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双曲线中焦点三角形的探索基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c，另两边的差的约对值为定值2a。2：该三角形中由余弦定理得结合定义，有性质一、设若双曲线方程为（0，0），F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：若则；特别地，当时，有。证明：记，由双曲线的定义得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.特别地，当时，1，所以同理可证，在双曲线（0，0）中，公式仍然成立.例4 若P是双曲线上的一点，、是其焦点，且，求的面积.解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：400从而解法二：在双曲线中，而考题欣赏（2010全国卷1理）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，P=，则P到x轴的距离为(A) (B) (C) (D) 【答案】 B（2010全国卷1文）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cosP=4【解析2】由焦点三角形面积公式得： 4性质一推论：在双曲线（0，0）中，左右焦点分别为、，当点P是双曲线左支上任意一点，若，则.特别地，当时，有。当点P是双曲线右支上任意一点，若（双曲线渐近线的倾斜角），则证明：i、当P为左支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在中，由余弦定理得： 代入得求得。得证特别地，当时，ii、当P为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在中，由余弦定理得： 代入得求得。得证例5 （1） 若P是双曲线左支上的一点，、是其焦点，且，求的面积.（2）若P是双曲线右支上的一点，、是其焦点，且，求的面积.（1）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在中，由余弦定理得：解得： 解法二：在双曲线中，而（2）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在中，由余弦定理得：解得： 解法二：在双曲线中，而性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中，当点P在双曲线右支上时
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