[政史地]二章第四课.ppt

4 连续型随机变量及其概率密度(下) 第二章 随机变量及其分布 常用的连续型随机变量（二） 4 连续型随机变量及其概率密度 正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由 高斯(Gauss)加以推广，所以通常 称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛（De Moivre)最早 发现了二项分布的一个近似公 式，这一公式被认为是正态分 布的首次露面. 3.正态分布 高斯 4 连续型随机变量及其概率密度 正 态 分 布 x f (x) 0 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证(续) 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证(续) 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证(续) 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证(续) 4 连续型随机变量及其概率密度 密度函数的验证(续) 4 连续型随机变量及其概率密度 (I)、正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对 称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 4 连续型随机变量及其概率密度 决定了图形的中心位置， 决定了图形 中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 4 连续型随机变量及其概率密度 故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大 值 令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可 得 f (+c)=f (-c) 且 f (+c) f (), f (-c)f () 4 连续型随机变量及其概率密度 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x 时，f(x) 0, 用求导的方法可以证明 x = 为f (x)的两个拐点的横坐标。 4 连续型随机变量及其概率密度 实例 年降雨量问题，我们用上海99年 年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降 雨量近似服从正态分布。 4 连续型随机变量及其概率密度 下面是我们用某大学大学生的身高的 数据画出的频率直方图。 红线是拟 合的正态 密度曲线 可见，某大学大学生的身高应 服从正态分布。 4 连续型随机变量及其概率密度 人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。 4 连续型随机变量及其概率密度 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身 高外,在正常条件下各种产品的质量指标， 如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物 的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射 击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等， 都服从或近似服从正态分布. 4 连续型随机变量及其概率密度 正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以 下情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它 许多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布 4 连续型随机变量及其概率密度 (II) 、设X , X的分布函数是 4 连续型随机变量及其概率密度 (III)、标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 4 连续型随机变量及其概率密度 它的依据是下面的引理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 引理2.4.1 若 则 (2)则 4 连续型随机变量及其概率密度 证:(1)分别记Y的分布函数和概率密度为 4 连续型随机变量及其概率密度 将上面两式分别对X求导整理得 4 连续型随机变量及其概率密度 注 根据引理2.4.1,只要将标准正态分布的 分布函数制成表，就可以解决一般正态分布 的概率计算问题. 4 连续型随机变量及其概率密度 书末附有标准正态分布函数数值表，有了 它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. （IV）、正态分布表 表中给的是x0时, (x)的值. 当-x175的概率为 P X175= =0.2578 4 连续型随机变量及其概率密度 解: (2) 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X h)0.01 或 P(X0.99 所以 =2.33, 即 h=170+17.92 188 设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的h . 4 连续型随机变量及其概率密度 0 4 连续型随机变量及其概率密度 0 4 连续型随机变量及其概率密度 4. -分布. 4 连续型随机变量及其概率密度 - 函 数 4 连续型随机变量及其概率密度 说明 ： 4 连续型随机变量及其概率密度 说明 ： 4 连续型随机变量及其概率密度 1. 某地区18岁的女青年血压的收缩压 （ 单位： ） 从该地区任意选出一名女青年 ，求 ； 如果从该地区任意选出10名女 青年，发现其中有3名的收缩压超过95 ，问 是否可以据此得到该地区女青年血压的收缩压偏高 的结论（设 ，其中 是标准正态 分布的分布函数） 练 习 4 连续型随机变量及其概率密度 解： (1) (2)设：10名女青年中收缩压超过95 的人数则 因此， 这是一个小概率事件，而小概率事件在一次 试验中是几乎不可能发生的，现在发生了，因此 可以据此判定该地区女青年血压的收缩压偏高 第二章 习题课 2. 设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的 重量（单位：克）服从 分布，乙种鸡蛋单 只的重量（单位：克）服从 分布。设甲种 蛋占总只数的 ，今从该批鸡蛋中任选一只， (1)试求其重量超过55克的概率； (2)若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概