高考一轮复习课件：平面向量基本定理及坐标表.ppt

平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 高三第一轮复习（第一课时） (1)定义 已知两个 向量a 和b，作 OA=a,OB=b， 则 AOB= 叫做向量a与b 的夹角(如图). 非零 1.两个向量的夹角 (2)范围 向量夹角的范围是 ,a与b同向时,夹角 =_ ; a与b反向时,夹角= . 0180 0 180 90ab 不平行 (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于平 面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a = . 其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把 向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 1e1+2e2 基底 互相垂直 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，有 且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj . 把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 叫 做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标. a=xi+yj a=(x,y), (x,y) (x,y) (x,y) 向量OA的坐标(x,y) x y 设OA=xi+yj,则 就是终点A的 坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立 (O是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算 (1) 加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个向 量的坐标等于该向量的 坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线 a= .x1y2-x2y1=0 终点 始点 b 如右图，在ABC中，点M是 边BC的中点，点N在边AC上 ，且AN=2NC.AM与BN相交 于点P，求AP:PM的值. 【分析分析】本题可先利用平面向量基本定理设出 ，然 后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定 参数的值. 考点一考点一 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用 【解析解析】设BM=e1,CN=e2, 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. A,P,M和B,P,N分别共线, 存在实数,使AP=AM=-e1-3e2, BP=BN=2e1+e2, 故BA=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2, +2=2 = 3+=3, = . 故AP= AM,即AP:PM=4:1. 由基本定理，得解得 【评析评析】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题 中两次使用三点共线.注意方程思想的应用. （2）应注意平面几何中，平行线截线段成比例在 此类问题中的应用. （3）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础. 应根据条件灵活应用，熟练掌握. 对应演练对应演练 设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=OA+OB且 +=1(,R). 证明:P点在AB上，AP与AB共线. AP=tAB(tR). OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB. 令=1-t，=t，则有OP=OA+OB,+=1 (,R). 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且 CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. 【分析分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起 点、终点坐标的关系求解. 考点二考点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n= 5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1. 解得 【评析评析】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数 乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先 求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及 正确使用运算法则. (3)CM=OM-OC=3c, OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). M(0,20).又CN=ON-OC=-2b, ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), N(9,2).MN=(9,-18). 对应演练对应演练 已知A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四 边形的第四个顶点D的坐标. 设D的坐标为(x,y). (1)若是 ABCD,则由AB=DC得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y), -1-x=-1 -2-y=2, x=0,y=-4. D点的坐标为(0,-4)(如图中的D1). (2)若是 ADBC,则由AD=CB得 (x,y)-(1,0)=(0,2)-(-1,-2), 即(x-1,y)=(1,4).解得x=2,y=4. D点坐标为(2,4)(如图中的D2). (3)若是 ABDC,则由AB=CD得(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2), 即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0. D点的坐标为(-2,0)(如图中的D3). 综上所述,以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的 坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0). 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列 问题: (1)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d. 【分析分析】 (1)由两向量平行及两向量平行的条件得 出关于k的方程,从而求出实数k的值. (2)由两向量平行及 |d-c|=1 得出关于x,y的两个方 程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d. 考点三考点三 平行平行( (共线共线) )向量的坐标运算向量的坐标运算 【解析解析】 (1)(a+kc)(2b-a), 又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=- . 【评析评析】 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化 为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方 程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用. (2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1, x=4+ x=4- y=1+ y=1- . d=（ ）或（ ） . 解得 或 对应演练对应演练 已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且uv,求实 数x的值. 因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3). 又因为uv,所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x= . 1.1.要区分点的坐标与向量的坐标要区分点的坐标与向量的坐标, ,尽管在形式上它尽管在形式上它 们完全一样们完全一样, ,但意义完全不同但意义完全不同, ,向量的坐标中同样有方向向量的坐标中同样有方向 与大小的信息与大小的信息. . 2. 2.在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件“ “若若P P是线段是线段ABAB的的 分点，且分点，且|PA|=2|PB|”|PA|=2|PB|”时，时，P P可能是可能是ABAB的