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二次根式教材分析 卢静 2009年2月27日 QQ546425627 一、课时参考 二、中考考试说明的要求 三、总体认识 四、教学思路参考 五、具体建议 回归课本，抓好基础 知识拓展基础篇 知识拓展能力篇 提 纲 QQ546425627 一、课时参考：共9课时 21.1 二次根式2课时 21.2 二次根式的乘法2课时 21.3 二次根式的加减3课时 复习和小结 2课时 QQ546425627 二、中考考试说明对本章的要求 基本要求： 1、了解二次根式的概念，会确定二 次根式有意义的条件； 2、理解二次根式的加、减、乘、除 运算法则； 注：海淀区有自己的要求，后面具体分析中 有体现. QQ546425627 二、中考考试说明对本章的要求 略高要求： 1、会利用二次根式的性质进行化简； 2、能根据二次根式的性质对代数式作简 单变形； 3、在特定条件下，确定字母的值； 4、会进行二次根式的化简，会进行二次 根式的混合运算（二次根式的个数不超过 三个；不要求分母有理化）. 较高要求：无. QQ546425627 三、总体认识 1、中考中单独考察很少； 2、工具性特别强，对解决初中数学问题 十分重要； 3、根号是学生进入初中后最不易理解的 数学符号，根式具有很强的抽象性； 4、知识点讲解的难易程度不易把握； 5、教学中可以类比算术平方根的一些性 质类比引入和讲解. QQ546425627 四、教学思路参考 1、回归课本，落实好基础知识 ； 2、做好知识扩展 . 先给出难度级别： 例1、求使式子成立的x的取值范围. 基本要求： 略高要求： 较高要求： 先给出难度级别： 例2、计算、化简、应用 基本要求： 略高要求： 2、若|x|3，化简 3、已知x、y为实数且 求xy的算术平方根 4、已知：实数 的整数部分为，小数 部分为1-b，求： 的值 1、计算 较高要求(这是不要求掌握的) 已知： ，求下式的 倒数的算求平方根 已知 ，求 的值 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 复习篇： 1、复习无理数和实数的定义、了 解数系的扩充；如何在数轴上找等 无理数. 2、复习平方根、算术平方根的定 义和求解. 3、复习根号及其所代表的运算. 由知识结构图看本章教学的重难点 二 次 根 式 二次根式的 化简与运算 二次根式乘除 二次根式加减 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 21.1 “二次根式”的教学分析 1、二次根式的定义：形如（a0） 的式子叫做二次根式 关注2个基本性质： 关注课本经典例题： 例1 要使式子 有意义，字母x 的取值必须满足什么条件？ 例2 如 有意义，字母x 的取值必须满足什么条件？ 提 高 些 难 度 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 2、关注对 的讲解，理 解开方运算和乘方运算的互逆性 . 课本仅考虑了 的情形， 而不要求 的情形. 海淀要 求加上 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 关注课本的经典习题： 例3 求值 . 例4 求值 . 提 高 些 难 度 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 处理好对题目的认识： ？1、 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 2、 3、和学生辨析清楚如下概念之间的联系 和区别：平方根、算术平方根、立方根、 二次根式 . 4、学习二次根式的性质： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 总之，二次根式一章，开头不要太 着急，把定义和性质放慢讲细，练习要 到位.这部分概念性很强，是整章的重难 点，也是以后练习的理论基础. 注意老生常谈的问题： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 关注来自课本的综合问题： 课本第5页有习题： 例5 如图，在平面直 角坐标系中，A(2,3)、 B(5,3)、C(2,5)是三角形 的三个顶点，求BC的长. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 课本第9页拓广探索中有习题： 例6 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(2,1) 、C(3,2). （1）判断ABC的形状； （2）如果将ABC沿着 边AC所在的直线旋转， 求所得旋转体的体积. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 21.2 “二次根式的乘除”的教学分析 1、二次根式的乘法规定： 规定从 这样一些运算进 行比较得到的，体现了新课标“重体验”的 教学理念. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 关注课本的经典例题： 例1 求值 提 高 些 难 度 例2 化简 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 2、二次根式的除法规定： 关注课本的经典例题： 例2 计算 ； 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 用简单的题做铺垫讲解方法. 例3 计算 解法一： 解法二实际上就是“分母有理化”，课本 不要求介绍，海淀要求. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 解法二： 3、定义最简二次根式. 理解最简二次根式有2个特征： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或 因式. 建议：充分练习. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 21.3 “二次根式的加减”的教学分析 教材从实际问题出发，延续了整个教材的 编排理念. 明确，在有理数范围内成立的运算律在实 数范围内仍然成立. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 1、二次根式加减运算的规则：先 将二次根式化为最简二次根式，再 将被开方数相同的二次根式进行合 并. 作为整章节的核心知识，建议教学 中由浅入深： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 例1 计算 进一步：计算 再进一步：计算 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 2、关于“同类二次根式” 教材中没有讲解这个概念，建议还是给 学生. 例2 如果最简根式 是同类根式求m、n的值。 可以辅以练习加深理解. 3、二次根式的混合运算：注意运算顺 序和运算律的应用. 例3 计算 进一步：计算 再进一步：计算 ； 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 4、关于含字母的二次根式的运算： 课本关于“式” 的运算却是少而且简单， 如要抓基础回归课本，可以依据课本将 这部分练习简化 . 例4 计算 ； 通过综合问题增强学生对解题技巧的认识 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 例5 比较大小： 分析： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 5、关于分母有理化：课本回避了这个概. 海淀要求简单的分母有理化 . 如： 进一步练习： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. “教学活动”与“阅读思考”的教学分析 1、课本安排了2个活动，“活动2”对学生 会很有吸引力：做一个底面积为24平方 厘米，长、宽、高的比为4:2:1的长方体. 2、海伦秦九韶公式. 例 在ABC中，BC=4，AC=5，AB=6， 利用海伦-秦九韶公式，求ABC的面积. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 小结与复习的教学分析 1、针对课本的要求进行全面的练习. （A）最基础的复习和练习； （B）进行适当的知识拓展，后面有“ 基础篇”和“能力篇”供参考. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 例1 化简： 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 例2 复杂些的化简： 做些综合题： 例3 已知 ， 例4 （08年西城一模）20平面直角坐标 系xOy中，点A的坐标是（6，0），点P 满足AP=OP=6. （1）直接写出点P的坐标； （2）若点P在直线 上，求m的值 . 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 五、具体教学建议和分析 （一） 回归课本，抓好基础. 例5 已知： ， 求： 的值。 例6 （06北京）22 (第22题图) 图图图 五、具体教学建议和分析 （二）知识拓展基础篇 1、挖掘好二次根式中的隐含条件：灵 活运用 （a0）. 例1 判断下式有意义的条件. ； 例2 已知实数x、y满足 求9x+8y的值. 五、具体教学建议和分析 （二）知识拓展基础篇 例1 数轴上表示数a的点在原点的左边， 化简 . 例2 2、灵活运用 五、具体教学建议和分析 （二）知识拓展基础篇 3、对概念理解的考验：把根号外的式 子移入根号内. 例1 . 例2 . 五、具体教学建议和分析 （二）知识拓展基础篇 4、整数部分和小数部分：小数部分=原 数-整数部分. 考察了对无理数的估算. 例1 例2 已知 的整数部分为a，小数部 分为b，求 . 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 1、灵活运用二次根式的非负性，综合常 见的非负值进行解题，常用的有： 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 例2 设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是 两两不等的实数. 求 的值. 例1 经典例题 若实数x、y满足 ， 求x、y的值. 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 解法一：由二次根式的非负性得 将a=0代入原式得 ，所求为 解法二： 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 例3 整数根的个数是多少？ 解：由条件得： 因为是整数根，所以x只能取2、3. 将x=2代入方程，方程成立，x=2是方程的整 数根. 同理x=3也是方程的整数根. 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 2、分母有理化提升难度： 例1 把下列式子分母有理化 例2 进一步练习，化简 五、具体教学建议和分析 （三）知识拓展能力篇 例3 已知： ， 求： 的值. 例4 用归纳法化简求值 分析：对通项先分