2017年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释）

1 / 28 2017 年高考数学二诊试卷（成都市理科附答案和解释） 本资料为 档，请点击下载地址下载全文下载地址 2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 . 1已知复数 z=，则 ） A 1 1+ i 2设 前 n 项和， ， ） A 2B 0c 3D 6 3已知向量， =（ 3，）， R，则“ = 6”是“”的（ ） A充要条件 B充 分不必要条件 c必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4设函数 f（ x） =区间（ 0， 5）上随机取一个数 x，则 f（ x） 2 的概率为（ ） A B c D 5一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A B c 20D 40 6已知 x， y 满足条件（ k 为常数），若目标函数 z=x+3 28 的最大值为 8，则 k=（ ） A 16B 6c D 6 7定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输出的 的值为（ ） A B c 4D 6 8如图， 在正四棱锥 S E， c， 点 P 在线段 N 上运动时，下列四个结论： 其中恒成立的为（ ） A B c D 9若曲线 y=与曲线 y=（ s， t）处具有公共切线，则实数 a=（ ） A 2B c 1D 2 10已知 边长为的正三角形， 外接圆 o 的一条直径，为 边上的动点，则的最大值为（ ） A 3B 4c 5D 6 3 / 28 11已知双曲线的左、右焦点分别为 c， 0）， c，0）， A， x+c） 2+c 位于 双曲线 ） A B c D 12若对 ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3，求的最大值与最小值之和是（ ） A 4B 6c 8D 10 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13由直线 x=1， x=2，曲线及 14已知角的始边是 x 轴非负半轴其终边经过点，则 15在直角坐标系 ，点 A（ 0， 3），直线 l： y=2x4，设圆 ，圆心在 圆 |A|=2|o|，则圆心 16数列 足，且，则 4 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺4 / 28 等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度 ，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在 15 65的人群中随机调查 50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表： 年龄 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65 支持“延迟退休”人数 5101021 （）由以上统计数据填下面 2 2 列联表，并问是否有90%的把握认为以 45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上合计 支持 不支持 合计 （）若从年龄在 45， 55）， 55， 65的被调查人中各随机选取两 人进行调查，记选中的 4 人中支持“延迟退休”人数为，求随机变量的分布列及数学期望 参考数据： P（ k） 5 / 28 18已知函数 f（ x） =x（ 0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形 a， b， c 为 ， B， 满足 （）证明： b+c=2a； （）若 b=c，设 ，（ 0）， ，求四边形 积的最大值 19在斜三棱柱 面 面 B=a， D 是 （ 1）求证： 面 （ 2）在侧棱 确定一点 E，使得二面角 E 20已知两点 A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），动点 （ 1）求动点 的方程； （ 2） 与 y 轴正半轴的交点，曲线 N，使得 以 H 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底） （）求 f（ x）的单调区间； （）若对任意给定的 0， e，在区间（ 0， e上总6 / 28 存在两个不同的 i=1， 2），使得 f（ =g（ 立，求 a 的取值范围 22直角坐标系中曲线 为参数） （ 1）求曲线 （ 2）经过点（ 0， 1）作直线 l 交曲线 c 于 A， B 两点（ 上方），且满足 |B|=2|A|，求直线 2017年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分 ，共 60分 . 1已知复数 z=，则 ） A 1 1+ i 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为 a+a， b R）的形式，即可得到选项 【解答】解：复数 z= 所以它的共轭复数为： 1 i 故选 A 2设 前 n 项和， ， 7 / 28 ） A 2B 0c 3D 6 【考点】等差数列的通项公式 【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差 d， 再利用等差数列的通项公式即可求出答案 【解答】解：设等差数列 公差为 d， ， 2+4d=3（ 2+2d），解得 d= 2 则 a3=d=2+2（ 2） = 2 故选： A 3已知向量， =（ 3，）， R，则“ = 6”是“”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 c必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】由 1（ 2+） 2 2=0，即可得出 【解答】解： =（ 1， 2） +（ 3，） =（ 2， 2+） 由 1（ 2+） 2 2=0， = 6 因此“ = 6”是“”的充要条件 故选： A 4设函数 f（ x） =区间（ 0， 5）上随机取一个数 x，则 f（ x） 2 的概率为（ ） 8 / 28 A B c D 【考点】几何概型 【分析】解不等式 f（ x） 2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解： x（ 0， 5） 由 f（ x） 2， 得 2 解得 0 x 4， 根据几何概型的概率公式可得若从区间 （ 0， 5）内随机选取一个实数 x， f（ x） 2的概率为： =， 故选 D 5一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A B c 20D 40 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】几何体是四棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算 【解答】解：由三视图知： 该几何体是四棱锥，如图： 9 / 28 其中 面 ，四边形 D=4， 几何体的体积 V=（ 1+4） 4 4= 故选： B 6已知 x， y 满足条件（ k 为常数），若目标函数 z=x+3，则 k=（ ） A 16B 6c D 6 【考点】简单线性规划 【分析】由目标函数 z=x+3，我们可以画出满足条件（ k 为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数 参后即可得到 k 的取值 【解答】解：画出 x， k 为常数）可行域如下图： 由于目标函数 z=x+3y 的最大值为 8， 可得直线 y=x+3 A（ 2， 2）， 使目标函数 z=x+3 将 x=2， y=2代入 2x+y+k=0 得： k= 6 故选 B 10 / 28 7定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输出的 的值为（ ） A B c 4D 6 【考点】程序框图 【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是：计算并输出分段函数的值，比较 a， b 的值，即可计算得解 【解答】解：由已知的程序框图可知本程序的功能是： 计算并输出分段函数 S=的值， a=， = a=， b=， 可得： a b， S=（） = 故选： B 8如图，在正四棱锥 S E， c， 点 P 在线段 N 上运动时，下列四个结论： 11 / 28 其中恒成立的为（ ） A B c D 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【分析】如图所示， 连接 交于点 o，连接 E， （ 1）由正四棱锥 S 得 面 而得到 得 面 已知 E， N 分别是中点，利用三角形的中位线可得 E N是平面 面 而得到 面 P （ 2）由异面直线的定义可知： 此不可能 （ 3）由（ 1）可知：平面 面 得 面 （ 4）由（ 1）同理可得： E平面 用反证法证明：当 P 与不 重合时， 【解答】解：如图所示，连接 o，连接 E， 对于（ 1），由正四棱锥 S 得 面 12 / 28 BD=o， 面 E， N 分别是 E N E N=N， 平面 面 面 正确 对于（ 2），由异面直线的定义可知： 可能 此不正确； 对于（ 3），由（ 1）可知：平面 面 面 此正确 对于（ 4），由（ 1）同理可得： E平面 面 E，与 E=此当 垂直即不正确 故选： A 9若曲线 y=与曲线 y=（ s， t）处具有公共切线，则实数 a=（ ） A 2B c 1D 2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率，利用向量相等，有公共点解方程即可求出 a 的值 【解答】解：曲线 y=的导数为 ： y =，在 P（ s， t）处的斜率为： k= 曲线 y=y =，在 P（ s， t）处的斜率为：13 / 28 k= 曲线 y=与曲线 y=它们的公共点 P（ s， t）处具有公共切线， 可得，并且 t=， t= 即，解得 解得 s2=e 可得 a=1 故选： c 10已知 边长为的正三角形， 外接圆 o 的一条直径，为 边上的动点，则的最大值为（ ） A 3B 4c 5D 6 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】首先，以边 在直线为 x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后，对点的取值情况分三种情形进行讨论，然后运用数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，求解其最大值 【解答】解：如图所示，以边 以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 该正三角形 ， A（， 0）， B（， 0）， c（ 0， 3）， E（ 0， 1）， F（ 0， 3）， 14 / 28 当点在边 点（ 0）， 则 =（ 1）， =（ 3）， = ， 的最大值为 3， 当点在边 直线 直线 x+y 3=0， 设点（ 3 则 0 =（ 4）， =（ =24 0 的最大值为 0， 当点在边 直线 直线 x y+3=0， 设点（ 3+则 0， =（ 4）， =（ = 44 0， 的最大值为 3， 15 / 28 综上，最大值为 3， 故选： A 11已知双曲线的左、右焦点分别为 c， 0）， c，0）， A， x+c） 2+c 位于 双曲线 ） A B c D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】连接 双曲线的定义，可得 |2a+2c，|2c 2a，在 ，和 ，运用余弦定理求得 得 ，即有 ，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值 【解答】解：连接 由双曲线的定义，可得 | |2a， | |2a， 由 |2c， 可得 |2a+2c， |2c 2a， 在 得 ， 在 得 ， 由 得 ，即有 6 / 28 ， 可得 +=0， 化为 23， 得 23e 1=0，解得 e=（负的舍去）， 故选： c 12若对 ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3，求的最大值与最小值之和是（ ） A 4B 6c 8D 10 【考点】函数的最值及其几何意义 【分析】构造 h（ x） =g（ x） 3，根据函数奇偶性的定义可判定函数 h（ x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案 【解答】解： ， n R，有 g（ +n） =g（） +g（ n） 3， 令 =n=0时， g（ 0） =g（ 0） +g（ 0） 3， g（ 0） =3， 令 = g（ 0） =g（ n） +g（ n） 3， g（ x） +g（ x） =6， 令 h（ x） =g（ x） 3，则 h（ x） +h（ x） =0 即 h（ x）为奇函数， 17 / 28 奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数， g（ x） ax+g（ x） ， 设 F（ x） =，则 F（ x） = F（ x），函数为奇函数，最大值与最小值之和为 0， 的最大值与最小值之和是 6 故选 B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13由直线 x=1， x=2，曲线及 【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】先确定积分上限为 2，积分下限为 1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】解：曲线，直线 x=1和 x=2及 2= 故答案为： 14已知角的始边是 x 轴非负半轴其终边经过点，则 【考点】任意角的三角函数 的定义 18 / 28 【分析】由题意， =， =，利用 ） = 得结论 【解答】解：由题意， =， = ） = 故答案为 15在直角坐标系 ，点 A（ 0， 3），直线 l： y=2x4，设圆 ，圆心在 圆 |A|=2|o|，则圆心 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】设（ x， y），由 A=2o，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点的轨迹为以（ 0， 1）为圆心， 2为半径的圆，可记为圆 D，由在圆 c 上，得到圆 c 与圆 D 相切，根据两圆的半径长，能求出结果 【解答】解：设点（ x， y），由 A=2o，知： =2， 化简得： y+1） 2=4， 点的轨迹为以（ 0， 1）为圆心， 2 为半径的圆，可记为圆 D， 又点在圆 c 上存在唯一一点，使 |A|=2|o|， 圆 c 与圆 |1 或 ， |，解得 a=0或 a= 19 / 28 圆心 故答案为： 16数列 足，且，则 4 【考点】数列递推式 【分析】先由数列的递推公式得到 =，再用累加法求出得 + +=，根据，得到 ， 再根据基本不等式即可求出最值 【解答】解：， 1=1）， =， =， =， =， ， 累加可得 + +=， ， =2， 2=， 即 1=， 23 0， 20 / 28 4 （ +） 2 2 =2 2 =，当且仅当 等号， 故答案为： 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在 15 65的人群中随机调查 50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表： 年龄 15， 25） 25， 35） 35， 45） 45， 55） 55， 65 支持“延迟退休”人数 5101021 （）由以上统计数据填下面 2 2 列联表，并问是否有90%的把握认为以 45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上合计 支持 不支持 合计 （）若从年龄在 45， 55）， 55， 65的被调查人中各随21 / 28 机选取两人进行调查，记选中的 4 人中支持“延迟退休”人数为，求随机变量的分布列及数学期望 参考数据： P（ k） 【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图 【分析】（）根据统计数据 ，可得 2 2列联表，根据列联表中的数据，计算 可得到结论； （）的可能取值有 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，可得的分布列及数学期望 【解答】解：（） 2 2列联表： 45岁以下 45岁以上合计 支持 25328 不支持 15722 合计 401050 ， 所以有 90%的把握认为以 45岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； （）所有可能取值有 0， 1， 2， 3， P（ =0） =， 22 / 28 P（ =1） =+=， P（ =2） =+=， P（ =3） =， 所以 的分布列是 0123 P 所以的期望值是 0 +1 +2 +3 = 18已知函数 f（ x） =x（ 0）在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形 a， b， c 为 ， B， 满足 （）证明： b+c=2a； （）若 b=c，设 ，（ 0）， ，求四边形 积的最大值 【考点】两角和与差的正弦函数；余弦定理 【分析】（）由题意知，解之可得，代入已知条件化简可得 由正弦定理可得 b+c=2a； （）由条件和（）的结论可得 等边三角形，可得，可化简为，由的范围可得结论 【解答】解：（）由题意知：，解得 ， 23 / 28 A+B） +A+c） =2 b+c=2a （）因为 b+c=2a， b=c，所以 a=b=c，所以 等边三角形， = =， （ 0，）， 当且仅当，即时取最大值， 最大值为 19在斜三棱柱 面 面 B=a， D 是 （ 1）求证： 面 （ 2）在侧棱 确定一点 E，使得二面角 E 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】（ 1）证明 有 1c，D 为 可证明： 面 24 / 28 （ 2）求出平面的法向量，利用二面角 E A 的大小为，即可得出结论 【解答】（ 1）证明：面 有 又 1c， （ 2）解：如图所示以点 x 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 c 有 A（ a， 0， 0），B（ a， a， 0）， 0， 0， a）， 0， a， a）， a， 0，a）， 设 E（ x， y， z），且，即有（ x a， y a， z） =（ a，0， a）， 所以 E 点坐标为（ 1） a， a， a） 由条件易得面 设平面 由可得， 令 y=1，则有， 则 =，得 所以，当时，二面角 E A 的大小为 20已知两点 A（ 2， 0）、 B（ 2， 0），动点 25 / 28 （ 1）求动点 的方程； （ 2） 与 y 轴正半轴的交点，曲线 N，使得 以 H 为直角顶点的等腰直角 三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 【分析】（ 1）设点 x， y）（ y 0），求 用，化简可得动点 的方程； （ 2）设能构成等腰直角三角形 中 H 为（ 0， 1），由题意可知，直角边 H， 可设H 所在直线的方程为 y=，（不妨设 k 0）则 定交点、 N 的坐标，求出 H 的长，利用|H|=|即可求得结论 【解答】解：（ 1）设点 P 的坐标为（ x， y）（ y 0），则， ，化简得， 动点 P 的轨迹 E 的方程为（ y 0）注：如果未说明 y 0，扣 （ 2）设能构成等腰直角三角形 中 0， 1）， 由题意可知，直角边 H， x 轴，故可设 y=，（不妨设 k 0） 则 求得交点，（另一交点 H（ 0，1） ， 26 / 28 用代替上式中的 k，得， 由 |H|=|得 k（ 4+=1+4 4k 1=0（ k 1）（ 3k+1） =0， 解 得： k=1或， 当 k=1时， 1；当 率；当H 斜率时， 综上述，符合条件的三角形有 3 个 21已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 为自然对数的底） （）求 f（ x）的单调区间； （）若对任意给定的 0， e，在区间（ 0， e上总存在两个不同的 i=1， 2），使得 f