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1 第一章实数集与函数第一章实数集与函数 11 实数实数 授课章节：授课章节：第一章实数集与函数1 实数 教学目的教学目的：使学生掌握实数的基本性质 教学重点教学重点： (1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等 式 （它们是分析论证的重要工具） 教学难点教学难点：实数集的概念及其应用 教学方法教学方法：讲授 （部分内容自学） 教学程序教学程序： 引引 言言 上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研 究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺 序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实 数和函数开始 问题问题 为什么从“实数”开始 答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数” 是定义在“实数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复 数集上的函数） 为此，我们要先了解一下实数的有关性质 一、实数及其性质一、实数及其性质 2 1 1、实数、实数 ( , q p q p 有理数: 任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示， 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. 无理数: 用无限十进不循环小数表示. |Rx x一一一-一一一一一一一 问题问题 有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利 的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表 示为“无限小数” 为此作如下规定： 对于正有限小数其中 012 ., n xa a aa ，记； 0 09,1,2, ,0, in ain aa为非负整数 011 .(1)9999 nn xa aaa 对于正整数则记；对于负有限小数（包括 0, xa 0 (1).9999xa 负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加yy 负号0 表示为 00.0000 例： ；2.0012.0009999 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表 示在此规定下，如何比较实数的大小？ 2 2、两实数大小的比较、两实数大小的比较 1）定义定义 1 1 给定两个非负实数，. 其 01 . n xa aa 01 . n yb bb 中为非负整数，为整数，若有 00 ,a b, kk a b(1,2,)k 09,09 kk ab 32.9999 2.0012.009999 32.9999 ； ； 3 ，则称 与相等，记为；若或存在非负,0,1,2, kk abkxyxy 00 ab 整数 ，使得，而，则称 大于或小于l,0,1,2, kk abkl 11ll ab xyy ，分别记为或对于负实数 、，若按上述规定分别有xxyyxxy 或，则分别称为与（或） xy xy xyxyyx 规定规定：任何非负实数大于任何负实数 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义定义 2 2（不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似）：为非负实数，称 01 . n xa aa 有理数为实数 的 位不足近似位不足近似；称为实数 01 . nn xa aaxn 1 10 nn n xx 的 位过剩近似位过剩近似，.xn0,1,2,n 对于负实数，其 位不足近似； 01 . n xa aa n 01 1 . 10 nn n xa aa 位过剩近似.n 01 . nn xa aa 注：实数 的不足近似当 增大时不减，即有； x n xn 012 xxx 过剩近似当 n 增大时不增，即有 n x 012 xxx 命题命题：记，为两个实数，则的等 01 . n xa aa 01 . n yb bbxy 价条件是：存在非负整数 n，使（其中为 的 位不足近似， nn xy n xxn 为的 位过剩近似） n yyn 命题应用命题应用 例例 1 1设为实数，证明存在有理数 ，满, x yxy r 足xry 证明：由，知：存在非负整数 n，使得令xy nn xy ，则 r 为有理数，且 1 2 nn rxy 即 nn xxryyxry 4 3 3、实数常用性质、实数常用性质（详见附录） 289302 PP 1 1）封闭性）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的即任意两R, , , 个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数 2 2）有序性）有序性：，关系，三者必居其一，也, a bR,ab ab ab 只居其一. 3 3）传递性）传递性：，abcR，,ab bcac若，则 4 4）阿基米德性）阿基米德性：使得,0a bR banN nab 5 5）稠密性）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数 6 6）一一对应关系）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系R 例例 2 2设，证明：若对任何正数 ，有，, a bRab 则ab （提示：反证法利用“有序性” ，取）ab 二、绝对值与不等式二、绝对值与不等式 1 1、绝对值的定义、绝对值的定义 实数 的绝对值的定义为a ,0 | 0 aa a aa 2 2、几何意义、几何意义 从数轴看，数 的绝对值就是点 到原点的距离表示a|aa|xa 就是数轴上点 与 之间的距离xa 3 3、性质、性质 1）（非负性） ； | | 0;| 00aaaa 2）；|aaa 5 3），；|ahhah |.(0)ahhah h 4）对任何有（三角不等式） ；, a bR| | |ababab 5）； | | |abab 6）（） | | aa bb 0b 三、几个重要不等式三、几个重要不等式 1 1、 ,2 22 abba. 1 sin x. sin xx 2 2、均值不等式:对记, 21 R n aaa (算术平均值), 1 )( 1 21 n i i n i a nn aaa aM (几何平均值),)( 1 1 21 n n i i n ni aaaaaG (调和平均值). 111 1 111 )( 1121 n i i n i i n i a n anaaa n aH 有平均值不等式:即：),( )( )( iii aMaGaH 12 12 12 111 n n n n aaan a aa n aaa 等号当且仅当时成立. n aaa 21 3 3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式, 1x(1)1, . n xnxn N 当且,且时,有严格不等式1x0xNn2n.1)1 (nxx n 证：由且01 x111)1 (1)1 ( , 01 nn xnxx ).1 ( )1 ( xnxn n n .1)1 ( nxx n 4 4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式, 0h 6 , ! 3 )2)(1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 32nn hh nnn h nn nhh 有 上式右端任何一项. n h)1 ( 练习练习P45 课堂小结课堂小结：实数：. 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 作业作业P41(1)，2(2)、(3)，3 22 数集和确界原理数集和确界原理 授课章节：授课章节：第一章实数集与函数2 数集和确界原理 教学目的教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：教学要求： (1)掌握邻域的概念； (2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正 确地加以运用. 教学重点教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法教学方法：讲授为主. 教学程序教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果， 此后导入新课. 引引 言言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后 又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一 7 下自学的效果如何！ 1、证明：对任何有：(1)；(2) xR|1|2| 1xx .|1|2|3| 2xxx （）111 (2)12 ,121xxxxx （） （）2121,231,232.xxxxxx （）三式相加化简即可 2、证明：.|xyxy 3、设，证明：若对任何正数 有，则., a bRabab 4、设，证明：存在有理数 满足.,x yR xyryrx 引申引申 ：由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科 研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体 问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出 “大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理 有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以 加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语 和工具. 本节主要内容本节主要内容： 1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集区间与邻域； 2、讨论有界集与无界集； 3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）. 一一 、区间与邻域、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 8 设且.，其中, a bRab 有限区间 区间 无限区间 |( , ) | , | , ) |( , xR axba b xR axba b xR axba b xR axba b 开区间: 闭区间: 有限区间 闭开区间: 半开半闭区间 开闭区间: | ,). |(, . |( ,). |(, ). |. xR xaa xR xaa xR xaa xR xaa xRxR 无限区间 2、邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与 邻近的“区a 域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 的对称区间” ；如何用数学语言来表达呢？a （1） 的的邻域邻域：设，满足不等式的全体实a,0aR|xa 数 的集合称为点 的邻域，记作，或简记为，即xa( ; )U a( )U a .( ; )|(,)U ax xaaa 其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径. （2）点点 的空心的空心邻域邻域a .( ; )0 |(, )( ,)( ) oo Uaxxaaaa aUa （3） 的的右邻域和点右邻域和点 的空心的空心右邻域右邻域aa 00 ( ; ) ,)( ); ( ; )( ,)( ). Uaa aUax axa Uaa aUax axa （4）点点 的的左邻域和点左邻域和点 的空心的空心左邻域左邻域aa 9 00 ( ; )(, ( ); ( ; )(, )( ). UaaaUax axa UaaaUax axa （5）邻域，邻域，邻域，邻域，邻域邻域 （其中 M 为充分大的正数） ；( )|,Ux xM (),Ux xM ()Ux xM 二二 、有界集与无界集、有界集与无界集 1 1、定义定义 1 1（上、下界上、下界）：设为中的一个数集.若存在数SR ，使得一切都有，则称 S 为有上（下）界( )M LxS()xM xL 的数集.数称为 S 的上界（下界） ；若数集 S 既有上界，又( )M L 有下界，则称 S 为有界集. 闭区间、开区间为有限数） 、邻域等都是有界数集，, a bbaba,( ),( 集合 也是有界数集.) , ( ,sin xxyyE 若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集. 等都是无界数集, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 集合 也是无界数集. ) 1 , 0 ( , 1 x x yyE 注注：1）上（下）界若存在，不唯一； 2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例： 例例 1 1 讨论数集的有界性.|Nn n 为正整数 解：任取，显然有，所以有下界 1； 0 nN 0 1n N 但无上界.因为假设有上界 M,则 M0，按定义，对任意NN 10 ，都有，这是不可能的，如取 0 nN 0 nM 则，且. 0 1nMMM（符号表示不超过的最大整数）， 0 nN 0 nM 综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集.N 例例 2 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都 是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集. 问题问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答： 不唯一 ，有无穷多个). 三三 、确界与确界原理、确界与确界原理 1、定义 定义定义 2 2（上确界（上确界） 设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足：(1) 对一切有（即 是 S 的上界）; (2) 对任何，存在,xSx ，使得（即 是 S 的上界中最小的一个） ，则称数 为数集 0 xS 0 x S 的上确界上确界，记作sup .S 从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者上确界就是上界中的最小者. . 命题命题 1 1 充要条件supME 1）；,xE xM 2）. 00 ,oxSxM 使得 证明：证明：必要性，用反证法.设 2）不成立，则 ，与M是上界中最小的一个矛盾. 0 0, o xExM 使得均有 充分性（用反证法） ，设M不是E的上确界，即是上界，但 0 M .令，由 2） ，使得，与 0 MM 0 0MM 0 xE 00 xMM 是E的上界矛盾. 0 M 定义定义 3 3（下确界（下确界）设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足：（1） 对一切有（即 是 S 的下界） ；（2）对任何，存在,xSx ，使得（即 是 S 的下界中最大的一个） ，则称数 为数集 0 xS 0 x 11 S 的下确界下确界，记作.inf S 从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者下确界就是下界中的最大者. . 命题命题 2 2 的充要条件：inf S 1）；,xE x 2）0， 00 ,xSx有. 上确界与下确界统称为确界确界. 例例 3 3（1）则 1 ； 0 ., ) 1( 1 n S n supS inf S （2）则 1 ； 0 .), 0( ,sin xxyyEsupS inf S 注：注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 命题命题 3 3：设数集设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一A 的的. . 证明：证明：设，且，则不妨设sup Asup A Asup Ax 有 x 对，使，矛盾.sup A 0 xA 0 x 例：例： ， ，sup0Rsup1 1 n Z n n 1 inf 12 n Z n n 则有.5,0,3,9,11E inf5E 开区间与闭区间有相同的上确界 与下确界,a b,a bba 例例 4 4 设和是非空数集，且有则有SA. AS infinf ,supsupASAS 12 例例 5 5 设和是非空数集.若对和都有则有ABAx,By, yx .infsupBA 证明：证明：是的上界,是的下界,ByyA.sup yA Asup B .infsup BA 例例 6 6和为非空数集,试证明:AB.BAS. inf , inf mininfBAS 证明：证明：有或由和分别是和的下界,SxAx,BxAinfBinfAB 有 或Axinf. inf , inf min .infBAxBx 即是数集的下界, inf , inf minBAS 又的下界就是的下界,. inf , inf mininf BAS SAS , A 是的下界,是的下界,同理有SinfSSinf A;infinf AS .infinfBS 于是有. inf , inf mininfBAS 综上,有. inf , inf mininfBAS 1.1. 数集与确界的关系数集与确界的关系: :确界不一定属于原集合.以例 3为例做 解释. 2.2. 确界与最值的关系确界与最值的关系: :设 为数集.E （1）的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.EE （2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最 值. （3）若存在,必有对下确界有类似的结论.Emax.supmaxEE 4.4. 确界原理确界原理: : 13 Th1.1Th1.1(确界原理).设非空的数集.若有上界，则必有上确SSS 界；若有下界，则必有下确界.SS 这里我们给一个可以接受的说明 非空， Ex ，我们可 ,ER E 以找到一个整数，使得p不是E上界，而是E的上界.然后我 p 1p 们遍查 9 . ,2 ., 1 . ppp 和 1p ，我们可以找到一个 0 q ， 90 0 q ，使 得 0 .qp 不是E上界， ) 1.( 0 qp 是E上界，如果再找第二位小数1 q ， , 如此下去，最后得到 210 .qqqp ，它是一个实数，即为E的上确界. 证明：证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明） 不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得 1）Sx，有nx ； 2）存在 Sx 1，有1 nx； 把区间 1,(nn 10 等分，分点为n.1，.2， ,.9, 存在1 n，使 得 1）S，有；1 .nnx ； 2）存在 Sx 2，使得10 1 12 .nnx 再对开区间10 等分，同理存在2 n ，使得 11 1 ( . , . 10 nn nn 1）对任何Sx，有21 . nnnx ； 2）存在2 x ，使 2 10 1 212 .nnnx 继续重复此步骤，知对任何 , 2 , 1k ，存在 k n 使得 1）对任何Sx， k k nnnnx 10 1 21 . ； 2）存在 Sxk ， kk nnnnx 21 . 因此得到 k nnnn 21 . 以下证明 Sinf （）对任意Sx， x ； （）对任何 ，存在Sx 使 x 作业：作业：P9 1（1） ， （2） ； 2； 4（2） 、 （4） ； 33 函数概念函数概念 授课章节授课章节：第一章实数集与函数3 函数概念 教学目的教学目的：使学生深刻理解函数概念. 14 教学要求教学要求： （）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数 的定义，熟悉函数的各种表示法； （）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数 的存在域，会分析初等函数的复合关系. 教学重点教学重点：函数的概念. 教学难点教学难点：初等函数复合关系的分析. 教学方法教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学. 教学程序教学程序： 引引 言言 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的 学习，本节将对此作进一步讨论. 一、函数的定义一、函数的定义 定义定义 设，如果存在对应法则，使对，,D MRfxD 存在唯一的一个数与之对应，则称是定义在数集上的函数，yMfD 记作 :fDM .|xy 数集称为函数的定义域， 所对应的，称为在点 的函Dfxyfx 数值，记为.全体函数值的集合称为函数的值域，记作( )f xf .()f D 15 即.()|( ),f Dy yf x xD 几点说明几点说明 （1）函数定义的记号中“”表示按法则建立到:fDMfD 的函数关系，表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记M|xy 作.习惯上称 自变量，为因变量.|( )xf xxy （2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法 则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为 两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.( ),yf x xD 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应 法则. 例如：1） （不相同，对应法则相( )1,f xxR ( )1, 0 .g xxR 同，定义域不同） 2） （相同，只是对应法则( ) |,xxxR 2 ( ),.xxxR 的表达形式不同）. （3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该 运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）. 此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则来表f 示一个函数.即“函数”或“函数”.( )yf xf （4） “映射”的观点来看，函数本质上是映射，对于，faD 称为映射下 的象. 称为的原象.( )f afaa( )f a （5）函数定义中，只能有唯一的一个值与它对应，xD y 这样定义的函数称为“单值函数” ，若对同一个 值，可以对应多于x 16 一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称y 函数）. 二二 、函数的表示方法、函数的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法） 、列表法（表格法）和图象法 （图示法）. 2 可用“特殊方法”来表示的函数. 1 1）分段函数）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示. 例如 ， （符号函数） 1,0 sgn0,0 1,0 x xx x （借助于 sgnx 可表示即）.( ) |,f xx( ) |sgnf xxxx 2 2）用语言叙述的函数）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分 段函数） 例 ）（取整函数） yx 比如： 3.5=3, 3=3, -3.5=-4. 常有 , 即. 1xxx 01xx 与此有关一个的函数（非负小数函 yxxx 数）图形是一条大锯，画出图看一看. ）狄利克雷（Dirichlet）函数 1, ( ) 0, x D x x 当为有理数, 当为无理数, 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期 函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期. ）黎曼（Riemman）函数 1 ,( , ( ) 0,0,1(0,1) pp xp qN qqqR x x 当为既约分数), 当和内的无理数. 17 三三 函数的四则运算函数的四则运算 给定两个函数，记，并设，定义 12 , ,f xD g xD 12 DDDD 与在上的和、差、积运算如下：fgD ；( )( )( ),F xf xg x xD( )( )( ),G xf xg x xD .( )( ) ( ),H xf x g x xD 若在中除去使的值，即令，D( )0g x 2 ( )0,DDx g xxD 可在上定义与的商运算如下；.Dfg ( ) ( ), ( ) f x L xxD g x 注：）若，则与不能进行四则运算. 12 DDDfg ）为叙述方便，函数与的和、差、积、商常分别写为：fg ., f fgfgfg g 四、复合运算四、复合运算 引言引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才 建立起它们之间的对应关系. 例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v，则功率为E . 2 2 2 1 1 2 2 Emv Emg t vgt 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数， 2 1 ( ), 2 f vmv vgt 把代入，即得( )v tf . 2 2 1 ( ( ) 2 f v tmg t 18 这样得到函数的过程称为“函数复合” ，所得到的函数称为“复合函 数”. 问题问题 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； . 2 ( )arcsin , 1,1,( )2,yf uu uDug xxxER 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域 与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）. 2 2定义（复合函数定义（复合函数） 设有两个函数 ，若，则对每一( ),( ),yf u uD ug x xE( )Ex f xDE E 个，通过对应内唯一一个值 ，而 又通过对应唯一一个xE gDuuf 值，这就确定了一个定义在上的函数，它以 为自变量，因变yExy 量，记作或.简记为.称为函数( ( ),yf g xxE ()( ),yfgx xE fg 和的复合函数，并称为外函数，为内函数， 为中间变量.fgfgu 3.3. 例子例子 例例 求 并求定.1)( ,)( 2 xxguuufy).()(xgfxgf 义域. 例例 ._)( , 1)1 ( 2 xfxxxf 则. 11 2 2 x x x xf ) ( )(xf A.A. B.B. C.C. D.D. , 2 x, 1 2 x, 2 2 x . 2 2 x 例 讨论函数与函数( ),0,)yf uu u 19 能否进行复合，求复合函数. 2 ( )1,ug xxxR 4 4 说明说明 ）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证 能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例如：，复合成： 2 sin ,1yu uv vx . 2 sin 1, 1,1yxx ）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单 函数，在分解时也要注意定义域的变化. 22 log1,(0,1)log,1. aa yxxyu uz zx 22 arcsin1arcsin ,1.yxyu uv vx 2 sin2 22 ,sin . xu yyuv vx 五、反函数五、反函数 . .引言引言 在函数中把 叫做自变量，叫做因变量.但需要指出的( )yf xxy 是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 那么 对于来讲是自变量，但对 来讲， 是因变 2 ( ),1,f uu utuftu 量. 习惯上说函数中 是自变量，是因变量，是基于随( )yf xxyy 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究随 的变化状况，也要研xyx 究 随的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.xy . .反函数概念反函数概念 20 定义定义设 Xf : R R 是一函数，如果1 x ， Xx 2, 由 )()( 2121 xfxfxx (或由2121 )()(xxxfxf )，则称 f 在X上是 1-1 的. 若 YXf: ， )(XfY ，称 f 为满的. 若 YXf: 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应. Xf : R R 是 1-1 的意味着 )(xfy 对固定y至多有 一个解x， YXf: 是 1-1 的意味着对 Yy ， )(xfy 有且仅有一个解x. 定义定义 设 YXf: 是 1-1 对应. Yy , 由 )(xfy 唯一确定一个Xx, 由这种对应法则所确定的 函数称为 )(xfy 的反函数，记为 )( 1 yfx . 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf: XYf : 1 显然有 XXIff : 1 (恒等变换） YYIff : 1 (恒等变换) YXff :)( 11 . 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函 数，习惯上我们还是把反函数记为 )( 1 xfy , 这样它 的图形与 )(xfy 的图形是关于对角线 xy 对称的. 严格单调函数是 1-1 对应的，所以严格单调函数有反函数. 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下 面例子 21,3 10, )( xx xx xf 它的反函数即为它自己. 实际求反函数问题可分为二步进行：实际求反函数问题可分为二步进行： 1.1. 确定 YXf: 的定义域X和值域Y，考虑 1-1 对应条件.固 定 Yy ，解方程 yxf)( 得出 )( 1 yfx . 2.2. 按习惯，自变量x、因变量y互换，得 )( 1 xfy . 0x y 21 例例 求 2 )( xx ee xshy ：R R R R 的反函数. 解解 固定y，为解 2 xx ee y ，令 zex，方程变为 12 2 zzy 012 2 zyz 1 2 yyz ( 舍去 1 2 yy ) 得 )1ln( 2 yyx ，即 )()1ln( 12 xshxxy ，称为反双曲正弦反双曲正弦. 定理定理 给定函数 )(xfy ，其定义域和值域分别记为X和Y， 若在Y上存在函数 )(yg ，使得 xxfg)( , 则有 )()( 1 yfyg . 分析分析：要证两层结论：一是 )(xfy 的反函数存在，我们只要证 它是 1-1 对应就行了；二是要证. 1 ( )( )g yfy 证证 要证 )(xfy 的反函数存在，只要证 )(xf 是X到Y的 1-1 对应. 1 x ， Xx 2，若 )()( 21 xfxf ， 则由定理条件，我们有 11) (xxfg 22) (xxfg 21 xx ，即 YXf: 是 1-1 对应. 再证. Yy ，Xx，使得 )(xfy . 1 ( )( )g yfy 由反函数定义 )( 1 yfx ，再由定理条件 . ( )( ( )g yg f xx 1 ( )( )g yfy 例例 ，若 )(xff 存在唯一（ | ）不动点，则)(xf 也 | 不动 :fRR 点. 证证 存在性，设 )( * * xffx ， )()( * * xfffxf ， 即 )( * xf 是 ff 的不动点，由唯一性 * * )(xxf ， 即存在 )(xf 的不动点 * x. 唯一性： 设 )(xfx ， )()(xffxfx ， 说明 x是 ff 的不动点，由唯一性，x= * x. 从映射的观点看函数. 设函数.满足：对于值域中的每一个值，( ),yf x xD()f Dy 中有且只有一个值 ，使得，则按此对应法则得到一x( )f xy 个定 义在 ()f D 上的 0 y=f(x) y=f -1 (x) 0 y=f(x) 22 函数，称这个函数为的反函数，记作f 或. 1 :(),( |)ff DDyx 1( ), ()xfyyf D 、注释、注释 a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数有f 反函数，意味着是与之间的一个一一映射，称为映f()f D 1 f 射的逆映射，它把；f()f DD b) 函数与互为反函数，并有: f 1 f 1( ( ) ,ff xx xD 1 ( ),().f fxy yf D c) 在反函数的表示中，是以为自变量， 为 1( ), ()xfyyf D yx 因变量.若按习惯做法用 做为自变量的记号，作为因变量的xy 记号，则函数的反函数可以改写为f 1 f 1( ), ().yfx xf D 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其 定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图 形在同一坐标系中画出时有所差别. 六六 、初等函数、初等函数 1.基本初等函数（类） 常量函数 （为常数） ；yC 幂函数 ；()yxR 指数函数；(0,1) x yaaa 对数函数 ；log(0,1) a yx aa 三角函数 ；sin ,cos ,cyx yx ytgx ytgx 23 反三角函数 .arcsin ,arccos ,yx yx yarctgx yarcctgx 注注：幂函数和指数函数都涉及乘幂，()yxR (0,1) x yaaa 而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助 于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘 幂，并保持有理批数幂的基本性质. 定义定义给定实数，设 为无理数，我们规定：0,1aax sup|,1 |,01 r xr x r ara a ara r0，Xx有， :fXR( )f xM 即,取Mm,MM 即可. ( )Mf xM 反之如果M,m使得，令， ,( )xX mf xM 0 max1,MMm 则，即，使得对有，即 0 ( )f xM 0 0M xX 0 ( )f xM 有界. :fXR 例例 2 2证明 为上的无上界函数. 1 ( )f x x (0,1 例例 3 3设为 D 上的有界函数.证明：（1）, f g ；inf( )inf( )inf( )( ) x Dx Dx D f xg xf xg x （2）.sup( )( )sup( )sup ( ) x Dx Dx D f xg xf xg x 26 例例 4 4 验证函数 在内有界. 32 5 )( 2 x x xfR 解法一解法一 由当时,有,62322)3()2(32 222 xxxx0x . 3 62 5 62 5 32 5 32 5 )( 22 x x x x x x xf ,30 )0( f 对 总有 即在内有界.,Rx, 3 )( xf)(xfR 解法二解法二 令 关于 的二次方程 , 32 5 2 x x yx 有实数根.0352 2 yxyx 22 245 y . 2 , 4 24 25 , 0 2 yy 解法三解法三 令 对应 于是 2 , 2 , 2 3 ttgtx). , (x tt t ttg tgt tgt tgt x x xf 2222 sec 1 cos sin 6 5 12 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 32 5 )( . 62 5 2sin 62 5 )( ,2sin 62 5 txft 二、单调函数单调函数 定义定义 3 3 设为定义在 D 上的函数， （1）若f 1212 ,x xD xx ，则称为 D 上的增函数；若，则称为 D 上 12 ()()f xf xf 12 ()()f xf xf 的严格增函数.（2）若，则称为 D 上的减函数；若 12 ()()f xf xf ，则称为 D 上的严格减函数. 12 ()()f xf xf 例例 5 5证明：在上是严格增函数. 3 yx(,) 证明：证明：设 21 xx ， )( 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 如 0 21 xx ，则 3 2 3 112 0xxxx 如 12 0x x ，则 2233 112212 0,xx xxxx 故 0 3 2 3 1 xx 即得证. 例例 6 6讨论函数在上的单调性. yxR ，当时，有，但此函数在上的不是严 12 ,x xR 12 xx 12 xxR 格增函数. 注注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， 27 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；f 2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 轴的xx 直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数. 总结得下面的结论： 定理定理 1 1设为严格增（减）函数，则必有反函数( ),yf x xDf ，且在其定义域上也是严格增（减）函数. 1 f 1 f ()f D 证明：设在上严格增函数.对.下fD(),( )yf DxDf xy 一一 面证明这样的 只有一个.事实上，对于内任一由于在上xD 1 ,xxfD 严格增函数，当时，当时，总之. 1 xx 1 ()f xy 1 xx 1 ()f xy 1 ()f xy 即，从而(),( )yf DxDf xy 一一一一一一一一一一 例例 7 7 讨论函数在上反函数的存在性；如果 2 yx(,) 在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数 2 yx(,) (,) 否？ 结论结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关. 例例 8 8 证明：当时在上严格增，当时在上严 x ya1a 01aR 格递减. 三、奇函数和偶函数三、奇函数和偶函数 定义定义 4.4. 设 D 为对称于原点的数集，为定义在 D 上的函数.若f 对每一个有（1），则称为 D 上的奇函数；（2）xD()( )fxf x f ，则称为 D 上的偶函数.()( )fxf xf 注注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心 对称） ，偶函数的图象关于轴对称；y （2）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必( ),0,1f xx x 要讨论奇偶性. （3）从奇偶性角度对函数分类：； 奇函数: y=si nx 偶函数: y=sgnx 非奇非偶函数: y=si nx+cosx 既奇又偶函数: y0 （4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须 讨论原点的左边或右边即可四、周期函数四、周期函数 1、定义 设为定义在数集 D 上的函数，若存在，使得对一切f0 有，则称为周期函数，称为的一个周期.xD()( )f xf xff 2、几点说明： （1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若f()nnN f 存在，则不唯一.如.因此有如下“基本周期”的sin ,2 ,4 ,yx 说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此f 28 最小周期为的“基本周期” ，简称“周期”.如，周期为；fsinyx2 （2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有 基本周期，如：1），不是周期函数；2）（为常数） ，1yxyC 任何正数都是它的周期. 第二章数列极限第二章数列极限 引引 言言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它 的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是 1，然后为 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化 1 1 11 , 2 3 4n 有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们 就说，这个变量的极限为 0. 在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、 微分、积分、级数等） ，并且在实际问题中极限也占有重要的地位. 例如求圆的面积和圆周长（已知：） ，但这两个公式从 2, 2Srlr 何而来？ 要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面 积和求直线段的长度.然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求 人们在观念上，在思考方法上来一个突破. 问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界 是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处 是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与 “直”这样一对矛盾. 辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化.整 个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在 很小的一段上可以近似地“以直代曲” ，即以弦代替圆弧. 按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正 边形.易知，正 边形周nnn 长为 2sin n lnR n 显然，这个不会等于