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三、符号运算基础 1 MATLAB 不仅具有数值运算功能，还开发了 实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox 符号运算的操作对象是非数值的符号对象 2 符号数学工具箱中的工具是建立在功能强 大的Maple的基础上。 它最初是由加拿大的滑铁卢(Waterloo)大 学开发出来的。 如果要求Matlab进行符号运算，那么首先 由Maple计算并将结果返回到Matlab命令 窗口。 符号运算的功能 符号线性代数 因式分解、展开和简化 符号代数方程求解 符号微积分 符号微分方程 支持可变精度运算 支持符号运算并能以指定的精度返回结果 符号运算与数值运算的区别 符号运算使用字符串进行符号分析，而不 是基于矩阵的数值分析 数值运算中必须先对变量赋值， 然后才能 参与运算 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算 结果以标准的符号形式表达 符号运算可以求解科学计算中数学问题的 解析表达式精确解 符号运算速度较慢 4 基本概念 符号变量：预先不要求有确定值的量 符号表达式：代表数字、函数、算子和变 量的Matlab字符串或字符串数组 符号方程：含有等号的符号表达式 符号矩阵：数组，其元素是符号表达式 符号算术：使用已知的规则和给定符号恒 等式求解这些符号方程的实践，它与代数 和微积分中的求解方法完全一样 5 1. 创建符号变量和符号表达式 MATLAB的符号工具箱提供了两个建立符号 对象的函数：sym和syms 函数sym的调用格式 符号变量名=sym(表达式) 注：函数sym可创建一个符号变量，表达式 可以是字符、字符串、数学表达式或字符 表达式等 6 函数syms的调用格式 syms 符号变量名1 符号变量名2 注： 函数syms可一次创建多个符号变量 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加 字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号 分隔 7 8 a=sym(MATLAB) a = MATLAB b=sym(3*x2+4*x+7) b = 3*x2+4*x+7 syms c d e c=3x c = 3x 9 数值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别 用matlab函数sym创建矩阵命令格式： A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵 需用sym指令定义 需用单引号 标识 注意与a,b;c,d的区别 2. 符号矩阵的创建 10 A = sym(a,2*b;3*a,0) A = a, 2*b 3*a, 0 注：符号矩阵的每一行的两端都有 方括号，这是与 Matlab数值矩阵 的一个重要区别。 3. 符号常量 当数值常量作为sym( )的输入参量时，就 建立了一个符号对象符号常量。 虽然看上去是一个数值量，但已经是一 个符号对象了。 例：a=3/4; b=3/4; c=sym(3/4); d=sym(3/4); whos 查看变量类型 a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类 型；c和d都是符号对象类型。 12 当符号表达式具有多个变量时，只有一个 变量是独立变量，MATLAB将基于以下准则 选择独立变量： 小写字母i和j不能作为自由变量 小写字母x是首选符号变量 其余小写字母被选中的次序是：在英文 字母中，靠近x的优先，如果与x距离相 同，则x之后的优先 大写字母比所有小写字母都靠后 4. 符号变量的确定 13 findsym(s, n): 按以下准则确定顺序给出符号表 达式s中的靠近x的n个符号变量 根据变量的首字母排序，排序规则为 x y w z v u . a X Y W Z V U . A 随后的字母按字母顺序排列，且大写字母比 小写字母优先：0 1 . 9 A B . Z a b .z findsym(s): 按字典顺序给出符号表达式s中的 所有符号变量 14 syms a x y z t X1 x2 xa xb findsym(sin(pi*t) ans = t findsym(x+i*y-j*z) ans = x,y,z findsym(a+y,1) ans = y findsym(X1 + x2 + xa + xb) ans = X1,x2,xa,xb findsym(X1 + x2 + xa + xb,4) ans = x2,xa,xb,X1 15 符号表达式的运算与普通数值运算不同， 它的运算结果是符号表达式或符号矩阵 Matlab6.5及以前的版本提供了很多函数用 于符号计算，如symadd, symsub, symmul, symdiv, sympow等 由于计算效率和计算精度不高，Matlab7.0 及以后的版本已将其删除，相应的计算只需 键入数学运算符+, -, *, /, 或 4. 符号表达式的基本运算 16 例 计算表达式 与 表达式 的和、 差、积、商与乘方 syms x s1=x3-1; s2=x-1; s1+s2 ans = x3 + x - 2 s1-s2 ans = x3 - x s1*s2 ans = (x3 - 1)*(x - 1) s1/s2 ans = (x3 - 1)/(x - 1) s1s2 ans = (x3 - 1)(x - 1) 17 复合函数 compose(f,g)：返回复合函数f(g(y), 其中f=f(x), g=g(y). 其中符号x为函数f中由命令findsym(f)确定的符号变量, 符号y为函数g中由命令findsym(g)确定的符号变量 compose(f,g,z)：返回复合函数f(g(z) compose(f,g,x,z)：返回复合函数f(g(z), 将函数f中的自 变量x用g(z)代替 compose(f,g,x,y,z)：返回复合函数f(g(z), 将函数f中的 自变量变量x用g(y)代替，然后用指定的变量z代替变量y 18 syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) ans = 1/(sin(y)2 + 1) compose(f,g,t) ans = 1/(sin(t)2 + 1) compose(h,g,x,z) ans = sin(z)t compose(h,g,t,z) ans = xsin(z) compose(h,p,x,y,z) ans = (1/exp(z/u)t compose(h,p,t,u,z) ans = x(1/exp(y/z) 19 反函数 finverse(f)：返回函数f的反函数，其中f为单值的 一元数学函数 finverse(f,v) ：若符号函数f中有多个符号变量时 ，对指定的符号变量v计算其反函数 20 例 求y=x2的反函数 syms x; f=x2; g=finverse(f) Warning: finverse(x2) is not unique. In sym.finverse at 46 g = x(1/2) compose(f,g) ans = x 21 例 求y=tex的反函数 f=sym(t*ex) f = t*ex g=finverse(f) g = log(x/t)/log(e) g=finverse(f,t) g = t/ex 22 合并同类项 collect (S,v)：合并多项式S中自变量v的同类项 collect (S)：以findsym确定的变量合并多项式S 的同类项 23 syms x f=(x3+x+1)*(x2+1) f = (x2 + 1)*(x3 + x + 1) collect(f) ans = x5 + 2*x3 + x2 + x + 1 例 合并多项式 的同类项 24 例 合并多项式 的同类项 s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); e1=collect(s) %合并关于x的同类项系数 e1 = x3 + (2*x2)/exp(t) + (1/exp(2*t) + 1)*x + 1/exp(t) e2=collect(s,exp(-t) %合并关于exp(-t)的同类项系数 e2 = x*(x2 + 1) + x/exp(2*t) + (2*x2 + 1)/exp(t) e3=collect(s,t) %合并关于t的同类项系数 e3 = (x + 1/exp(t)*(x2 + x/exp(t) + 1) 25 因式分解 factor(s)：符号表达式s的因式分解 horner(s)：符号表达式s的嵌套形式，即用多 层括号的形式表示 26 例 分解因式 syms x a; f=x3-a3 f = x3 - a3 factor(f) ans = -(a - x)*(a2 + a*x + x2) 27 例 将符号矩阵表达式的各个元素分解为 多个因式 syms x b; f=x3+b3 x4-1; x5-1 x6-1 f = b3 + x3, x4 - 1 x5 - 1, x6 - 1 factor(f) 28 例 将多项式表示为嵌套形式 syms x; f=x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6 f = x6 - x4 - 5*x3 + 5*x2 + 5*x - 6 horner(f) ans = x*(x*(x*(x*(x2 - 1) - 5) + 5) + 5) - 6 29 例 将数字1025分解为正整数之积 factor(1025) ans = 5 5 41 factor(1025) ? Error using = factor at 21 N must be a scalar. factor(sym(1025) ans = 52*41 30 其它一些函数 expand(s)：符号表达式s的展开 numden(s)：返回符号表达式s经过分式通分后 的分子和分母 simplify(s)：利用各种形式的代数恒等式对符 号表达式s进行化简 simple(s)：通过对符号表达式s尝试多种不同 的方法（包括simplify）进行化简，以寻求符 号表达式S的最简形式 double(s)：将符号表达式s转换为双精度浮点 数 31 subs(s)：用工作空间中的变量替换符号表达式 s中的所有变量 subs(s, new)：用变量new替换符号表达式s中 的自由变量 subs(s, old , new)：用变量new替换符号表达式 S中的变量old 当变量new是数值形式时，显示的结果虽 然是数值，但实际上是符号变量. 要强制求值, 需要用vpa或eval函数 vpa(s, n)：将s表示为n位有效位数的符号对象 digits(d)：设置当前的可变算术（vpa）精度的 位数为整数d位. d=digits 返回当前的可变算术 精度的位数给d 32 例 将以下矩阵各元素展开 syms x y; f=exp(x+y) log(x2*y2); 2(x+2)+1 sin(x+y) f = exp(x + y), log(x2*y2) 2(x + 2) + 1, sin(x + y) expand(f) ans = exp(x)*exp(y), log(x2*y2) 4*2x + 1, cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x) 33 例 求出下列表达式的分子和分母 syms x; f=6/x2 f = 6/x2 n d=numden(f) n = 6 d = x2 f=1/x3+6/x2+12/x+8 f = 12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8 n d=numden(f) n = 8*x3 + 12*x2 + 6*x + 1 d = x3 34 例 化简 syms x; f=sin(x)2+cos(x)2 f = cos(x)2 + sin(x)2 syms x; f=sin(x)2+cos(