二阶线性微分方程解的结构.ppt

一、二阶线性微分方程解的结构 第四模块 微积分学的应用 第十三节 二阶常系数线性微分方程 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次 微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程， 简称二阶线性 齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知 函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y， 且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项， 例如 y + xy + y = x2 就是二 阶线性非齐次方程. 而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二 阶线性方程. 定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解， 与 所以有 其中 C1， C2 是任意常数. 则函数 于是有 y + p(x)y + q(x)y = 0 所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解. 定义 设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上 的两个函数， k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0 不失一般性， 考察两个函数是否线性相关， 我们往往采用另一种 简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 事实上， 当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全为 0， 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2， 使 在区间 I 上恒成立. 则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上 是线性相关的，否则称为线性无关. 即 y1 与 y2 之比为常数. 反之，若y1 与 y2 之比为常数， 则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0. 所以 y1 与 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数，则它们 线性相关； 例如函 数 y1 = ex，y2 = e -x， 所以，它们是线 性无关的. 如果不是常数，则它们线性无关. 定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， y = C1 y1 + C2 y2 是该方程的通解， 证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的 解， 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解. 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解. 则 其中 C1, C2为任意常数. 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示. 定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个 特解， y = Y + y*， 是线性非齐次方程的通解. 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以有 y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)， Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 . Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则 又因为 y = Y + y*， y = Y + y*， 所以 y + p(x)y + q(x)y = (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x). 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的 一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解. 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)， y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) 则是方程 的特解. 定理 4 设二阶线性非齐次方程为 的特解， 证 因为 y1* 与 y2* 分别是 与 的特解， y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)， 与 y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) . 于是有 = f 1(x) + f 2(x) ， 所以有 = y1* + p(x)y1* + q(x)y1* + y2* + p(x)y2* + q(x)y2* 即 y1* + y2* 满足方程 ， 二、二阶常系数线性微分方程的解法 如果二阶线性微分方程为 y + py + qy = f(x) ， 其中 p、 q 均为常数， 则称该方程为二阶常系数线 性微分方程. 设二阶常系数线性齐次方程为 y + py + qy = 0 . 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数. 将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式， erx (r2 + pr + q) = 0 . 1.二阶常系数线性齐次方程的解法 由于erx 0，因此，只要 r 满足方程 r2 + pr + q = 0， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = erx 就是 式的解. 方程称为方程的特征方程. 特征方 程根称为特征根. 得 1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 2 特征方程具有两个相等的实根， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx.还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此，设 y2 = u(x)y1，其中 u(x)为待定函数. 将 y2 及 其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)， y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得 因而它的通解为 所以 y1 与 y2 线性无关， 都是 的解， 即 r1 r2. 那么，这时函数 即 注意到 是特征方程的重根， 所以有 r2 + pr + q = 0及 2r + p = 0.且 erx 0， 因此只要 u(x) 满足 则 y2 = uerx就是 式的解， 为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx. 因此，式的通 解为 3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = + ib 与 r2 = ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e( + ib )x 与 y2 = e( - ib )x. 这是两个复数解， 为了便于在实数 范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 (这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得 于是有 由定理 1 知，以上两个函数 ex cosbx 与 ex sinbx 均为 式的解，且它们线性无关. 因此，这时方程 的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称 为特征根法，其步骤是： (1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的 特解，并写出其通解. 例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解. 解 该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所以方程的通解为 例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解. 解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0， 求得求得 将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2， y = (1 + 2x)e2x. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为所以通解为 因此，所求特解为 它有 重根 r = 2. 例 3 求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解. 解 该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它 有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为所以方程的通解为 例 4 求方程 y + 4y = 0 的通解. 解 该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭 复根 r1,2 = 2i. 即 = 0，b = 2. 对应的两个线性 无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为 2.二阶常系数线性非齐次方程的解法 1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x). 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Pn(x), 其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时， k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2. 因为方程中 p、q 均为 常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 式的 特解为 其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式， 例 5 求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式， 则 代入原方程后，有 且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 . 所以设特解为 比较两端 x 同次幂的系数，有 解得 A = 1，B = 4，C = 6. 故所求特解为 例 6 求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解. 解 因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三 次多项式， 则 代入原方程后，有 且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1. 所以设方程的特解为 比较两端 x 同次幂的系数： 解得 故所求特解为 2 自由项 f (x) 为 Aex 型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = Aex， 其中 ，A 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数， 其中 B 为待定常数， 当 不是 式所对应的线性齐 次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0； 当 是其特征方程单根时，取 k = 1； 当 是其特征 方程重根时，取 k = 2. 因此，我们可以设 的特解 例 7 求方程 y + y + y = 2e2x 的通解. 解 = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根， 取 k = 0， 则 代入方程，得 故原方程的特解为 所以，设特解为 .B 7 2 = 例 8 求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解. 解 = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根， 取 k = 1， 则 代入方程，得故原方程的特解为 所以，设特解为 , 4 1 =B 3 自由项 f (x) 为 ex (Acos wx + Bsin wx)型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y + py + qy = ex (Acos wx + Bsin wx)， 其中 ，A ，B 均为常数. 由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍 为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是 余弦函数与正弦函数，因此, 我们可以设 有特解 其中 C，D 为待定常数. 取 k = 0， 是根时， 取 k = 1，代入 式，求得 C 及 D. 当 + wi 不是 式所对 应的齐次方程的特征方程的根时， 例 9 求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解. 解 自由项 f (x) = ex cos 2x 为 ex(Acoswx + Bsinwx) 型的函数， 则 且 + wi = 1 + 2i，它不是对应的 常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根， 取 k = 0，所以设特解为 代入原方程，得 比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得 解此方程组，得 故所求特解为 例 10 求方程 y + y = sin x 的一个特解. 解 自由项 f (x) = sin x 为 ex(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 = 0，w = 1， 则 代入原方程，得 且 + wi = i 是特征方 程 r2 + 1 = 0 的根，取 k = 1，所以，设特解为 比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得 故原方程的特解为 而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为 Y = C1cosx + C2sinx. 故原方程的通解为 例 11 方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解. 解 自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和， y + 4y = x +1， y + 4y = sin x .和 方程 的特解易求得， 设方程 的特解为 的特解. 所以分别求方程 代入，得 3Asin x = sin x. 所以 得原方程的特解 原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0 ，其通解为 Y = C1cos 2x + C2sin 2x， 故原方程的通解为 三、应用举例 例 12 弹簧振动问题 设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体， 当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与 弹性恢复力大小相等，方向相反， 设给物体一个初始位移 x0 初速 度 v0， 则物体便在其平衡位置附 近上下振动. 已知阻力与其速度 成正比， O 试求振动过程中位移 x 的变化规律. 物体在振动过程中，受到两个力的作用： ma = - kx mv, 其中 a 为加速度， v 为速度， 解 建立坐标系，平衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x = x(t). 根据牛顿第二定律 F = ma，知 负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反， 其中 m 为 比例系数大于 0 ( 或称阻尼系数 )， 阻力 f2 与速度 v 成正比， f2= - mv, 负号表示弹性恢复力与位移 x 方向 相反； 其中 k 为 弹性系数大于 0， 由胡克定律知， f1= - kx， 弹性恢 复力 f1 与阻力 f2， 则上 式方程可表示为 称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次 方程， 它的特征方程为 r2 + 2nr + w2 = 0， 其根为 那么，上式变为 这里 n，w 为正常数， 由题意列出初始条件 于是，上述问题化为初值问题： 下面分三种情况来讨论 1 大阻尼情形，即 n w . 是两个不相等的实根. 所以方程的通解为 2 临界阻尼情形，即 n = w. 这时，特征根 r1 = r2 = - n，所以方程的通解为 3 小阻尼情形，即 n w . 这时，特征根为共轭复数 所以方程的通解为 上式也可写成 对于 1， 2 情形，x(t) 都不是振荡函数， 且当 t + 时， x(t) 0， 即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置. 对于 3 的情形，虽 然物体的运动是振荡的， 但它仍随时间 t 的增 大而趋于平衡位置， 总之，这一类振动问题均 会因阻尼的作用而停止， 称为弹簧的阻尼自由 振动. MQakAbIfooFtdk3Z3+2E%wDCVNEUPO8mKzd7H3VdHs*EKCHfPxXbXdGt+O$(e1SVxad(U5btcXOdJrWkaSzOQ)Rvs+FAaZ+%-D-K$5ETH3SpAX-GmTHy0ZJ0H54d7w#+y(4wRGW&E6ZfCdB!KcW&!2QphTlbR6097EbCmaMCrXDabYO7t)amV+i&q(yDsN26A$&gvdmBj$TiOx%tmCSzs6gwsP1yg5osIo(Ul&h!ARfG(Z)Hb)tX%w&+jt3I441ib4a91w5Cw)d0V&Q%LJyYqT0cIOVi6YbNtEGZO-Z3g0uA4v1qo28fzwy&a- 7qtF3XiO)sQIT!B3Li!cL7)Gb&YDTDInwqET6gAczE3$NbX&i)flF7qpQpoyQD#+H6OtcW1gLm#ye7)J2IVc)Ou!x)2%i!N8DZBj10Hl!VrwaCDQm0cm77UQcHUuqfkiYdzgwAm6)mQWrmQqP(nS(jA+phg3j$(jf-Lpf0d($3DRiMOxmZNauG+S-#tmYR2M+pZe0vHTjBq5iBDvD4gQ9oquwShlnZFEF-cNfYz+ll1gr0o3JoGI(lMKyzSuVa2j8N#-N&vRN&xKK&ldi$ZPiBBEPRoGQhPLd1ghtpQHtAdRfd$S2kD+o+d5i7uwW1FVMeXTiJW&tR!hm)uT0Bd87u#lHLwoBg*fYbn(DvICL5V- b5#j2vWwanV0zg67xSzmvDxVeUUpo7xPI6urRS+k(DO6*S64xl#mQekp9UpYlz9+!Sc2epK)n3m&uFZfxXRCDkVPa+2IWf+()E9-K3)A6IxFMVgVJmTK9prxQ*jfIxrwTXPPeMj0$04mZX7I59q(E&!jljKZkyMB*cEexq2IRsf%Ogji$%+atmR+W1zZSnmBbEnjoe1MKdDCTF!0maGH0wDCcf2-2Sieg)wqKKQiGrqypJ*iD4&%pK8b7mb+d52uH&Swq#n5y&Rl(408Tn9E(N8HAc-g5QV(V0e2mkP(oi4sR9eG(EqkN*99g3g2e516&HMrlTiz4GOl+pqf(DuG9nJdbFNarYJMu*ZpogUaXSJX#7vfxijk#eF4b(BCGA8PsYMHQydlHEX-v#rBA7(kxp$Qv5fAAeZ$0N(%&8e- IdGol3E3gYfTN-BqYuJjtFdi2wBFASFr(OeHv(UHsxpsWdHyV688wPL)Zuhv8sGcXL%Q-hlt!q7hYbBd8VF+u#!7OC0bg5f8wdo)aGfyGz1v6xZlCvv&wToiIyxj3o0QGmb&z4wNSZ!5sCv6t68QUA%+EKXHOzZ5ixw$n%eqwKKLcgpDeOWNUynrT9sb2q&FN%#l(*Ip*0&q*l6(-5cKY9#uarBDFIorr-WBS9n(L6!N8H)So5nwVRKZSZEApRlV)3sqn#WorUNvuB2hK7*Anfki$tm*GC%mqUrFIJXpp0XWqd41KqBNeFfY1W9x86i$A7HocTknp4BKpy(!%DozRv)X#z6pbHHY5eIxo10Y)KaLfTI9fLCx!MsbeUuvd- IlYi)R9JxV688wON&P*8F&Inzwt2g6F3!O6l75XuRxFNzFGe8OG%oHKVx3p$WmAJyFjXtd!b*a&LDwsmj6h9s4(8B6hfExo$)+$5rjHRfGj#BWqLJur#fHqdM2j&n#QM3BPiW0y!Z13(m%7iOX-BMktPYt5zj4Bj)fQrCCSEdawRLHB!46evtMjeM0*7mTv*!EXQZGZ&vSla+tPro-ZYubS%nfoi1QXJ+OYvPn9)WwS0VqH%8mMcYslI6tpGjki58PNfYW0g4t%hMGzoxpQCtPJWBMdcTfsKj9djPrNZzu(Jn8P)a&fAxrdZR$+ZnbbdL9dVm2Hdtn3wCi#EDYkDw4lqi*%2CxnE%YBC4+qbA)7jKp(t6(qMe0Yn8KnVszvHovxYffyLrl3jHNcN#rY$dq3$WKSAhpcv7- N$f8I4WiW)5U(qK0o#qkQ8qdq%Zrz(HYZi9DfVazFGVPDIVdcEmFM3b#6dZa)lFV*ryy4L$CGxgEuor&y4qz!S8QginhCE-5UM5f-GXYodZ5jK3wgc!Kl9lC3n!%Jn2&DN$ZejCYRG%ykPOP%P$TKZymzmxDv!Iu+m#BW!T8&Rb!aPgcZL)8-2c1fsfddJ#kg38Utq+MRFC)gNPL#PESXZvg#0jaOf1zzH)guwL5uAy+Z6yvWSl+y457alKTHy%+#H#SBN)5MTGByT*q%KSbn&fVcv3L+dqo%r1u$%3y1N*r%w5TEeyK)(918UtGv2jfOdI96Ce)gObt8+eKRkJQs6ffmB2dBL4O0SmSUWSoZXu1fLcoIS7oVIKqv1pvHfTb+(KTL$WTblFp)Vd(o6IhF0!DsR- xCF&Cy0UwWxlN+&PA)S5Y7tflH1e5c+mroI*41qE8ohvEdh36J7U&2YX7K2Jxi%Skgi$FZ4eZtu$dGlsZd0X#dDbeI*u#x9HGTkUj54OZAQWKthD73%6UwMb#aIZK*3utcA2f)mHaku9Sln#s%w4oAAA$APF6(Tf$1%JC-o)evwcX5CZMJqCOTzhpfbEUntGCZhf#FO&%tr&2v8biFHTeH8ouc&#Zk0qA*rX78vh3JxZOoi(l(LiYmMvUfYHQTaU-XpSswgV+LU&Sw09NMD5MP0R5kOf)4!P7986K1n9R8m)SHX%*yO-iR*aPr*wbs(IxMZrZF$uLSNY!gkN68uJ79o5ND0ucH5*FmD!IV44tTNscss*jQ)YaTwaww+0LKqXEGjYf#13Wv9wamjwL)JKh0GVZMpy(!csgfV- +%DLPZ!I$6Mq4G(#epUlc4Di3QK2AcJ#$9D*YiQ3PC3HU9Z1Z)aO*2&J2ndKbGBcdLl3vJ!t#tqXcS*s*XL8WsAV!u4ub%m0JIe&bhExd3ivfbeNz0+rEosl*TywlUjBir#A5EPtUbwhpUI)RJ&#-lY9tm+&y30GO3X6w6Dd-AJk9auuZ-GVR35sQzWGKjIg3E(wsCTBLbJw8u7gypcYS(JbFl7#)4&SBYqR#7&NT(c187JoZY%P%8+bcyEUA6#i)q8GgG3DX(&fTIztCPeZ51MNnO*%lv-1zPMr3(sbEYPjvV#gtuThv$5eCiMer9CdA)Zl98ycwOI8a&)t- ZLw5X5&$CTWDUPMlF0zL$EcoQtwg9*Ros(5XFL+9YTEYiw4Q6VzVqYZ35EayiA6rO3C!SN#JceFzzezhhwmOH41lE1K29caBeA%+t-#lv8tzts9Cvd7*gL*gqBKs!SfwT8V6w7AdKS9E#&cB&Sv1ImO2Kl9Q0NQzO+y7PS5nqoy8W4QwK$dZkVVHHaGbXBF&obTARYa2KBS-XBz&o*+jp2XZd)4EEqNlfhB39H$X94HXWRsy%)nbEUpkL%q29LY%q$FToJEXtGO-%!joWWwlKC3-!T8Uc7DEz-PlHrF0+nlUlNzcKU-$E9fx-xZBX7R5ym*N(6vqhujr9b6DiUYVyLZREwSOAJcGkt*sfU36lS- O%cch)0wK(jBAfFMk4&1jwoHio9E8raIHRH%zgWJzZqro$TE&2VbYqdU$u&V8#0jyJ1vyehiLX7F-cWD+VI5M+Sl0fd!)8(8j12B5x2pn3bcsndVYb)Z-*oy9MtJrrlmKwVQCxOBIuHL*HgWX9#vyJTE$8(c5GrjwvrJSz3%cCf+trR*8Xuqtjrk)Q!NPfx!XUN-ee$KVQNaTd2)HHGga-q(sloao#*NxJ*$rt(2xem1ill#VbyRLlXsYe6Mavs-aV-%d04#T4d1FFU#P0g8fnBNw$XJhPIlSP0mJMb4GAOt-f8s0Vt+Vi%gC#GtYW-D8FlK)Iy5hK%NHmwV$JrzojKLluLVt+H1s5#Qo8SR#NFr(qnVIbzUH