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高中物理思维方法讲座 南京市金陵中学 朱焱 2009年4月16日 数学方法在物理解题中的应用 物理模型在物理解题中的应用 等效思想在物理解题中的应用 对称思想在物理解题中的应用 守恒思想在物理解题中的应用 数学作为工具学科，其思想、方法和 知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究 的过程中，为物理概念、定律的表述提供 简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象 思维和逻辑推理提供有效方法.为物理学 的数量分析和计算提供有力工具.中学物 理教学大纲对学生应用数学工具解决物理 问题的能力作出了明确要求. 数学方法在物理解题中的应用 高考物理试题的解答离不开数学知识和 方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能 力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理 试题的求解过程实质上是一个将物理问题转 化为数学问题经过求解再次还原为物理结论 的过程。 物理解题运用的数学方法通常包括方 程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何 (图形辅助)法、图象法、微元法等. 1.方程（组）法 物理习题中，方程组是由描述物理情景 中的物理概念，物理基本规律，各种物理 量间数值关系，时间关系，空间关系的各 种数学关系方程组成的。 弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立 物理模型. 按照物理情境中物理现象发生的先后顺序， 建立物理概念方程，形成方程组骨架. 据具体题目的要求以及各种条件，分析各物 理概念方程之间、物理量之间的关系，建立 条件方程，使方程组成完整的整体. 对方程求解，并据物理意义对结果作出表述 或检验. 【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当 绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶， 恰在这时一辆自行车以6m/s的速度驶来， 从后边赶过汽车，试求： （1）汽车从路口开动后，在追上自行车 之前经过多长时间相距最远？此时距离是 多少？ （2）什么时候汽车追上自行车，此时汽 车的速度是多少？ 2.比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量， 直接列出已知和未知的比例式进行计算， 使解题过程大为简化.应用比例法解物理题 ，要讨论物理公式中变量之间的比例关系 ，清楚公式的物理意义，每个量在公式中 的作用，所要讨论的比例关系是否成立. (1)比例条件是否满足：物理过程中的变量 往往有多个.讨论某两个量比例关系时要注 意只有其他量为常量时才能成比例. (2)比例是否符合物理意义：不能仅从数学 关系来看物理公式中各量的比例关系，要 注意每个物理量的意义(例：不能据RU/I 认定为电阻与电压成正比). (3)比例是否存在：讨论某公式中两个 量的比例关系时，要注意其他量是否能 认为是不变量，如果该条件不成立，比 例也不能成立.(串联电路中，不能根据 U2/R ，就得出P与R成反比的结论 ，因为R变化的同时，U随之变化而并非 常量) 【例2】如图所示，光滑的半球形物体固定 在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑 轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小 球静止.现缓慢地拉绳，在使小球 沿球面由A到B的过程中，半球对小 球的支持力N和绳对小球的拉力T的 大小变化情况是 ( ) A.N变大，T变小 B.N变小，T变大 C.N变小，T先变小后变大 D.N不变，T变小 3.数列法 凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、 重复性的共同特点，但每一个重复过程均不 是原来情形的“绝对重复”，也就是说重复 中有变化，随着物理过程的重复，某些物理 量逐步发生着“前后有联系的变化”.该类问 题求解的基本思路为： （1）逐个分析开始的几个物理过程； （2）利用归纳法从中找出物理量的变化 通项公式(是解题的关键)，最后分析整个 物理过程，应用数列特点和规律解决物理 问题； （3）无穷数列的求和，一般是无穷递减 等比数列，有相应的公式可用. 【例3】一弹性小球自h0=5 m高处自由下落 ，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小 到碰前的7/9，不计每次碰撞时间，计算小 球从开始下落到停止运动所经过的路程和时 间. 【分析】考生若不能通过对开始的几个重复 的物理过程的正确分析，归纳出位移和时间 变化的通项公式，将导致无法对数列求和， 得出答案. 【解答】小球第一次落地时速度为v0 v0 =10 m/s 则：第二第n次落地速度分别为： v1 v0，v2（ ）2 v0， vn（ ）n v0 小球开始下落到第一次与地相碰经过的路 程为h0 =5m，小球第一次与地相碰到第二次 与地相碰经过的路程是： L （ ）2 小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过 的路程为L， L （ ）2 由数学归纳法可知，小球第n次到第n次 与地相碰经过的路程为Ln： Ln（ ）2n 故整个过程总路程s为： +（LLLn） 10（）2（）4（）2n 可以看出括号内的和为无穷等比数列的和. 由等比无穷递减数列公式Sn 得： 20.3 m 小球从开始下落到第一次与地面相碰经过 时间：t 小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经 过的时间为： t 同理可得：tn（ ）n tttttn=. 4.几何法（圆的知识）应用 与圆有关的几何知识在力学部分和电学部 分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做 圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半 径的确定上。 (1)依据切线的性质定理确定：从已给的圆 弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过 切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心 ，圆心与切点的连线为半径. (2)依据垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦 ，并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦 与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项)来确定半径： 由BECEEDCE（2RCE） 得 也可用勾股定理得到： B（CCE）EB R2（RCE）B 得 此两种求半径的方法，常用于带电粒子在 匀强磁场中运动的习题中. 【例4】如图离子枪射出方向为长度d的平 行金属板MN和PQ之间的中线，离子枪距 金属板水平距离为d，整个装置处在磁感应 强度为B的方向向里的匀强磁场 之中，初速为零的负离子经过 电势差为U的电场加速后，从 离子枪T中水平射入磁场.(不考 虑重力)求：离子荷质比（ 、m分别是离子的电量与质量） 在什么范围内，离子才能打在金属板上? 答案： 理想化模型就是为便于对实际物理问题进 行研究而建立的高度抽象的理想客体.高考命 题以能力立意，而能力立意又常以问题立意 为切入点，千变万化的物理命题都是根据一 定的物理模型，结合某些物理关系，给出一 定的条件，提出需要求的物理量的.而我们解 题的过程，就是将题目隐含的物理模型还原 并求出结果的过程. 物理模型在物理解题中的应用 （1）通过审题，摄取题目信息.如：物理现 象、物理事实、物理情景、物理状态、物理 过程等. （2）弄清题目所给信息中什么是主要因素. （3）寻找与已有信息（某种知识、方法、模 型）的相似、相近或联系，通过类比联想或 抽象概括，或逻辑推理，或原型启发，建立 起新的物理模型，将新情景 “难题”转化为 常规命题. （4）选择相关的物理规律求解. 【例5】如图所示,在光滑的水平面上静止 着两小车A和B，在A车上固定着强磁铁， 总质量为5 kg,B车上固定着一个闭合的螺 线管.B车的总质量为10 kg.现给B车一个水 平向左的100 Ns瞬间冲量，若两车在运动 过程中不发生直 接碰撞，则相互 作用过程中产生 的热能是多少？ 【分析】以动量守恒定律、能的转化守恒 定律、楞次定律等知识点为依托，考查分 析、推理能力，等效类比、模型转换的知 识迁移能力.通过类比等效的思维方法将该 碰撞等效为子弹击木块（未穿出）物理模 型，是切入的关键，也是考生思路受阻的 障碍点.由于感应电流产生的磁场总是阻碍 导体和磁场间相对运动，A、B两车之间就 产生排斥力，以A、B两车为研究对象， 它们所受合外力为零.动量守恒，当A、B 车速度相等时，两车相互作用结束，据以 上分析可得： I=mBvB=(mA+mB)v, v=6.7 m/s 从B车运动到两车相对静止过程，系统减 少的机械能转化成电能，电能通过电阻发 热，转化为焦耳热. 据能量转化与守恒： Q= mBvB2 (mA+mB)v2=166.7 J 【例6】在原子反应堆中抽动液态金属或在 医疗器械中抽动血液等导电液体时，由于不 允许传动的机械部分与这些液体相接触，常 使用一种电磁泵，如图所示为这种电磁泵的 结构.将导管放在磁场中，当电流通过导电 液体时，这种液体即被驱动.如果导管中截 面面积为ah，磁场的宽度为L， 磁感应强度为B，液体穿过磁 场区域的电流强度为I求驱动 力造成的压强差为多少？ 【分析】考生惯于已知物理模型的传统命题 的求解，在此无法通过原型启发，将液体类 比为磁场中导体，建立起熟知的物理模型， 无法使问题切入.此题背景是电磁泵问题， 它的原理是，当电流流过液体时，液体即为 载流导体，在磁场中将受到安培力作用，力 的方向由左手定则判定，所以液体将沿v的 方向流动.液体通电后可视为导体，从电磁 场的原理图中可抽象出如图所示的模型，既 通电导体在磁场中受力模型.以载流导体为 研究对象，根据安培力公式，载流导体受到 的安培力（即液体受力）为： F=BIh 由压强公式，且S=ah p= 等效法亦称“等效替代法”，是科学 研究中常用的思维方法之一.掌握等效方 法及应用，体会物理等效思想的内涵，至 关重要。高考命题愈加明显地渗透着物理 思想、物理方法的考查，等效思想和方法 作为一种迅速解决物理问题的有效手段， 经常体现于高考命题中. 等效思想在物理解题中的应用 等效方法是在保证某种效果（特性和关系 ）相同的前提下，将实际的、复杂的物理问题 和物理过程转化为等效的、简单的、易于研究 的物理问题和物理过程来研究和处理的方法. 运用等效方法处理问题的一般步骤为： （1）分析原事物（需研究求解的物理问题） 的本质特性和非本质特性. （2）寻找适当的替代物（熟悉的事物），以 保留原事物的本质特性，抛弃非本质特性. （3）研究替代物的特性及规律. （4）将替代物的规律迁移到原事物中去. （5）利用替代物遵循的规律、方法求解，得 出结论. 【例7】 （物理过程的等效）如图所示，已 知回旋加速器中，D形盒内匀强磁场的磁感 应强度B=1.5 T，盒的半径R=60 cm，两盒间 隙d=1.0 cm，盒间电压U=2.0104 V，今 将粒子从近于间隙中 心某点向D形盒内以近似 于零的初速度垂直B的方 向射入，求粒子在加速 器内运行的总时间. 考生对粒子运动过程缺乏分解和总体把 握，不能运用等效办法求解在电场中加速 的时间，陷入逐段分析求和的泥潭，导致 困难。 在间隙处电场中运动时间为tE，因每次 时间不等（且次数又多，分段算将十分繁 琐），可将各段间隙等效“衔接”起来，展 开成一准直线，则粒子在电场中运动就可 视作初速度为零的匀加速直线运动。 【例8】 （物理模型的变换等效）如图所 示的甲、乙两个电路中电源电动势E和内 电阻r已知，定值电阻R0已知，求电阻R 调至多大时，R上获得的电功率最大，其 最大值为多少？电源 在什么条件下输出 功率最大？ 甲乙 考查综合分析能力及运用已学知识灵活 解决物理问题的能力。考生往往借助常规 思路，据闭合电路欧姆定律及直流电路特 点，写出R的功率表达式，讨论求解，繁 杂易错，思维缺乏灵活性. 本题用隔离法分析比较巧妙，设沿虚线 将电路隔离成左、右两部分，左边部分可 以看作一个新的电源. 对（甲）图电路来说，新电源的电动势为 E=E，而内电阻r=r+R0.简化成了由等效电 源（E,r）与电阻R连成的最简单电路.由电 源的输出功率（即外电路上R获得的电功率 ）与外电阻R的关系求解 。 【例9】如图所示，在水平正交的匀强电场 和匀强磁场中，半径为R的光滑绝缘竖直圆 环上，套有一个带正电的小球，已知小球 所受电场力与重力相等，小球在环顶端A点 由静止释放，当小球运动的圆心角为多大 时，所受磁场力最大？ 1.领会物理情景，选取研究对象. 在仔细审题的基础上，通过题目的条件 、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程 ，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究 对象如运动的物体、运动的某一过程或某 一状态. 对称思想在物理解题中的应用 2.透析研究对象的属性、运动特点及规律 . 3.寻找研究对象的对称性特点. 在已有经验的基础上通过直觉思维，或借 助对称原理的启发进行联想类比，来分析挖 掘研究对象在某些属性上的对称性特点.这 是解题的关键环节. 4.利用对称性特点，依物理规律求解. 【例10】 （时间对称）一人在离地H高度 处，以相同的速率v0同时抛出两小球A和B ，A被竖直上抛，B被竖直下抛，两球落地 时间差为t ，求速率v0. 【分析】考生陷于对两运动过程的分析， 试图寻找两过程中速度、时间的关联关系 求解，而不能从宏观总体上据竖直上抛时 间的对称性上切入. 【解答】对于A的运动，当其上抛后再落回 抛出点时，由于速度对称，向下的速度仍为 v0，所以A球在抛出点以下的运动和B球完全 相同，落地时间亦相同，因此，t就是A球 在抛出点以上的运动时间，根据时间对称， 可以求解。 【例11】 （镜物对称）如图所示，设有两 面垂直于地面的光滑墙A和B，两墙水平距 离为1.0 m，从距地面高19.6 m处的一点C 以初速度为5.0 m/s，沿水平方向投出一小 球，设球与墙的碰撞为弹 性碰撞，求小球落地点距 墙A的水平距离.球落地前 与墙壁碰撞了几次？（忽 略空气阻力） 【分析】考生有可能陷于逐段分析求解 的泥潭，而不能依对称性将整个过程等 效为一个平抛的过程，依水平位移切入 求解. 【解答】如图，设小球与墙壁碰撞前的 速度为v，因为是弹性碰撞，所以在水平 方向上的原速率弹回，即v=v；又墙 壁光滑，所以在竖直方向上速率不变， 即v=v， 从而小球与墙壁碰撞前后的速度v和v 关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无墙壁 时小球继续前进的轨迹关于墙壁对称， 以后的碰撞亦然，因此，可将墙壁比作 平面镜，把小球的运动转换为统一的平 抛运动处理， 在物理变化的过程中，常存在着某些不 变的关系或不变的量，在讨论一个物理变 化过程时，对其中的各个量或量的变化关 系进行分析，寻找到整个过程中或过程发 生前后存在着的不变关系或不变的量，则 成为研究这一变化的过程的中心和关键.这 就是物理学中最常用到的一种思维方法 守恒法. 守恒思想在物理解题中的应用 人们在认识客观世界的过程中积累了大 量经验，总结出许多守恒定律.建立在守恒 定律之下的具体的解题方法守恒法可 分为：动量守恒法，能量转化与守恒法， 机械能守恒法，电荷守恒法及质量守恒法 等.动量守恒和能量守