2017年中考数学解直角三角形专题训练（有答案和解释）

1 / 44 2017 年中考数学解直角三角形专题训练（有答案和解释） 本资料为 档，请点击下载地址下载全文下载地址 解直角三角形 一、选择题（共 13小题，每小题 4 分，满分 52分） 1在 ，已知 ， ， ，则下列结论中正确的是（ ） A c 2如图， 边长是 5 的等边三角形，点 E 在 F 在 c ，且 E， F，则 ） A B c 20+10D 20 10 3正方形网格中， 图放置，则 值为（ ） A B c D 2 4在 ， c=90 ， a， b， c 分别是 A ， B ，c 的对边，下列关系式中错误的是（ ） A b=b=a=a=如图，已知 ， 5 ， ， BF F， ， ，下面结论： 2 / 44 E ； A= H ； 其中正确的结论是（ ） A B c D 6如图，点 A 的坐标为（ 1， 0），点 y=x 上运动，当线段 ） A（ 0， 0） B（，） c（，） D（，） 7如图， o 的直径， o 于 A， o 于D，若 ， ，则 ） A B c D 8在 ， c=90 ， 3， ，则 ） A B c D 9已知在 ， c=90 ， 则 值为（ ） A B c D 10如图为了测量某建筑物 高度，在平地上 c 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30 ，沿 2到达 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45 ，则建筑物 ） A 6（ +1） B 6（ 1） c 12（ +1） D 12（ 1） 11已知 为等边三角形的一个内角，则 于（ ） 3 / 44 A B c D 12王英同学从 A 地沿北偏西 60 方向走 100 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 到 c 地，此时王英同学离 A 地（ ） A B 100c 150D 13如图， 顶点都是正方形网格中的格点，则于（ ） A B c D 二、填空题（共 10小题，每小题 5 分，满分 50分） 14化简 = 15如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为 1：，上底宽为 6，路基高为 4，则路基的下底宽为 16如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20c，深为 30c为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 c，现将斜坡的坡度设计为i=1：，则 c 17身高的小丽用一个两锐角分别为 30 和 60 的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为 6，那么这棵树高大约为 （结果精确到，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高） 18如图，在正方形网格中， 正切值是 19若 ， c=90 ， ： 4，那么 4 / 44 20如图，有一个边长为 5的正方形纸片 将其剪拼成边长分别为 a， 得 a2+2 a ， b 的值可以是 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）； 请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方 形，同时说明该裁剪方法具有一般性： 21将一个含 30 角的三角板和一个含 45 角的三角板如图摆放， 全重合， c=90 ， A=45 ，0 ， ， ，则 22比较大小： 1（可用计算器辅助） 23在 ， c=，如果 ， ，那么 三、解答题 24如图，抛物线的顶点为 A（ 2， 1），且经过原点 o，与 x 轴的另一个交点为 B （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在抛物线上求点，使 积的 3倍； （ 3）连接 x 轴下方的抛物线上是否存在点5 / 44 N，使 似？若存在，求出 不存在，说明理由 25计算： 26如图，小明站在 筝飞到 0米，这时测得 0 ，若牵引底端 此时风筝离地面高度（计算结果精确到米， ） 27计算： 28为测量大楼 高度，某人站在 A 处测得楼顶的仰角为 45 ，前进 20后到达 0 ，求大楼 29如图，为测量某塔 在离该塔底部 20米处目测其顶 A，仰角为 60 ，目高米，试求该塔的高度（ ） 30九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角 （ 1）如图 1，小明所在的小组用一根木条 靠在护坡石坝上，使得 长度相等，如果测量得到6 ，那么 的度数是 ； （ 2）如图 2，小亮所在的小组把一根长为 5 米的竹竿出竿长 1 米时离地面的高度为米，请你求出护坡石坝的垂直高度 （ 3）全班总结了各组的方法后，设计了如图 3 方案：在护坡石坝顶部 的影子处立一根长为 D，杆子与6 / 44 地面垂直，测得杆子的影子长为 b 米，点 P 到护坡石坝底部B 的距离为 果利用（ 1）得到的结论，请你用 a、 b、c 表示出护坡石坝的垂直高度 （ ， ， 3 ） 31如图，某中学科学楼高 15 米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高米的自行车场，第二层起为宿舍已知该地区一年之中 “ 冬至 ” 正午时分太阳高度最低，此时太阳光线 入射角 5 ，为使第二层起能照到阳光，两楼间距 少是多少米（精确到米） （参考数据： ， ） 32如图，某电信部门计划修建一条连接 B、 c 两地的电缆，测量人员在脚 、 c 两地的仰角分别为 30 、45 ，在 B 地测得 c 地的仰角为 60 度已知 c 地比 A 地高200米，电缆 精确到米） 33如图所示，把一个直角三角尺 0 角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 c 与 延长线上的点 D 重合，已知 （ 1）三角尺旋转了多少度？连接 判断 形状； （ 2）求 （ 3）连接 猜想线段 大小关系，并证7 / 44 明你 的结论 34计算： 35计算：（ 2） 3+（） 1（ 1） 0 36计算： 22+（） 0+2 37又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔去参观 “ 晏阳初博物馆 ” 下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为 60 ； 乙：我站在此处看塔顶仰角为 30 ； 甲：我们的身高都是； 乙：我们相距 20 请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到 1米） 38如图，有两棵树，一棵高 14，另一棵高 10，两树相距 5一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少 飞了多少米？ 39如图，沿江堤坝的横断面是梯形 顶 ，坝高 ，斜坡 i=1： 2， c=60 ，求斜坡 AB、 40如图，为了测量电线杆的高度 离电线杆 25米的 D 处，用高米的测角仪 得电线杆顶端 A 的仰角=22 ，求电线杆 精确到米）参考数据： ， ， ， 8 / 44 41兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆 图），已知距电线杆 平距离 14 米处是河岸，即 4 米，该河岸的坡面 正切值为 2，岸高 米，在坡顶 c 处测得杆顶 0 ， D、E 之间是宽 2 米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以 42课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度如图，在 A 处用测角仪（离地高度为米）测得旗杆顶端的仰角为 15 ，朝旗杆方向前进 23 米到 B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为 30 ，求旗杆 43如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分 c，微风吹来，假设铅垂 漂移动了一段距离 顶端恰好与水面齐平，（即c）水平 l与 为 8 （点 A 在 求铅锤 P 处的水深 h（参考数据： ， ， ） 解直角三角形 参考答案与试题解析 一、选择题（共 13小题，每小题 4 分，满分 52分） 1在 ，已知 ， ， ，则下列结论中正确的是（ ） A c 9 / 44 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根 据锐角三角函数的定义，分别求得 值，即可判断 【解答】解：在 ， ， ， ， 直角三角形，其中 c 是直角 ， 故选 A 【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边 2如图， 边长是 5 的等边三角形，点 E 在 F 在 c ，且 E， F，则 ） A B c 20+10D 20 10 【考点】等边三角形的性质 【专题】计算题 【分析】根据 c 可得 0 ，即可求得 关系，设 DE=x，则 AE=x，根据 可计算 据AE+即可计算 x 的值，根据 c 【解答】解： c ， c=60 ， 0 ， 10 / 44 设 DE=x，则 AE=x， 且 cE=x， 又 AE+ ， x+x=5 ， 解得 x=10 15， （ 10 15） =20 10 故选 D 【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边 三角形各内角为 60 的性质，本题中根据 x 的值是解题的关键 3正方形网格中， 图放置，则 值为（ ） A B c D 2 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】网格型 【分析】作 EF则求 值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题 【解答】解：如图，作 EF则 ， ，由勾股定理得， = 故选： A 【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐11 / 44 角三角函数的定义求解 4在 ， c= 90 ， a， b， c 分别是 A ， B ，c 的对边，下列关系式中错误的是（ ） A b=b=a=a=考点】锐角三角函数的定义 【专题】计算题 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可 【解答】解：在 ， c=90 ， 则 因而 b= a= 错 误的是 b= 故选 A 【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边 5如图，已知 ， 5 ， ， BF F， ， ，下面结论： 12 / 44 E ； A= H ； 其中正确的结论是（ ） A B c D 【考点】相似三角形的判定；全等三角形的 判定与性质；平行四边形的性质 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案 【解答】解： 5 ， c E ， E c ， BF0 c ， BH= c=A ， AB=A= H 正确的有 故选 B 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质 ： 如果13 / 44 两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似相似三角形的对应边成比例，对应角相等 6如图，点 A 的坐标为（ 1， 0），点 y=x 上运动，当线段 ） A（ 0， 0） B（，） c（，） D（，） 【考点】垂线段最短；坐标与图形性质 【专题】计算 题；压轴题 【分析】过 A 点作垂直于直线 y=x 的垂线 时线段为直线 y=，所以 5 ， B 作 直 x 轴垂足为 c，则c=因为 以点 ，） 【解答】解：线段 短，说明 时为点 A 到 y= 过 A 点作垂直于直线 y=x 的垂线 直线 y=x与 5 ， 等腰直角三角形， 过 B 作 足为 c， 则 14 / 44 则 c=作图可知 B 在 点 坐标为负， 当线段 B 的坐标为（，） 故选： c 【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短 7如图， o 的直径， o 于 A， o 于D，若 ， ，则 ） A B c D 【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义 【分析】根据切割线定理 得 ，然后在 ，利用 ， 可以求出 【解答】解 ：如图， o 于 A， 又 ， ， 在 ， ， ， 故 故选 A 【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识 15 / 44 8在 ， c=90 ， 3， ，则 ） A B c D 【考点】解直角三角形 【分析】由勾股定理易得 值，进而根据三角函数的定义求解 【解答】解：在 ， c=90 ， 3， ， 由勾股定理得： 2 则 故选 A 【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法 9已知在 ， c=90 ， 则 值为（ ） A B c D 【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解 【解答】解：解法 1：利用三角函数的定义及勾股定理求解 在 ， c=90 ， 16 / 44 ， a2+b2= ，设 a=3x，则 c=5x，结合 a2+b2= b=4x 故选 A 解法 2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解 A 、 B 互为余角， 90 B） = 又 ， ， = 故选 A 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值 10如图为了测量某建筑物 高度，在平地上 c 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30 ，沿 2到达 D 处测 得建筑物顶端 A 的仰角为 45 ，则建筑物 ） A 6（ +1） B 6（ 1） c 12（ +1） D 12（ 1） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】利用所给的角的三角函数用 D， 据 DB= 17 / 44 【解答】解：根据题意可得： c B（ 1） =12， （ +1） 故选 A 【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解考查了学生读图构造关系的能力 11已知 为等边三角形 的一个内角，则 于（ ） A B c D 【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质 【分析】先根据等边三角形的性质求出 的度数，再根据 即可解答 【解答】解： 为等边三角形的一个内角， =60 故选 A 【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单 12王英同学从 A 地沿北偏西 60 方向走 100 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 到 c 地，此时王英同学离 A 地（ ） A B 100c 150D 18 / 44 【考点】解直角三角形 的应用方向角问题 【专题】压轴题 【分析】根据三角函数分别求 长，从而得到利用勾股定理求 【解答】解： 50 ； 50 ， 50 100 故选 D 【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 13如图， 顶点都是正方形网格中的格点，则于（ ） A B c D 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】压轴题；网格型 【分析】找到 在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得 邻边与斜边之比即可 【解答】解：由格点可得 在的直角三角形的两条直角边为 2， 4， 斜边为 =2 故选 B 19 / 44 【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得 在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边 二、填空题（共 10小题，每小题 5 分，满分 50分） 14化简 = 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】运用特殊角三角函数值计算 【解答】解： 原式 = 【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可 15如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为 1：，上底宽为 6，路基高为 4，则路基的下底宽为 18 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】计算题 【分析】过 c 作 B ，过 D 作 B ，根据 E、 值，根据 E+F 即可计算可解题 【解答】解：如右图，过 c 作 B ，过 D 作 B ， DE= 坡度 =， F=6 ， E+ B=6+6+6（） =18 20 / 44 故答案为 18 【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求 16如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20c，深为 30c为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 c，现将斜坡的坡度设计为i=1：，则 210 c 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】计算题 【分析】如图所示：所有台阶高度和为 长，所有台阶深度和为 长，即 0， 0然后根据坡度 比解答 【解答】解：由题可知 0c， 0c 坡度 !=：， 70 ， c 70 60=210（ c） 【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题） 17身高的小丽用一个两锐角分别为 30 和 60 的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为 6，那么这棵树高大约为 （结果精确到，其中小丽眼睛距离地21 / 44 面的高度近似为身高） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】压轴题 【分析】树高等于 和，利用三角函数求 【解答】解： 0 ， 树的高 =+2 （米） 【点评】此题主要考查三角函数定义的应用 18如图，在正方形网格中， 正切值是 1 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】网格型 【分析】根据三角函数的定义即可求出 值 【解答】解：利用三角函数的定义可知 1 【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边 比邻边 19若 ， c=90 ， ： 4，那么 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】由题意得， ： 4： 5，即可求得 【解答】解：设 x， x，根据勾股定理可得 x， 22 / 44 c ： 【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边 20如图，有一个边长为 5的正方形纸片 将其剪拼成边长分别为 a， 得 a2+2 a ， b 的值可以是 3， 4 （提示：答 案不惟一）（写出一组即可）； 请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性： 图中的点 B， 【考点】勾股定理的应用 【专题】压轴题；开放型 【分析】 使得 a2+2由直角三角形勾股定理的很容易联想到 a、 、 4； 要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为 4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为 1的正方形和两个长为 3 宽为 1的矩形，四个 四边形拼成一个边长为 3的正方形 【解答】解： 要使得 a2+2考虑到直角三角形的特殊情况， a， ， 4 一组（答案不唯一）； 23 / 44 裁剪线及拼接方法如图所示： 按照上图所示剪裁，先剪一个边长是 4的正方形；剩下的剪三个边长为 1 的正方形和两个长为 3 宽为 1的矩形，然后将这些拼接成边长为 3 的正方形即可 【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力解决本题的关键是紧紧抓住 a2+2 这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索 21将一个含 30 角的三角板和一个含 45 角的三角板如图摆放 ， 全重合， c=90 ， A=45 ，0 ， ， ，则 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】根据直角三角形的性质，求得 求得 此可以求出 利用 BE=B 【解答】解：在 ， ， A=45 ， =4 在 ， 0 ， ， =3 BE= 4 故填空答案： 3 4 24 / 44 【 点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解 22比较大小： 1（可用计算器辅助） 【考点】计算器 三角函数 【专题】计算题 【分析】先利用计算器求出 33 的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与 1 比较即可 【解答】解： ， ， + 1 故答案是 【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后 3位 23在 ， c=，如果 ， ，那么 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】压轴题 【分析】先由勾股定理求出 利用锐角三角函数的定义求解 【解答】解：在 ， c=90 ， ， ， 25 / 44 =5 【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边 三、解答题 24（ 2017枣庄）如图，抛物线的顶点为 A（ 2，1），且经过原点 o，与 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在抛物线上求点， 使 面积是 积的 3倍； （ 3）连接 x 轴下方的抛物线上是否存在点N，使 似？若存在，求出 不存在，说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（ 1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（ x 2） 2+1，把 o（ 0， 0）代入即可； （ 2） 共底边 高点 A 的纵坐标为 1，只需要点的纵坐标为 3即可，将 y= 3，代入解析式可求点坐标； （ 3）由已知 等腰三角形，点 N 在抛物线上，只26 / 44 可能 N，即要求 A A、 A 要关于 x 轴对称，通过计算，不存在 【解答】解：（ 1）由题意，可设抛物线的解析式为 y=a（ x 2） 2+1， 抛物线过原点， a （ 0 2） 2+1=0， a= 抛物线的解析式为 y=（ x 2） 2+1= x2+x （ 2） 所求 底不等高，且 SS 高是 的 3 倍，即点的纵坐标是 3 3= x2+x，即 4x 12=0 解之，得 ， 2 满足条件的点有两个： 1（ 6， 3）， 2（ 2， 3） （ 3）不存在 由抛物线的对称性，知 B， 若 似，必有 即 设 抛物线的对称轴于 A 点，则 A、 A 关于 x 轴对称， A （ 2， 1） 直线 y= x 由 x= x2+x，得 ， N （ 6， 3） 27 / 44 过 N 作 NEx 轴，垂足为 E在 ， ， ， 又 ， NB 相似 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符 合条件的 所以在该抛物线上不存在点 N，使 似 【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性 25计算： 【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简 【专题】计算题 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式 =5 【点评】本题考查实数的综合运算 能力，是各地中考题中常见的计算题型 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练28 / 44 掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 26如图，小明站在 筝飞到 0米，这时测得 0 ，若牵引底端 此时风筝离地面高度（计算结果精确到米， ） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】计算题；压轴题 【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答 【解答】解：在 ， c=20=10 又 B=， cE=E=B=10+ 答：此时风筝离地面的高度约是米 【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用 27计算： 【考点】实数的运算 【分析】按照实数的运算法则依次计算 【解答】解：原式 = =2 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊29 / 44 角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算注意（ 1） 2017=1， | |=，（ 2017）0=1 28为 测量大楼 高度，某人站在 A 处测得楼顶的仰角为 45 ，前进 20后到达 0 ，求大楼 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】此题可利用两仰角的正切值及 高度表示 ，求得 【解答】解：如图， 依题意得 0 ， 5 ， 0， 设 cD=x，则 ， 20=x x，解得： x=（ 30+10）， 答：大楼 30+10） 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 29如 图，为测量某塔 离该塔底部 20米处目测其顶 A，仰角为 60 ，目高米，试求该塔的高度（ ） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】应用题 【分析】本题是一个直角梯形的问题作 B 于点 D，把求 问题转化求 长，从而在 利用三角函30 / 44 数求解 【解答】解：如图， 0， 0 在 ， ， = ， 034 又 ， 塔高 4+=（米） 【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题 30九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角 （ 1）如图 1，小明所在的小组用一根木条 靠在护坡石坝上，使得 长度相等，如果测量得到6 ，那么 的度数是 72 ； （ 2）如图 2，小亮所在的小组把一根长为 5 米的竹竿出竿长 1 米时离地面的高度为米，请你求出护坡石坝的垂直高度 （ 3）全班总结了各组的方法后，设计了如图 3 方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为 D，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为 b 米，点 P 到护坡石坝底部B 的距离为 果利用（ 1）得到的结论，请你用 a、 b、c 表示出护坡石坝的垂直高度 31 / 44 （ ， ， 3 ） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】压轴题；方案型 【分析】（ 1） 长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到 的度数 （ 2）由于竿长 1米时离地面的高度为米，则有 ：，可求得 （ 3）由题意知， 根据相似三角形的对应边相等可求得 【解答】解 ：（ 1） E =22 （ 2） 竿长 1米时离地面的高度为米， N ： 米 （ 3）在 ， H= 由题意知， H： H：（ H） = 即： a： b= c+） 解得： 【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等32 / 44 于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解 31如图 ，某中学科学楼高 15 米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高米的自行车场，第二层起为宿舍已知该地区一年之中 “ 冬至 ” 正午时分太阳高度最低，此时太阳光线 入射角 5 ，为使第二层起能照到阳光，两楼间距 少是多少米（精确到米） （参考数据： ， ） 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】应用题 【分析】易求出 ，由 5 ，然后利用 55 的正切值就能求出 【解答】解：由矩形 F， F，（ 2 分） 得到 5 ，（ 2 分） 得到 ，（ 2 分） （ 1 分） 答：两楼间距至少米 【点评】本题考查锐角三角函数的应用需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法 32如图，某电信部门计划修建一条连接 B、 c 两地的电缆，测量人员在脚 、 c 两地的仰角分别为 30 、33 / 44 45 ，在 B 地测得 c 地的仰角为 60 度已知 c 地比 A 地高200米，电缆 精确到米） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】计算题 【分析】首先 分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造方程关系式，进而可解即可求出答案 【解答】解：过 B 点分别作 BE D ，垂足分别为 E、 F 设 Bc=x 0 ， BE=x ， cE=x 00 ， 00 x E=200 x， E=x 5 ， AD=00 00 x 在 ， ， 解得 x=200（ 1） （） 答：电缆 【点评】本题要求学生借助仰角 关系构造直角三角形，34 / 44 并结合图形利用三角函数解直角三角形 33如图所示，把一个直角三角尺 0 角的顶点 B 顺时针旋转，使得点 c 与 延长线上的点 D 重合，已知 （ 1）三角尺旋转了多少度？连接 判断 形状； （ 2）求 （ 3）连接 猜想线段 大小关系，并证明你的结论 【考点】旋转的性质 【专题】探究型 【分析】（ 1）由直角三角尺 0 角的顶点 B 顺时针旋转，点 c 与 延长线上的点 D 重合，根据旋转的性质得 c， 于旋转角，且 80 60=120 ，即可判断所三角尺旋转的度数， 形状； （ 2）由三角尺 直角三角形， 0 ，A=30 ，得到 6=12 ，而 c，即可得到B+ （ 3）连接 等腰三角形，由 80 （ =60=根据等腰三角形的性质得到 E，即可得到 Ac= 【解答】解：（ 1） 直角三角尺 着 60 角的顶点35 / 44 B 顺时针旋转，点 c 与 重合， c ， 于 旋 转 角 ， 且 80 60=120 ， 三角尺旋转了 120度， 等腰三角形； （ 2） 三角尺 直角三角形， 0 ，A=30 ， 6=12 ， c ， A、 B、 D 三点在一直线上， B+2+6=18 ； （ 3）如图，连接 Ac= 证明如下： D ， 即 等腰三角形， 又 0 ， 而点 A、 B、 80 （ =60= 即 顶角， 直平分底边 E ， 而 c 所以 Ac= 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形36 / 44 全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系以及等腰三角形的性质 34计算： 【考点】实数的运算 【分析】本题涉及零指数幂、开立方、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式 = =3+1 2 1 =1 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算 35（ 2017朝阳区二模）计算：（ 2） 3+（）1（ 1） 0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针