2026年高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质（讲义）原卷版

专题4.4三角函数的图象与性质（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1三角函数图象的识别及应用】.................................................................3

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】............................................................4

【胭型3根据三角函数的值域（最值）求参数】........................................................5

【题型4三角函数的奇偶性与对称性问题】............................................................5

【题型5三角函数的周期性问题】.....................................................................6

【题型6求三角函数的单调区间、比较大小】..........................................................6

【题型7根据三角函数的单调性求参数】...............................................................7

【题型8三角函数的零点问题】.......................................................................7

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】..........................................................8

1、三角函数的图象与性质

考点要求真题统计考情分析

2023年新课标I卷：第15题，5三角函数的图象与性质是高考的

（1）能画出三角函数的图象

分重点、热点内容，其中三角函数的周

（2）了解三角函数的周期性、

2023年天津卷：第6题，5分期性、对称性、奇偶性与单调性之间

奇偶性、最大（小）值

2024年新课标I卷：笫7题，5分的关系则是高考考察的重心.从近几年

⑶借助图象理解正弦函数、

2024年新课标H卷：第9题，6分的高考情况来看，比较注重对三角函

余弦函数在［0,2扪上的性2024年全国甲卷（文数）：第13数的几大性质之间的逻辑关系的考

题，5分查，试题多以选择题、填空题的形式

质及正切函数在（-三仁）

2025年全国一卷：第4题，5分呈现，有时也会在解答题中考查，难

2025年全国二卷：第15题，13分度中等或偏下，复习时要加强这方面

上的性质

2025年北京卷：第8题，5分的训练.

知识梳理

知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组）,解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

（1）形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为产Asin（Gx+8）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sin.t=r,化为关于t的二次函数求值域（最值）：

（3）形如y=asin.vcos.v+Z＞（sinricosx）+c的三角函数，可先设sinvicosx,化为关于t的二次函数求值域（最值）.

知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法;

(2)不能用公式求函数的周期时•，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为/U)=4sin(3r+°)(或yU)=Acos(sx+*))形式的函数，如果求/(幻的对称轴，只需令cox+(p=

5+H(〃£Z)(或令公什夕二七t(欠金Z)),求x即口丁：如果求./(工)的对称中心的横坐标，只需令3+夕=府(Zr・Z)

(或令cox+(p=y+E(女£Z)),求x即可.

k%

(2)对于可化为/(x)=4an((yx+3)形式的函数，如果求fix)的对称中心的横坐标，只需令cox+(p=伏£Z)),

求I即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在尸Asin(3+3)中代入x=0,若产0

则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

若产Asin(①x+o)为奇函数，则(p=E(kGZ)；若产Asin(cox+8)为偶函数，则。=，+E(&£Z).

知识点3三角函数的单调性问题的解题策略

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成尸4sin(s+0形式，再求产4sin(5+o)的单调区间，只需

把西+W看作一个整体代入尸SilU的相应单调区间内即可，注意要先把69化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某•部分确定参数/的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的子集,其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，

利用特值验证排除法求解更为简捷.

【方法技巧与总结】

1.对称性与周期性

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是!个周期，相邻的对称中心与对称轴

之间的距离是5个周期.

(2)王切曲线相邻两对称中心之间的距离是1个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

⑴若)=4sin(wx+e)为偶函数，则3=4乃+女WZ)；若为奇函数，则尹=也(左WZ).

⑵若产Acos(sx+p)为偶函数，则夕二E(%£Z)；若为奇函数，则？=〃兀+^(%£Z).

⑶若y=4an（s+夕）为奇函数，则%E（A£Z）.

举一反三

【题型1三角函数图象的识别及应用】

【例1】（2025・甘肃白银•模拟预测）函数/"（%）=siniT%+空+/—X的图象大致为（）

【变式1-2】（2025•贵州黔东南•模拟预测）函数/（无）=箸+而、的大致图象为（）

A.B.

【变式1-3]（2025・四川•一模）函数/"（%）=)

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】

【例2】（2024.广东湛江.二模）戌数/（%）=4$E（5%-5在[0局上的值域为（）

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2V3,4]D.[-2>/3,2]

【变式2-1]（24-25高一下•北京海淀•期中）函数y=tan（%+：）的定义域为（）

A.{%卜€R,%工手+/nr,k6z}B.卜无6R,xH：+/or,k€Z}

C.工手+2kn,k£z}D.{小WR,xW；+与,kWZ}

【变式2-2]（2025•山西・模拟预测）设函数/（x）=sin2x在区间陷用的最小值和最大值分别为771和M,则M-

771=（）

A.2B.3C.丑D.U

222

【变式2-3]（2025・河南•三模）函数/（幻=2$皿2%+8）（0<9<9的图象关于直线》=总对称，则f（x）在

上的最小值为（）

A.-2B.-V3C.-1D.-V2

【题型3根据三角函数的值域（最值）求参数】

【例3】（2025•陕西安康・模拟预测）已知函数/（x）=285卜％+9在区间［0,0上的值域为［-2,网，则Q的

取值范围为（）

A・瞪用B.塔芳］C.售券D.珞”］

【变式3-1］（24-25高三上山西期末）已知函数/"（刈=5皿（3%+匀3>0）在区间［0（）内有最大值，但无

最小值，则3的取值范围是（）

A-（消B.（消C.职］D.（羽

【变式3-2］（2024•河南郑州•一模）已知函数/⑶=2sin（sr-33>0）在［。段上的值域为［—1,2］,则3的

取信范围为（）

A-［?2］B.居c-［H］D.岗］

【变式3-3］（2025•上海闵行•二模）已知函数y=cosgx+f在区间［a,a+9］上既有最大值1又有最小值一1,

则关于实数Q的取值，以下不可能的是（）

A.2024B.2025C.2026D.2027

【题型4三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例4】（2025•河北保定•模拟预测）已知函数/（x）=sin3（x+TT）为奇函数且3>0,则/*（n）=（）

A.0B.1C.-1D.±1

【变式4-1］（2025•全国一卷•高考真题）若点（a,0）（。>0）是函数y=2tan［一§的图像的一个对称中心，

则。的最小值为（）

A.□B.巳C.D.f

6323

【变式4-2］（2025.内蒙古通辽•三模）己知函数/（%）=53［2。+卬）+,+1是偶函数，则㈤的最小值是

（）

A.三B.2C.-D.里

126312

【变式4-3］（2025・山东烟台•三模）若函数/（幻=sin（3x+］（0<<2）图象的一个对称中心为0）,

则3的值为（）

235

A.-B.-C.1D.-

343

【题型5三角函数的周期性问题】

【例5】(2025・天津红桥•模拟预测)函数/(x)=sin(2x),x£R的最小正周期是()

A.2nB.TTC.-D.-

24

【变式5-1](2025重庆•三模)已知函数/'(%)=sin(sr+33>0)在[0,2n)上恰有2个零点，则f(%)的最

小正周期的最小值为()

A.gB.nC.yD.当

【变式5-2](2025•宁夏内蒙古•模拟预测)函数/a)=cosG+》的最小正周期是()

A.-B.-C.11D.2TT

42

【变式5-3](2025.重庆・模拟预测)若函数/'(%)=3(2"+百(侬>0)的最小正周期为5则e=()

A.-B.3C.-D.3n

33

【题型6求三角函数的单调区间、比较大小】

【例6】(2025•广东深圳•二模)奇函数/"a)=2cos(2x+0)(Ov@V7r)的单调减区间可以是()

A-[-7^]B.[心，臼C.[0,引D.玲引

【变式6-1](2025•天津南开•二模)函数/(幻=加/(3+心(3>0,0<8<9的部分图象如图所示，则

A，［k71-患,kn+总,k6ZB.恢弘一工,2/cn+意,/cEZ

C.［/CTF—kiT+：,kGZD.^2/CTT—］，2/cir+3］,k£Z

【变式6-2］（2025•辽宁・模拟预测）已知。=嘤/=J-,c=sin券则a,b,c的大小关系为（）

lno.42gi.se24

A.a>b>cB.c>a>h

C.c>b>aD.a>c>b

【变式6-3]（2025•黑龙江吉林•模拟预测）已知g为曲线y=cosx与y=sin（2x+w）（0<<p<TT）的一个交点

«5

的横坐标，则函数/（%）=sin（2%+w）的一个单调增区间为（）

A・卜黑B.将用C.卜/D.E*]

【题型7根据三角函数的单调性求参数】

【例7】（2025•四川泸州•模拟预测）已知函数/（幻=5也（5：-9（幻>0）的图象关于点得,0）对称，且在（0,9

上为增函数，则3的值为（）

A.-B.1C.-D.2

22

【变式7-1]（2025•江苏苏州•模拟预测）已知函数/'（x）=sin（3%+3）（3>0,|如V》，f（一》=0,%=：为

f（x）图象的对称轴，且/'（%）在珞，当上单调，则口的最大值为（）

1836

A.11B.9C.7D.5

【变式7-2]（2024•陕西铜川.模拟预测）已知函数f（%）=sinsr-V5cos3%（3>0）,设甲:函数f（%）在区间

（一,9上单调递增，乙：口的取值范围是（0,3,则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式7-3]（2025•黑龙江•模拟预测）函数/（x）=275cos（3X-•costox-2sin2wx+1图象如图所示，

【题型8三角函数的零点问题】

[例8](2025•北京•高考真题)设函数/'(%)=sincox+coscox((o>0),若f(x+n)=/(%)恒成立，且/'(")在

［o,口上存在零点，则3的最小值为（）

A.8B.6C.4D.3

【变式8-1］（2024.湖南.模拟预测）已知函数/（%）=3（3%+?在（0*）上单调递减且其最小正周期为死

则函数/（%）的一个零点为（）

A.-B.-C.-D.—

4828

【变式8-2］（2025•青海西宁•模拟预测）设函数/•（%）=5而（3%-9（3>0）,若/'⑴在（0理上有且只有2

个零点，则3的取值范围是（）

【变式8-3］（2025•四川绵阳•模拟预测）函数/（幻=sin（3X+/）（3>0且@GR在（^,g）上单调，且/值）+

/得）=0,若/（%）在管m）上恰有2个零点，则3的取值最准确的范围是（）

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】

［例9］（2025•天津•模拟预测）已知函数/（%）=2sin（eox-§⑷>0）和,。（%）=3cos（2x+租）+1（|如<

的图象的对称轴完全相同，令h（x）=sin（3X-租），则下列结论错误的是（）

A.丛幻的一个周期为-2nB.似无）的图象关于直线工=,对称

C.九（乃+n）的一个零点为％：D.九（均在单调递减

【变式9-1］（2025•天津北辰•三模）记max{a,b}为a,b中的较大值，则关于函数/（%）=max{sinx+

\/3cosx,sinx—VScosx}有如下四个命题：

①/（%）的最小正周期为2n；

②/（幻的图象关于直线x=等对称；

③“力的值域为「?？］；

④/（外在区间弓,小上单调递增.

其中真命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式9-2］（24-25高一下•辽宁抚颐期中）已知函数f（x）=2sin（3x+Q）（3>0,0<@<以的最小正周期

为冗，且f（x）的图象关于直线％=：对称.

⑴求/'（%）的解析式；

⑵求/（%）的单调递减区间；

⑶求/（%）在［-??］上的值域.

【变式9-3］（2024・广东佛山•一模）记7为函数f（x）=sinQjx+°）的最小正周期，其中3>0,0V*V口,

且/（0）=印直线'=壹7为曲线y=f（%）的对称轴.

⑴求@；

（2）若/（外在区间［n,2n］上的值域为卜1,?］,求/（幻的解析式.

:过关测试:

一、单选题

1.（2025.甘肃酒泉.模拟预测）函数y=3tangV）的最小正周期是（）

A.2TTB.6TTC.4nD-i

2.（2025・河北•模拟预测）函数y=cosx+Ex的部分图象大致为（）

3.（2025•山东青岛•三模）已知函数/'（%）=sin（wt+f+b的图象关于点2）中心对称，M/（2ir）=（）

A.UB.1C.2D.3

4.（2025・湖南邵阳•三模）下列区间中，函数八%）=31211（-2%+9单调递减的区间是（）

'•（-号）B.（-K）C.D.（0.TT）

5.（2025•海南•模拟预测）函数/'（%）=COSQJX+w）（3>0,；<><岑），若/（%）的一个单调递增区间为

且/X0）=-下面说法正确的是（）

JJ4

.n2n

A.o）=KB.0=一

C.f(%)在(0,n)上有2个零点D.Z(-l)=-1

6.(2025・辽宁•模拟预测)设3>0,已知函数f(x)=sin3sinx)在区间(0m)内恰有2025个零点，则3=()

A.1010nB.1011KC.1012nD.1013n

7.（2025・湖北黄冈•模拟预测）已知函数/（外=3cos（sr+以（/>0）的最小正周期为与，则/3在卜沅］

上的最大值为（）

A-B禺C,2D,3

8.（2025•江西新余•模拟预测）已知函数/（x）=sin（n-cos%）,则下列结论不正确的是（）

A.f（x）是偶函数B./（%）的单调递增区间为［2/nr—TT,2kE（kWZ）

C./（%）是周期为IT的周期函数D./（%）的图象关于点（；,0）对称

二、多选题

9.（2025・福建福州•模拟预测）己知函数f（x）=cos（2x+e）（0V0<口）的图象关于点（一：,0）中心对称，

则（）

A./（为在区间（一，0）上单调递增

B.外外在区间（一屋）上的最大值为1

C.直线无=m是曲线y=f(%)的对称轴

D.当％SO时，函数y=-：X+1的图象恒在函数/(x)的图象上方

10.(2025・四川巴中・二模)已知函数/(%)=cos(sr+9(e>0)在区间在区间［0,IT］上有且仅有3条对称轴,

给出下列四个结论，正确的是()

A.外幻在区间(0,n)上有且仅有2个不同的零点；

B./(幻的最小正周期可能是4；

C.3的取值范围是冷分

D.八幻在区间(0*)上单调递增

11.(2025•广西南宇•模拟预测)已知函数/(%)=sin2x|sin