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第七章 光线的光路计算及象差理论 实际光学系统与理想光学系统 有很大差异,即物空间的一个物点 的光线经过实际光学系统后,不在 会聚于像空间一点,而是一个弥散 斑,弥散斑的大小与系统的像差有 关.本章介绍实际光学系统的单色 像差与色差的基本概念,产生这些 像差的原因及像差的矫正方法. 光线的光路计算及象差理论 n内容：实际光学系统中的单色像差,包括球 差、慧差、像散、场曲、畸变、复色差产生 的原因及矫正方法，光线光路的计算方法。 n要求：掌握光线光路的计算方法、各种像差 的概念。掌握像差产生的原因及矫正方法。 n重点：掌握像差产生的原因及矫正方法。 n难点：正弦差（慧差）。 7-1 概述 一.基本概念 1 实际光学系统产生象差的原因 象差：实际象与理想象之间的差异称为象差。 实际光学系统中都具有一定的视场和孔径，不 同的孔径其成象位置不同，因而具有不同的放大率 。子午面和弧矢面光束成象的性质也有差异。这些 因素引起单色象差。 同一光学介质对于不同的波长光，其成象的大小 和位置也不同，这就会引起复色象差。 基于波动光学，由于衍射的存在，物点所成象为 一个复杂的艾里斑，即一个球面波成象后不再是一 个球面波。这两者的差被称为波象差，简称波差。 2.象差的种类 基于几何光学 单色差 复色差 球差、彗差、象散 场曲、畸变 位置色差 倍率 基于物理光学： 波象差 7-1 概述 3. 象差校正： 光学器件中除平面反射镜外，大部 分存在这样那样的象差。解决光学系统中 的象差大小的问题称为象差校正，也称为 消象差。 象差的存在与校正是一个相对的问 题，只要能校正到某一个公差范围内即可 。 7-1 概述 7-1 概述 二、象差计算的谱线选择 1、原则 单色象差：选择接收器最灵敏的谱线。 复色象差：选择接收器能接收的波段范围的两边缘附 近的谱线校正。 7-1 概述 n2、 目视光学仪器 n 人眼为接收器，波长范围是380760nm，灵敏 波长是=555nm。所以，一般选择D光（=589.3nm ）和e光（=546.1nm）校正光学单色象差。用F光（ =486.1nm）和C光（=656.3nm）校正色差。 n3、 普通照相系统 n 照相底片为接收器，胶片对蓝光较灵敏，所以用 F光校正单色象差。D光和G光（=434.1nm）校正色 差。 7-1 概述 n4 近红外和近紫外光学系统 n 近红外用C光（=656.3nm）校正单色象差， 用d光（=587.6nm）和A光（=768.2nm）校正 色差。 n 近紫外用 i 光（=365.0nm）校正单色象差 =257nm和h光（=404.7nm）校正色差。 n5 特殊光学系统 n如激光光学体统可以不用考虑色差。 7-2光线的光路计算 n一般为了表征象差，只计算下列有特征意义的光线 n1 子午面内的光线光路计算 n主要有近轴光线和实际光线，从而确定两者的差。 n2 轴外点沿主光线的细光束光路计算，以确定场 曲和象散。 n3 子午面外的空间光路，求得空间光线的子午象 差分量和弧矢象差分量。 7-2光线的光路计算 n（一） 近轴光线的光路计算 n1 轴上点近轴光线（第一近轴光线） n利用单个折射球近轴光路公式： ni= ni=n nu=uii nl= +r 7-2光线的光路计算 n利用转面公式： nlk=lk-1dk-1 nuk=uk-1 nnk=nk-1 n及校验公式 nh=lu=lu nnuy=nuy=J (拉赫公式) n以上公式可以计算出象点位置l和系统各基点的位置，若要计算系 统的焦点位置可以另l1=，u1=0，最后求出lk即为系统焦点位置， 系统焦距为： nf= 7-2光线的光路计算 n2.轴外点近轴光路的计算（第二近轴光线） n由物体边缘发出，并通过入射光瞳中心的近轴光线 称为第二近轴光线，实际上是把主光线按近轴光线 法进行计算。所以，其计算公式就是轴上点近轴公 式，只是各量均注以下标Z。一般要计算五个视场 物点。 n其中lz为入瞳面到第一面的距离， uz由下式求得： nuz= 最后通过近轴光路公式计算求得理想象高为 nyK=(lKzlK)uzK 7-2光线的光路计算 - 7-2光线的光路计算 n(二) 远轴光线的光路计算 n1 轴上点远轴光线的光路计算 n已知： L1 , sinU1 利用公式 nsinI= nsinI= nU=UII nL=r 7-2光线的光路计算 n转面公式 nLk=Lk-1dk-1 nUk=Uk-1 nnk=nk-1 n校对公式 nL=PA n n最后求出lk、Uk，而可以确定不同孔径下成象的位 置及象点弥散情况。 7-2光线的光路计算 n2 轴外点远轴光线的光路计算 n由于主光线不是光学系统的对称轴，所以要同 时考虑上、下、主三条光线。 n对于物体在无穷远处时，若视场角为，入瞳 半径为h，入瞳距为LZ，则有三条光线初始数 据： n上 Ua=Uz La=Lzh/tgUz n主 Uz= Lz n下 Ub=Uz Lb=Lzh/tgUz n见P96图6-2a 7-2光线的光路计算 7-2光线的光路计算 n对于物体在有限距离，物距为L，物高为- y，入瞳 半径为h，则三条光线的初始数据为： n上： tgUa=(yh)/(LzL) ， La=Lzh/tgUa n主： tgUz=y/(LzL) ， Lz n下： tgUb=(yh)/(LzL) Lb=Lzh/tgUb n见P96图-2b 7-2光线的光路计算 7-2光线的光路计算 n最后利用实际光线光路计算公式和转面公式逐面计 算最后得到实际的象高为： nya=(Lal)tgUa nyz=(Lzl)tgUz nyb=(Lbl)tgUb 7-2光线的光路计算 7-2光线的光路计算 n（三） 折射平面和反射面光路计算 n折射平面远轴 nI=U nsinI= sinI nU= I n nL=LtgU/tgU 7-2光线的光路计算 n近轴上光有 ni= u ni= nu=i nl=lu/u=ln/n n反射可以看成是n=n时的折射 7-2光线的光路计算 n二沿轴外点主光线细光束的光路计算 n可以通过子午面和弧矢面分别讨论轴外点细光束的 成象情况。一般经折射后失去对主光线的对称。 n其公式为： 杨氏公式 7-2光线的光路计算 n其中Iz、Iz为主光线的入射角和折射角 nt、t为沿主光线计算的子午物距和象距 ns、s为沿主光线计算的弧矢物距和象距 n初始数据t1=s1，当物为无穷远时t1=s1= n当物为有限距离时， n nt1=s1= n或 t1=s1= n n见P98 图6-3 7-2光线的光路计算 7-2光线的光路计算 n转面公式也是沿主光线进行计算的 ntk=tk-1Dk-1 nsk=sk-1Dk-1 nDk-1为相邻两折射面间沿主光线方向的间隔 nDk= nHk=rksin(UzkIzk) 7-3轴上点球差 n一、 球差的定义和表示方法 n轴上点以不同入射高度h(U)的光线交光轴于不同位 置，相对近轴象点（理想象点）的不同偏离称为轴 向球差，简称球差，用 表示 n由于球差的存在，在高斯象面上形成一个弥散斑该 斑的半径用T表示，称为垂轴球差。 nT=L tgU=(L-l)tgU 7-3轴上点球差 7-3轴上点球差 n对于球差总可以表示为 n L=A1h12A2h14A3h16 n 或L=a1U12a2U14A3U16 n其中第一项称为一级球差，第二项为二级球差，二级以上的 称为高级球差，一般高级球差可以忽略，而把球差表示为 nLA1h12+A2h14 nLa1U12+a2U14 n结论：初级球差与孔径的平方成正比。二级球差与孔径的 次方成正比。 7-3轴上点球差 n二、 球差的校正 n分析：对于正透镜其边缘的折射光线比靠近光轴的 光线偏折大，所以产生负球差。对于负透镜情况相 反，将产生正球差。 n结论：通过正、负透镜组合，可以消除部分孔径带 的球差。 7-3轴上点球差 n方法：通过使初级球差与高级球差相补偿将边缘带的球差校 正为零 n 即 Lm=A1hm2A2hm40 n设当hhm时Lm则有A1=A2hm2 n在边缘带球差矫正为零的情况下，可以求出球差最大点边光 带。 n通过LA1h2A2h4 求极值，并将A1=A2hm2带入得 nh=0.707hm代入L中得 n. - A2hm4/4 n上式说明，对于仅含初级和二级球差的光学系统，当边缘带 的球差为时，在.带有最大的球差，其值是边缘带 高级球差的四分之。 7-3轴上点球差 7-3轴上点球差 n 由球差分布的情况（P100式 6-18）可知，对于单 个折射球面有几个特殊物点位置，不产生球差： n L0 L0 即球面顶点。 n I0, 物点、象点位于球心，即LLr n IU IU 所对应的物点和象点 nL L= 上述三个点，称为不晕点或齐明点 7-4正弦差和彗差 n一、 正弦差 n如图所示，对于轴外点B，主光线已经不是系统对 称轴，对称轴是通过物点和球心的辅助轴。 n由于球差的存在，对于物方同心光束经光学系统后 ，在垂直方向不与主光线相交，即主光线失去了对 称性。正弦差即表示小视场时宽光束成象的不对称 性。 7-4正弦差和彗差 7-4正弦差和彗差 n由于近轴物点用宽光束成象时，球差总是存在的， 因此，只能要求其成象情况与轴上点相同，即只存 在球差。为此，光学系统要满足以下条件 n1 7-1 n其中lz为第二近轴光线计算的出瞳距 n为近轴区垂轴放大率 n这个条件称为等晕条件。它是轴上物点和近轴物点 具有同等成象缺陷的充分必要条件。在该条件下轴 外点与轴上点有同等的成象缺陷（即仅存在球差） 称为等晕成象。 7-4正弦差和彗差 7-4正弦差和彗差 n当物面位于无穷远时等晕条件公式为： n1- 7-2 n若轴上点球差L等于零L，则有 n n l n n n l n 这就是正弦条件，它是轴上点成完善象时近轴物点或垂 轴小面积也成完善象的充要条件。满足该条件的一对共轭点 称为齐明点（不晕点） 7-4正弦差和彗差 n若系统不满足等晕条件，公式7，7等式两端的差值 用SC表示，这个差值称为正弦差。 nSC= n物体在无穷远时有： nSC= n由上面公式可知，计算正弦差时可利用球差计算中的孔径光 线参量，再计算一条第二近轴光线，便能从轴上物点计算中 确定正弦差的大小。 7-4正弦差和彗差 n讨论 n. 正弦差只与孔径有关而与视场无关，故其级 数展开为：C=A1h12A2h14A3h16 n 初级正弦差 二级正弦差 三级正弦差 n2.正弦差与光阑位置有关，所以可通过调整光阑位 置改变正弦差。 n3以下几处无正弦差 n iz=0 光阑在球面的曲率中心 n l=0 物面在球面顶点 n i=i 物点在球面曲率中心 n iu 物点在L= 处 7-4正弦差和彗差 n彗差 n彗差是针对任何视场大小宽光束成象而言的，其产 生原因也是由于球面的折射作用，当轴外点B发出 的成象光束经球面折射后不同孔径光线的会聚点相 对主光线的偏离不同，该偏离值定义为彗差。其成 象是一些远离主光线的不同圆环。 n子午彗差： 子午面内不同孔径光线会聚点相对主 光线的偏离值KT n弧矢彗差： 弧矢面内不同孔径光线会聚点相对主 光线的偏离值Ks 7-4正弦差和彗差 7-4正弦差和彗差 7-4正弦差和彗差 nKT= n其中： nya 上光线在高斯面上的交点高度 yb 下光线在高斯面上的交点高度 nyz 主光线在高斯面上的交点高度 nKs= ys yz n其中ys 弧矢面内两条光线在高斯面上交点的高度 7-5象散和场曲 n一、 场曲与轴外球差 n同一视场不同孔径的光线的交点不仅在垂直 于光轴方向偏离主光线，而且在沿光轴方向 也和高斯象面有偏离。 n 子午场曲定义 n子午宽光束的交点沿光轴方向偏离高斯象面 的距离XT称为宽光束的子午场曲 n子午细光束的交点沿光轴方向偏离高斯象面 的距离xt被称为细光束的子午场曲 7-5象散和场曲 n2 轴外子午球差定义 nLT=XT-xt n3 弧矢面场曲定义 n弧矢宽光束交点沿光轴方向到高斯象面的距 离Xs称为宽光束弧矢场曲。 n弧矢细光束的交点沿光轴方向到高斯象面的 距离xs称为细光束弧矢场曲。同理 nLs=Xs-xs称为轴外点弧矢球差. 7-5象散和场曲 n4 子午象面 n由子午象点构成的象面称为子午象面 n5 弧矢象面 n由弧矢象点构成的象面称为弧矢象面 n6 细光束子午场曲和弧矢场曲的计算公式 ： nXt=ltl=tcosUzl nXs=ls-l=scosUzl 7-5象散和场曲 7-5象散和场曲 n说明： 细光束的场曲与孔径无关，只是视场的函 数，当视场角为零时，不存在场曲，所以有 nXt(s)=A1y2A2y4A3y6 n初级 二级 三级 7-5象散和场曲 n二象散 n 定义：由于子午象点和弧矢象点不重合，两 者的轴向分开距离称为象散，用Xts表示 n xts=xtxs=(t-s)cosUz n 子午焦线和弧矢焦线 n 当存在象散时不同象面位置会得到不同形状的 物点象，在子午象点T处得到一垂直于子午面的短 线称为子午焦线；在弧矢象点S处，得到一垂直于 弧矢平面的短线称为弧矢焦线。在子午焦线和弧矢 焦线中间物点的象是一个圆斑，其他位置是椭圆形 弥散斑。 7-5象散和场曲 7-5象散和场曲 n3 宽光束象散定义 nXTs=XTXs n4 象散和场曲的关系 n象散和场曲是两个不同的概念，两者既有联系也有 区别，象散的存在，必然引起象面弯曲；反之，即 使象散为零，子午象面和弧矢象面重合在一起，象 面也不是平面，而是相切于高斯象面中心的二次抛 物面。 n 7-6畸变 n在理想光组成象理论中，认为在一对共轭的物象平面上，其 放大倍率是一常数，但是在实际光组中，由于球差的存在， 不同视场的主光线经光学系统后与高斯象面的交点高度yz不 等于理想高y，其差别就是系统的畸变，用y表示 ny=yzy n也常用相对畸变q来表示 nq= n 其中 为某视场的实际垂轴放大倍率。 n 为光学系统的理想垂直轴放大倍率。 7-6畸变 7-6畸变 n畸变后的成象见书P108图-其中a图为负畸变，b图为正 畸变。 n畸变仅与物高y有关，随y的符号改变而改变，故在其 展开式 中只有y的奇次项。 ny=A1y3+A2y5+ n校正方法： n . 采用孔径光阑完全对称的结构。 n2 . 孔径光阑与薄透镜组的主平面重合。 7-7色差 n一、位置色差，色球差 n由于不同波长的光对同一光学材料，其折射 率不同，所以同一孔径不同波长的光经光学 系统后与光轴有不同的交点。其中波长较短 的光交光轴于球面较近的地方，波长较长的 光交光轴于球面较远的地方。 7-7色差 n各种波长光之间成象位置和成象大小的差异称为色 差。其中轴上点两种色光成象位置的差异称为位置 色差。也叫轴向色差。 n对目视仪器有 n LFC=LF-LC n 近轴区有 n lFC=lFlC n图6-14为对0.707带的光线校正色差后的色差曲线 7-7色差 7-7色差 n色球差定义： n经色差在0.707带校正后其边缘色差LFC和近轴色 差lFC仍然存在，两者之差称为色球差L