵、权阵及相互关系观测值Li的权为：， 为选定的正常数，称单位权方差。权用来描述观测值精度的相对高低。两观测值间的协因数：=（某观测值的协因数即是其权倒数） （）观测向量的协因数阵（权逆阵）：= 权阵：，由于，故、=、均为对称矩阵。协因数（阵）、权（阵）、方差-协方差（阵）相互关系：（1），=（权倒数）（2），（3）对于一般情况（为相关观测值）：；对于特殊情况（为独立观测值）： 。 =0，、为对角阵， 3.3.2 协因数传播律协因数传播律：处理由观测值的权来求观测值函数的权的问题。协因数阵与协方差阵只是数值上的差别（，），它们的矩阵结构和概率论意义类似，可以证明，协因数传播律与协方差传播律相同。设有观测值，其协因数阵，协方差阵。观测值的两组线性函数：X、Y的协因数阵为 （）又 令Y=X，得X的协因数阵：；令X=Y，得Y的协因数阵： 。3.3.3 权倒数传播律（独立观测的协因数传播律）权倒数传播律是独立观测值的协因数传播律的应用。独立观测值，为对角阵，对于同精度观测：Z为L之算术平均值：3.4 非线性关系的线性化（泰勒公式）3.4.1函数线性化法设Z为观测向量X的非线性可导函数，在观测值读数Xi0处按泰勒级数展开，由于Xi0与Xi数值接近，故略去二次项，便得Z关于X的线性关系（2.14）(2.14)3.4.2线性化注意事项（1）可线性化的条件： 1）可导； 2）在X0处线形化，必须有X0与X接近。否则线性化后会使函数值失真。观测值读数与观测值可认为是接近的。（2）函数线性化与方程线性化的区别1）函数的线性化，目的是由求，只需确定，而不关心线性化后的常数项。2）方程的线性化，目的是要把一个关于的非线性方程变成一个关于的线性方程。应在处展开，变成近似的线性方程：的线性化：，在处展开，去二次项，得当 ， ；当 ， ，以秒为单位。线性化的条件方程为：3）线性化过程单位的统一偏微分为角量时应除以，使之变为弧度（无量纲），以与角量中误差统一单位。1弧度的秒数、分数、度数为：=3437.7=57.30例：当单位为秒时，应将除以，结果为弧度。4）线性化前对函数（方程）的变形，有利于简化问题。3.5 定权的几种常用方法（1）水准测量定权（一）设每一测站高差观测的精度相同，其中误差为，观测值相互独立（由观测过程知）水准线路i上有i站观测，则hi之高差为各站高差之和， hi之方差由协方差传播律确定：取（为常数）则（若，则）的意义当i时，i，是测站的观测高差的权；当i时，i，是单位权观测高差的测站数。则对于同一问题（应取相同的），测站数越大则高差观测的权越小。（二）设每一公里线长度的观测高差的中误差相等，为取（为常数）则hi之高差为Si个线路长为一公里的观测高差之和，则的意义是公里的观测高差的权（当Si时，Pi）是单位权观测高差的公里数（当i时，Si）对于同一问题，水准线路越长则高差观测的权越小。（2）同精度观测值的算术平均值的权分别是个同精度观测值（）的算术平均值，其中为Ni个观测值（，）的算术平均值： （）取所取观测值个数越多，则由它们求得的算术平均值的权越大，精度越高。3.6 由不同精度真误差计算单位权中误差3.6.1 由不同精度独立观测真误差计算单位权中误差一组不同精度独立观测误差，其权为 令，即 为同精度观测值之真误差，且其权为1。，3.6.2 应用1：三角形内角和闭合差求测角中误差同精度观测内角同项 =内角和，（与i无关，为同精度观测值）内角和闭合差 为同精度真误差（反号），因此3.6.3应用2：由同精度双观测值之差求观测值中误差与为独立同精度双观测值（对同一量的两次观测），权都为Pi，方差均为令 ， 则 另设则3.7综合误差问题3.7.1 综合误差的评价方式（1）只含偶然误差，（2）只含系统误差观测值L它可以只含，只含，或二者均含。系统误差不是随机变量，而是一定程度上的常量，因此须先行处理。，（3）综合误差，L的均方差为：（4）当同时含、粗差时，用测量不确定度评价观测误差：不确定度 （ 的绝对值上界）3.7.2 系统误差传播律独立观测，其系统误差 设则3.7.3 系统误差与偶然误差联合传播=3.8 误差理论小结误差理论讲述了五个方面的内容： 1、一个事实：观测误差不可避免。因为L的感官限制，仪器的精密度有限，外界环境影响不可避免。误差按其影响的性质分类，偶然误差（单个误差无规律，大量误差有统计分布规律）、系统误差、粗差。2、偶然误差的随机性 ， 含有偶然误差的观测值的随机特性： 3、误差值的精度指标对于正态L的方差即正态分布参数 即为L的方差，为L的中误差对于观测值向量 对于观测向量与， 4、误差及协方差传播规律（1）误差传播律： 已知L的误差 则，X=f（L）的误差（2）协方差传播律（协因数传播律） 观测相量的方差阵为，则令（3）非线性关系在近似值处的线性化（在处） 由于协方差传播与无关，所以此处线性化不必计算 故只需求全微分的 然后按协方差传播律公式求5、综合误差问题(系统误差+偶然误差) 误差理论是处理带有偶然误差的观测值和进行测量精度评定的基础第四章 平差模型与最小二乘原理4.1 平差计算的数学模型平差的基本任务（1）处理带有偶然误差的观测值，求出未知量的最佳估值； （2）评定测量成果的精度。要完成此项任务，须建立平差问题的数学模型。4.1.1 平差问题数学模型平差问题：在一个关系确定的几何或物理模型中，由观测值来估算被观测量真值和模型参数的问题。即（的最优估值）一个三角形的三内角观测值、，由于观测误差，故内角和存在闭合差：，这使得从不同路线推算坐标时产生不同的结果。为此应用来修正，得，使，即显然，有多个解。如何确定合适的，也就是找出最优的呢？这就需要在满足三角形内角和的条件下采用最小二乘原则，使，此时的（）最优。这一解决平差问题需要三个方面的工作：1） 已知的先验方差阵（随机模型）；2） 建立估值应满足的几何关系：（函数模型）；（为了建模便利而引入的未知参数）3） 确定平差原则使估值最优（最小二乘原则）。平差数学模型中包含随机模型和函数模型：（1）随机模型：观测值向量的方差-协方差阵或协因数阵，它是描绘观测值（随机变量）的统计性质的参数。（2）函数模型：平差问题的几何或物理模型，用以确定客观实际的本质或特性。平差模型中涉及的变量的意义如下：观测值L随机变量，通过一定的仪器设备获得的某观测读数是它的取值之一。真值是一个常量，客观上总存在的一个能代表观测量真正大小的数值。观测误差是一个随机变量，观测值与其真值之间的偏差值，也叫真误差。经典平差方法中均假设观测值只含偶然误差。平差值（最或然值）随机变量，按一定的平差原则确定的被观测量真值的估值。 改正数V随机变量，观测值与平差值的差数。关系 ， （按最小二乘原理求出的V）4.1.2 平差问题随机模型设在某平差问题中，有被观测量，相应的观测值。 （为单位权方差）常常简写：（1）对于相关观测=，=（2）对于不相关观测=4.1.3 平差问题函数模型函数模型是指确定的几何或物理关系模型。如三角形内角和问题：客观真实：估值要求：两式均是关于三角形几何关系的一个函数模型，分别是真值具有的客观真实，以及待求的平差值应满足的客观要求。函数模型的形式和个数与平差问题本身、问题所涉及的观测量个数、引入的参数情况有关。4.1.3.1 函数模型的个数确定为了确定ABC的形状，只需要知道任意2个内角的大小，不必事先知道三个内角，因为。我们把能够唯一确定一个几何模型所必要的元素简称必要元素，必要元素个数t，t与几何模型有关，且唯一确定，与实际观测量无关。如对此几何模型进行观测，其必要观测个数也为t。但实际观测个数n总是大于必要观测个数t（原因有二：为了发现粗差，提高成果精度），这就产生了多余观测r=nt观测个数多少与几何模型的确定有如下关系：若nt，则存在r=nt个多余观测，观测误差使几何模型不闭合，产生闭合差，如三个内角观测，此时如何来估计，这是测量平差面临的问题。必要观测个数t：确定某一几何（物理）问题至少需要的观测元素个数。测量中指确定未知点的坐标或高程。必要观测个数与观测元素类型（测角、测边、测方向、测高程）有关： 测角网的必要观测个数t，有超额或足够的已知点（足够：两个已知点，或与此相当的已知条件）时，t=2*P，p为未知点个数；无已知点时，t=2*（P-2）；只有一个已知点或者一个已知点加一已知边长或方位角时，t=2*（P-1）。一句话，就是假设有足够的已知点后，必要观测个数为其余未知点数的2倍。 测边网或边角网的必要观测个数t，有超额或足够的已知点（足够：两个已知点，或与此相当的已知条件）时，t=2*P，p为未知点个数；无已知点时，应假设一个已知点、一个已知方位角（边长可测不能再假设已知），t=2*（P-2）+1；只有一个已知点或者一个已知点加一方位角时时，t=2*P+1；只有一个已知点加一已知边长时，t=2*P。一句话，测边网或边角网定必要观测个数时不能假设边长为已知。 水准网的必要观测个数t，有超额或足够的已知点（足够：一个高程已知点）时，t=P，p为未知点个数；无已知点时，t=P-1，即假设一个高程已知点。多余观测个数r：为了发现观测值中的错误并提高平差结果的精度，在测量工作中，总要使nt，nt=r称为多余观测个数。显然，多余观测并不多余。因为，r个多余观测在平差值之间将产生r个几何或物理的约束方程（函数模型、条件方程）。4.1.3.2 函数模型的形式在平差计算时，有时为了方便，可以选取某些量的最或然值作为未知参数，即引入u个未知数，又产生u个几何或物理的约束方程，则平差值与未知数之间共应满足c= r+u个条件方程，其一般形式为 (4.4)按泰勒公式展开后，c个约束条件方程可写成 (4.5)式中 为了简化数据，作拆换：（使数据级别变小、容易找错、方便运算，非常有益），（两个拆换有意义上差别，为的近似值（可以有不同的选择），是常量不是随机变量；而L、V均是随机变量。）约束条件方程变为：此即平差计算的基本方程，其中A、B称为系数矩阵，W为自由项矩阵。引入未知参数的初衷是为了建模的便利，但u个未知参数引入后就决定了函数模型的形式，并产生不同类型的平差方法。（1）当取u=0时，函数模型为条件方程，采用条件平差法（不选未知数，方程个数c=r，直接求V） 平差基本方程变形为 (4.6)（2）当u=t时，为函数模型为误差方程，采用间接平差法（选t个相互函数独立的未知数，c=r+t=n，先求，间接求V和） (4.7)（3）0ut时，为附有未知数的条件平差。（方程个数c=r+u）（4）tun时，为附有限制条件的间接平差。（多引入u-t个未知参数就产生相同数量的限制条件）当Wx=O时，此问题变为亏秩自由网平差。以上四种平差方法均假定引入的未知参数相互独立。（5）u个未知参数中有s个不独立（未知参数间存在s个函数关系），为概括平差（附有限制条件的条件平差）。函数模型为：平差的目的之一就是要估算被观测量的客观值，根据何种平差原则进行估值？如何合理估计被观测量的客观值？则需要了解观测值的统计性质和参数估计的方法。4.2 估计量的性质为了选择合适的平差原则，寻求最优估计值，必先介绍估计量的性质和参数的估计方法。观测值随机变量L理论上服从正态分布，如何用L的一组读数来估计参数即求呢? 数理统计学：运用概率的基本观点，对研究对象的客观规律性做出合理的估计和推断。母体：在测量工作中，某项观测所有可能取得的观测值的全体。子样：某观测组的几个观测值。参数估计：用有限个数的子样观测值来估计母体分布中某些参数的问题。参数估计分类：平差的实质是对随机变量（观测量）的估值问题。估计量的最优性质：(1)无偏性：为由子样构成的估计量，若，则为的无偏性。如：，xi属于同一正态分布。是x的无偏估计。因为（2） 一致性：当样本增加时，应愈来愈接近于，即为任意小正数。若估计量同时满足则为的严格致性估计。可证：独立子样的算术平均值也是x一致估计（，）。（3） 有效性：的两个估值和，若D（1）D（2），则估值比更有效。在对同一参数求得的无偏估计量中，如果能找到一个，其方差最小，D（m）=，则这种估计量是最有效估计量，又称最优无偏估计量。 即为x 最优无偏估计量。4.3 参数估计方法参数估计方法是寻求母体分布参数的估计方式，一般有三种方法矩法、最大似然法、最小二乘法。对于正态分布问题，后两者有相同的结果，统称为最小二乘原理。（1） 矩法：用子样矩的函数，作为相应的母体矩的同样函数的估计。子样x的均值是母体X的理论平均值（数学期望=）的最优无偏估计，它是子样的一阶原点矩。是X的一阶原点矩。矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。矩：分别取随机变量X的函数则称分别为X的k 阶原点矩、k阶中心矩、X 和Y的k+l 阶混合中心矩。（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参数估计方法。设母体的分布函数为f（x;），为未知参数，对抽得到的子样为（x1，x2，xn），则落在i（1in）邻域dx上的概率为f（xi;）dx，因子样观测值互相独立，所以子样观测值同时出现的概率为 (3.1)(dx)n对于不同的为常量，要使P最大，则需似然函数 (3.2)由 可以得到的最大似然估值。最大似然法估计时必须知道母体的分布类型，确定f（）。（3）最小二乘法：利用一组观测数据来估计某些几何或物理关系式中的未知参数的问题如当取不同值i(不是观测值)时，得到y的n个观测值yi，现欲估计y=+中的参数、。设、的估值为、，则 （i=1，2 n）或矩阵形式 式中 ，这是间接平差函数模型的形式，是关于两个未知数（、）的n个线性方程，如何求、？这需要按一定的估值原则来进行。最小二乘法则是：在的条件下，求解未知参数的估值。一般地，就是在的条件下，求解未知参数的估值。 (3.3)最小二乘法的特点：只要是线性关系（或可线性化）的参数估计问题，则不论观测值的分布如何，均可按最小二乘法进行参数的估计，它是一种可以不考虑统计特性的估计方法。这是与最大似然法所不同的。如观测列是服从正态分布的随机变量，则最小二乘法与最大似然法估计的结果是完全一致的。因为观测值子样Li与相应的正态分布母体Li*同分布，Li的密度函数为最大似然函数按照最大似然估计的要求，应取的合适估值，使得G（lnG）最大，则 =min即 =min（，P为L的权阵）这就是用最大似然法得到的正态问题的最小二乘原则，也是平差估值的基本原则。最大似然法所求的估值称为最大似然植、最或然值；平差是采用最小二乘原理进行的，所求的估值也称为最或然值，平差值也就是最或然值。4.4 平差原则和任务平差的原则：（1） 估计的无偏性、有效性、一致性；（2） 最大概率原则；（3） 最小二乘法则。平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验，按一定的准则最小二乘原理，求出数学模型中待定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。至此已给出了平差的基本方程，剩下的问题是：根据最小二乘原理，由条件方程（条件平差）或误差方程（间接平差）建立法方程，利用线性代数知识求解法方程，从而得到被观测量的最或然估值（平差值）或所选未知数的估值。第五章 条件平差5.1 条件平差原理条件平差：以条件方程的形式来建立函数模型，根据最小二乘原理解一组条件方程的极值问题（拉格朗日乘数法）从而获取观测量的最佳估值的平差方法。1、在平差问题中，有n个观测值L，其协方差阵为 span style=mso-ignore:vglayout;z-index:1;margin-left:0px;margin-top:0px;width:29px;height:23px 。由于存在 r=n-t个多余观测，就使存在r个限制条件，由此组成r个条件方程： 现在要求（的估值）令（即在L的基础上加改正数获得平差值）有 但r个条件不能直接求取n个平差值 2、利用最小二乘原理可以确定的最优估值，这就是求条件极值问题 的极值（引入系数K） 求偏导 得极值点（利用 ）3、将V代入条件方程AV+W=0 得 4、5、5.1 条件方程立列一、测角网条件方程图形条件（内角和条件）圆周条件（水平条件）极条件（边长条件）是通过角度平差值推算边长平差值的条件方程。极条件分三种情况：中点多边形、大地四边形、其他混合图形（习题5-2-24）关键是找到推算边，使推算边可通过角度传算至本条边。二、测边网条件方程多于观测少，只有图形条件。可按角度闭合法、边长闭合法、面积闭合法列图形条件。角度闭合法是先按余弦定理建立用边长改正数表示的角度改正数关系式，然后按角度关系立列角度改正数条件方程，最后角度改正数关