直线关于直线对称问题的常用方法与技巧.doc

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点；2. 求出这点关于中心或轴的对称点与之间的关系；3. 利用求出曲线。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。例题：试求直线关于直线对称的直线的方程。解法1：（动点转移法）在上任取点，设点P关于的对称点为，则又点P在上运动，所以，所以。即。所以直线的方程是。解法2：（到角公式法）解方程组所以直线的交点为A(1,0) 设所求直线的方程为，即,由题意知，到与到的角相等，则.所以直线的方程是。解法3：（取特殊点法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)。在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为，则而点A，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法4：（两点对称法）对解法3，在上取点P（2，1），设点P关于的对称点的坐标为Q，在上取点M（0，1），设点P关于的对称点的坐标为而N，Q在直线上，由两点式可求直线的方程是。解法5：（角平分线法）由解法2知，直线的交点为A(1,0)，设所求直线的方程为：设所求直线的方程为,即.由题意知，为的角平分线，在上取点P（0，-3），则点P到的距离相等，由点到直线距离公式，有：时为直线，故。所以直线的方程是解法6（公式法）给出一个重要定理：曲线（或直线 ）关于直线的对称曲线（或直线 ）的方程为。 证：设是曲线上的任意一点，它关于的对称点为，则于是。M与M/关于直线l对称，,（3）代入（2），得，此即为曲线的方程。解析：定理知，直线关于直线的对称曲线的方程为：所以直线的方程是点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，两点的中点在已知直线上.直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得 ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B（8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.直线关于直线对称问题，包含有两种情形：两直线平行，两直线相交. 对于，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转