工程力学平面任意力系.ppt

第三章 平面任意力系 平面任意力系 各个力的作用线在同一平面内 ，但不汇交于一点，也不都平行的 力系称为平面任意力系 31 力对点之矩 32 力的平移定理 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 36 平面平行力系的平衡 38 平面静力学在工程中的应用举例 第 三 章 平 面 任 意 力 系37 物体系的平衡 与静不定问题的概念 O A d B F 一、力矩的定义力F 的大小乘以该力作用线到某 点O 间距离d，并加上适当正负号，称为力F 对O 点的矩。简称力矩。 31 力对点之矩 二、力矩的表达式: 三、力矩的正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转 动时，力矩取正值，反之为负。 四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为 N.m。 五、力矩的性质： 1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变 2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零 3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零 31 力对点之矩 4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩 六、合力矩定理 y x Ox y A B 31 力对点之矩 平面汇交力系的合力对平面内任一之矩等 于各分力对同一点之矩的代数和 32 F A O d F A O d l A O= 把力F 作用线向某点O 平移时，须附加一个力偶， 此附加力偶的矩等于原力F 对点O 的矩。 证明： 一、力的平移定理： 32 力的平移定理 二、几个性质： 1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加 力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的 不同而不同。 2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的 一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大 小相等的平行力。 3、力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。 32 力的平移定理 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 A3 O A2 A1 F1 F3 F2 l1 O l2 l3 LO O = 应用力的平移定理，可将刚体上平面任意力系 中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定 点O 。从而这力系被分解为平面平行力系和平面力 偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化 。点O 称为简化中心。 一、力系向给定点O 的简化 平面汇交力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用 点在点O 的力R。这个力矢R 称为原平面任意力系的 主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力 偶，这力偶的矩用LO 代表，称为原平面任意力系对 简化中心 O 的主矩。 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 结论： 平面任意力系向面内任一点的简化结果，是 一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。 推广：平面任意力系对简化中心O 的简化结果 主矩： 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 主矢： 二、几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中 心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有 关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指 明简化中心。 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 方向余弦： 2、主矩Lo可由下式计算： 三、主矢、主矩的求法： 1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析 法计算。 33 平面任意力系的简化主矢与主矩 = LO O O R Lo A O R Lo A 1、R=0，而LO0，原力系合成为力偶。这时力系主 矩LO 不随简化中心位置而变。 2、LO=0，而R0，原力系合成为一个力。作用于点O 的力R就是原力系的合力。 3、R0，LO0，原力系简化成一个力偶和一个作用 于点O 的力。这时力系也可合成为一个力。 说明如下： 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 简化结果的讨论 综上所述，可见： 4、 R=0，而LO=0，原力系平衡。 、平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不 为零时，则该力系可以合成为一个力。 、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主 矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 例题 3-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用 着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试 求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该 力系的最后的合成结果。 解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果： 求主矢R： 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 R O A B C x y 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 求主矩： （2）、求合成结果：合成为 一个合力R，R的大小、方向与 R相同。其作用线与O点的垂 直距离为： R/ O A B C x y Lo R d 34 平面任意力系简化结果的讨论.合力矩定理 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 平衡方程其他形式： A、B 的连线不和x 轴相垂直。 A、B、C 三点不共线。 平面任意力系平衡的充要条件： 力系的主矢等于零 ，又力系对任一点的主矩也 等于零。 平衡方程： 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 解： 1、取伸臂AB为研究对象 2、受力分析如图 y T PQE QD x B A EC D FAy FAx a c b B F A C QDQE l 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 P=2200N，吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。 有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, =25。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直 反力，以及拉索BF 的拉力。 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3、选列平衡方程： 4、联立求解，可得： T = 12456 N FAx= 11290 N FAy= 4936 N 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 y T PQE QD x B A EC D FAy FAx 解： 1、取梁AB为研究对象。 2、受力分析如图，其中Q=q.AB=1003=300N；作 用在AB的中点C 。 B A D Q NAy NAx ND C M y x B A D 1m q 2m M 例题 3-3 梁AB上受到一个均布载荷和一个力偶作 用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固定铰 支A 的反力。 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3、列平衡方程： 4、联立求解： ND= 475 N NAx= 0 NAy= -175 N 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 B A D Q NAy NAx ND C M y x 2580 2083 770 A BC T Q 解： 1、取机翼为研究对象。 2、受力分析如图. Q NAy NAx MA BC T A 例题 3-4 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水平 匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27 kN， 力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约 束力。 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 4、联立求解： MA=-38.6 kNm (顺时针） NAx= 0 NAy=-19.2 kN （向下） 3、列平衡方程： 35 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 Q NAy NAx MA BC T A 且A、B 的连线不平行于力系中各力。 由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平 衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。 平面平行力系平衡的充要条件： 力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对任 一点的矩的代数和也等于零。 平面平行力系的平衡方程： 36 平面平行力系的平衡 G NA Q W P NB AB 3.02.51.82.0 解： 1、取汽车及起重机为研究对象。 2、受力分析如图。 例题 3-5 一种车载式起重机，车重Q = 26kN，起重机伸臂重 G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重W = 31kN。尺寸如图 所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置 ，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。 36 平面平行力系的平衡 4、联立求解： 3、列平衡方程： 5、不翻条件：NA0 故最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN 36 平面平行力系的平衡 G NA Q W P NB AB 3.02.51.82.0 一、几个概念： 1、物体系 由若干个物体通过一定约束组成的系统 2、外 力 物体系以外任何物体作用于该系统的力 3、内 力物体系内部各物体间相互作用的力 二、物体系平衡方程的数目： 由n个物体组成的物体系，总共有不多于3n个独立 的平衡方程。 37 物体系的平衡与静不定问题的概念 静定 静不定 静不定 静不定 三、静定与静不定概念： 1、静定问题 当系统中未知量数目等于或少 于独立平衡方程数目时的问题。 2、静不定问题 当系统中未知量数目多于独立 平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。 37 物体系的平衡与静不定问题的概念 解： 1、取AC 段研究，受力分析如图。 例题 3-6 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链C 连 接起来，又用铰链A、B 与基础相联结。已知每段重 G=40 kN，重心分别在D、E 处，且桥面受一集中载荷 P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链 中的力。尺寸如图所示，单位是m。 物体系的平衡问题 P 3 D E AB C NCy NCx NAy NAx D A C 列平衡方程： 2、再取BC 段研究，受力分析如图。 列平衡方程： 物体系的平衡问题 P B C E NCy NCx NAy NAx D A C 联立求解：可得 NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN NAy= 42.5 kN NBy= 47.5 kN NCy= 2.5 kN NCx 和 NCx、 NCy 和 NCy是二对作用与反作用力。 物体系的平衡问题 解： 1、取CE 段为研究对象，受力分析如图。 P l/8 q BAD L CH E l/4 l/8 l/4l/4 L Q1 3l/8 C E H l/8 NC NE 例题 3-7 组合梁AC 和CE 用铰链C 相连，A端为固 定端，E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知： l =8 m，P=5 kN，均布载荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩 的大小L= 5kNm，试求固端A、铰链C 和支座E 的反 力。 物体系的平衡问题 列平衡方程： 2、取AC 段为研究对象，受力分析如图。 联立求解：可得 NE=2.5 kN （向上） NC=2.5 kN （向上） Q2P LA l/4 A CH l/8l/8 NA L Q1 3l/8 C E H l/8 NC NE 物体系的平衡问题 列平衡方程： 联立求解：可得 LA= 30 kNm NA= -12.5 kN Q2P LA l/4 A CH l/8l/8 NA 物体系的平衡问题 38 平面静力学在工程中的应用举例 1、桁架 一种由若干杆件彼此在两端用铰链连 接而成，受力后几何形状不变的结构。 如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。 一、概念： 2、平面桁架所有杆件都在同一平面内的桁架。 3、节 点 桁架中杆件的铰链接头。 4、杆件内力 各杆件所承受的力。 5、静定桁架 如果从桁架中任意抽去一根杆 件，则桁架失去形状的固定性。 38 平面静力学在工程中的应用举例 1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。 二、桁架计算的常见假设： 三、桁架结构的优点： 可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量， 节约材料。 2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。 3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上，这样的桁架称为理想桁架。 38 平面静力学在工程中的应用举例 四、计算桁架杆件内力的方法： 1、节点法 - 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。 2、截面法 - 应用平面任意力系的平衡条件， 研究桁架由截面切出的某部分的平衡。 38 平面静力学在工程中的应用举例 aaa a P1 A D C B EFP2 解法1:（节点法） 1、取整体为研究对象,受力分析如图. 列平衡方程： 例题 3-8 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力 P1=4 kN，水平力P2=2 kN。 联立求解： NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN 38 平面静力学在工程中的应用举例 P2 aaa a P1 A B C D EF NAy NB NAx 列平衡方程： 2、取节点A，受力分析如图。 联立求解： NAx NAy A S2 S1 38 平面静力学在工程中的应用举例 P2 aaa a P1 A B C D EF NAy NB NAx NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN 列平衡方程： 3、取节点F，受力分析如图。 S4 S1 S3 F 联立求解： 38 平面静力学在工程中的应用举例 P2 aaa a P1 A B C D EF NAy NB NAx 4、取节点D，受力分析如图。 列平衡方程： S3 S2 PD D S6 S5 联立求解： 38 平面静力学在工程中的应用举例 P2