概率论与数理统计第15讲.ppt

一、随机变量方差的概念及性质 二、例题讲解 三、重要概率分布的期望和方差 第二节 方 差 四、小结 由第一节知道，随机变量的数学期望可以反映 随机变量取值的平均程度，但仅用数学期望描 述一个随机变量的取值情况是远远不够的。 例如：以手表的日走时误差为例:对于甲乙两种 牌号的手表，它们的日走时误差分别为X， Y， 并分别具有如下的分布列: 容易算得,甲乙两种牌号的手表的数学期望都是 0秒，现问,甲乙两种牌号的手表哪一种更准确？ 但仔细分析会发现甲牌号的手表优于乙牌号的. 从数学期望是分不出优劣的。 甲:80%的手表误差为0,只有20%分散在0的两侧; 乙:40%的手表误差为0,大部分60%分散在0的两侧; 所以，考虑是否可用一个数字指标来衡量一个 随机变量离开它的期望值的偏离程度？ 这是本节所讨论的问题。 任给随机变量X，EX是其数学期望， 显然，|X-EX|反映了偏离的大小， 由于绝对值有诸多不便，所以用(X-EX)2去衡量这 个偏差， 从而(X-EX)2仍为随机变量， 所以用(X-EX)2的平均值去衡量离开它的平均值EX 的偏离程度， 引入定义： 1. 方差的定义 一、随机变量方差的概念及性质 (1)由定义知,方差是r.v.X的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 . 说 明 (2)应当注意: 对随机变量X而言,其数学期望E(X)是一常数, 而X-E(X) 与X-E (X)2是随机变量. 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散 程度的量.如果D(X)值大, 表示X 取值分散程度大, E(X)的代表性差;而如果D(X) 值小, 则表示X 的取 值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好. 2. 方差的意义 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 3. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 证明 (2) 利用公式计算 4. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有D(C)=0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 (3) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 (4) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 证明 证明 结论： (4) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 若X,Y不独立, 则由上面的证明过程不难看出： 推广 (证明略) 5、切比雪夫(Chebyshev)不等式 设随机变量X具有期望E(X)=,方差D(X)=2存在， 则对于任给 0,有不等式 得 证明 取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式的另一种形式为 (a)由切比雪夫不等式可以看出，若D(X)越小,则事件 |X- | 的概率越大，即随机变量X取值集中在期 望附近的可能性越大. 由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量 取值的离散程度. 说明： (b) 可以利用切比雪夫不等式, 在分布未知的情况下,而 方差已知时, 估计出X 落在区间(E(X)- , E(X)+ ) 内的 概率（较粗糙）; (c) 因为不等式对任意的 均成立，取 3，得 可见, 对任给的分布, 只要期望E(X)和方差 2存在, 则随机变量取值偏离E(X)超过3 的概 率是很小的,小于0.111. 例1：设随机变量 X 的数学期望E(X )=、方差 D(X )= 2 0， 记 二、例题讲解 解： 称X *为 X 的标准化随机变量. y 解 例2 于是 y 1.常见的离散型随机变量的均值及方差: 三、几种重要随机变量的数学期望及方差 (1) 二项分布 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二 项分布, 其分布律为 若 XB(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望和方差. y 可见，服从参数为n和p的二项分布的随 机变量X的数学期望是np. XB(n,p), 若设 则 X= X1+X2+Xn = np i=1,2，n 因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p 所以 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p y XB(n, p), 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数 . 若设i=1,2，n 故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, = p- p2= p(1- p) 则 X= X1+X2+Xn i=1,2，n 于是 由于X1,X2,Xn相互独立 = np(1- p) y 则有 (2) 泊松分布 y 所以 y (1) 均匀分布 则有 结论 均匀分布的数学期 望位于区间的中点. 2.常见的连续型随机变量的均值及方差: y (2) 指数分布 则有 y (3) 正态分布 则有 y y 这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变 量X取值的集中位置，反映了X的平均值。 例: 两边对x求导数，得 显然, 当x=E(X)时 故当x=E(X)时f(x)取到最小值，最小值为 y 例1 设随机变量X服从参数为的泊松分布,且 则 例2 掷骰子100次，则点数之和的数学期望 为 _，方差为_. 例3 已知随机变量X的概率密度是 则X的数学期望E(X)=_,方差D(X)=_. 四、小结 1. 方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的 量. 如果D(X)值大,表示X 取值分散程度大, E(X) 的代表 性差; 而如果D(X)值小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. 2. 方差的计算公式 3. 方差的性质 4. 契比雪夫不等式 例: 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y ) 解: 1 1 0 y 1 1 0 y 1 1 0 y 练习:在每次试验中, 事件A发生的概率为0.5, 利用 切比雪夫不等式估计: 在1000次独立试验中, 事件A 发生的次数在400600