MATLAB之(二)符号运算功能.ppt

14.2 符号运算功能 一、符号表达式的生成 1用单引号设定后输入或赋值 f=log(x) f = log(x) 2用命令sym（生成符号对象） 例如，创建符号函数 例如，创建符号方程 eqation=sym(a*x2+b*x+c=0) eqation = a*x2+b*x+c=0 3用命令sym（确定多个符号对象），可用whos检查存 在的空间的各种变量及其所属类型 syms x y abcd alfa whos Name Size Bytes Class abcd 1x1 132 sym object alfa 1x1 132 sym object eqation 1x1 150 sym object f 1x6 12 char array x 1x1 126 sym object y 1x1 126 sym object Grand total is 34 elements using 678 bytes 二、符号函数的运算 1复合函数的运算 复合函数运算可通过功能函数compose来实现，其调用 格式为： （1）compose(f，g) 返回当f=f(x)和g=g(y)时的复合 函数f(g(y)。 （2）compose(f，g，z) 返回复合函数以z为自变 量。 （3）compose(f，g，x，z) 返回复合函数f(g(z)， 且使x为f的独立变量。 例如 syms x y z t f=1/(1+x2); g=sin(y); h=xt; compose(f,g) ans = 1/(1+sin(y)2) compose(f,g,z) ans = 1/(1+sin(z)2) compose(h,g,x,z) ans = sin(z)t 2反函数的运算 反函数运算可通过功能函数finverse(f)来实现，其调用 格式为： （1）g=finverse(f) 符号函数f的反函数。 （2）g=finverse(f，z) 返回符号函数的自变量为z。 f=x3+y; finverse(f,y) ans = -x3+y finverse(f) Warning: finverse(x3+y) is not unique. In C:MATLAB6P1toolbox symbolicsymfinverse. m at line 43 ans = (-y+x)(1/3) 三、符号的矩阵的创立与运算 1符号矩阵的创立 符号矩阵的创立与和创立数值矩阵的方法相似，只不过要 用到符号定义函数sym。我们可以使用sym函数直接建立 符号矩阵；可以通过建立子矩阵的方法建立符号矩阵；也 可以使用sym函数将数值矩阵转化为符号矩阵。 a=sym(1 1/s+x sin(x);y/x 1+1/y,tan(x+y);3+4,exp(x2+y2),log(tanh(y) a = 1, 1/s+x, sin(x) y/x, 1+1/y, tan(x+y) 3+4, exp(x2+y2), log(tanh(y) b=1 2 3 5;7 9 10 11;13 15 17 18; c=sym(b) c = 1, 2, 3, 5 7, 9, 10, 11 13, 15, 17, 18 2符号矩阵的运算 符号矩阵的运算与数 值矩阵的运算相同 （1）四则运算： a=sym(1/x 1/(x+1);1/(x+2) 1/(x+3); b=sym(x,1;x+2,0); ab ans = -6*x-2*x3-7*x2, 3/2*x2+x+1/2*x3 6+2*x3+10*x2+14*x, - 1/2*x3-2*x2-3/2*x （2）求逆运算“inv”，行列式运 算“det”,幂运算“”、求秩运算 “rank”、指数运算“exp”和对数 运算“log” inv(a) ans = 1/2*x*(x+1)*(x+2), - 1/2*x*(x+3)*(x+2) -1/2*x*(x+3)*(x+1), 1/2*(x+3)*(x+1)*(x+2) （3）矩阵分解函数：特征值函数“eig”,约当标准型函数 “Jordan”，三角提取函数“diag”、“tril”、“triu” u,v=eig(b) u = (1/2*x+1/2*(x2+4*x+8)(1/2)/(x+2), (1/2*x- 1/2*(x2+4*x+8)(1/2)/(x+2) 1, 1 v = 1/2*x+1/2*(x2+4*x+8)(1/2), 0 0, 1/2*x-1/2*(x2+4*x+8)(1/2) 四、符号微积分 1符号极限 符号函数的极限是由limit函数来实现，其调用格式如下： limit（f，x，a） 计算符号表达式f在xa时的极限 limit（f） 计算符号表达式f在x0时的极限 syms x t; limit(1+2*t*sin(1/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t) 2符号积分 积分函数int函数的调用格式为： int(S，t) 计算符号表达式S对符号变量t的不定积分 int(S，a，b) 计算符号表达式S对默认符号变量从a到 b的不定积分 syms x y t; A=cos(x*t),sin(x+t);exp(t/x),log(x-t) A = cos(x*t), sin(x+t) exp(t/x), log(x-t) int(A,t) ans = 1/x*sin(x*t), -cos(x+t) exp(t/x)*x, -log(x-t)*(x-t)+x-t int(sqrt(1+y2),y) ans = 1/2*y*(1+y2)(1/2)+1/2*asinh(y) int(sqrt(1+y2),0,1) ans = 1/2*2(1/2)-1/2*log(2(1/2)-1) 如，计算二次积分 int(int(x2+y2),x,sqrt(y),1),y,0,1) ans =26/105 3符号微分 微分diff，其调用格式为 diff(S) 表示对表达式S的微分。 diff(S，v) 或diff(S，sym(v) 表示对变量v，求表 达式S的微分。 diff(S，n) 对整数n，对表达式S微分n次。 diff(S，v，n) 和diff(S，n，v) 都表示对变量v，求 表达式S的微分n次。 syms x t; diff(sin(x2) ans = 2*cos(x2)*x 设 syms x y; z=x*log(x*y); diff(diff(z,x),y,2) ans = -1/y2 五、符号代数方程求解 1符号线性方程组的求解方法 可用linsolve和solve得到方程组的精确解。所得到的 精确解可由函数vpa转换成浮点近似数值。 a=sym(10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10); b=(9;7;6); linsolve(a,b) ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans) ans = .99578947368421052631578947368421 .95789473684210526315789473684211 .79157894736842105263157894736842 2符号非线性方程组的求解方法 由函数fsolve实现，其调用格式为 X=fsolve(fun，X0) ,X=fsolve(fun，X0，options) X=fsolve(fun，X0，options，gradfun) 例如 function y=fc(x) y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*cos(x(2); y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)-0.2*sin(x(2); y=y(1),y(2); x0=0.5,0.5; fsolve(fc,x0) ans = 0.4442 0.7715 六、符号微分方程求解 常微分方程及微分方程组的符号求解由函数dsolve来实现 ，其调用格式为： dsolve(equ1， equ2，) 例如，求微分方程 的特解。 dsolve(t2+1)*D2y=2*t*Dy,y(0)=1,Dy(0)=3) ans = 1+t3+3*t 又如，求微分方程 的通解。 dsolve(D2y-2*Dy+y=exp(x)/x,x) ans = -exp(x)*x+log(x)*exp(x)*x+C1*exp(x)+C2*exp(x)*x 又如，求下列微分方 程组的特解 S = u: 1x1 sym v: 1x1 sym w: 1x1 sym 也可使用命令 S=dsolve(Du=v,Dv=w,D w- u,u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1) syms u v w t S=dsolve(Du=v,Dv=w,Dw- u,u(0)=0,v(0)=0,w(0)=1) 查看解 S.u ans = -1/3*3(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*t*3(1/2)- 1/3*exp(- 1/2*t)*cos(1/2*t*3(1/2)+1/3 *exp(t) 七、级数 1常数项级数 级数求和用函数symsum来实现，其调用格式为： symsum(一般项) symsum(一般项，变量) symsum(一般项，变量，起始，终止) 例如，求级数 的前10项和及无穷和。 syms n; symsum(1/n2,n,1,10) ans = 1968329/1270080 symsum(1/n2,n,1,inf) ans = 1/6*pi2 2幂级数 （1）用函数symsum求幂级数 的和函数。 syms x n symsum(x(2*n-1)/(2*n-1),n,1,inf) ans = 1/2*log(1+x)/(1-x) （2）用taylor将函数展成泰勒级数，其调用格式为： Taylor(f,n) 求函数f的n-1阶麦克劳林级数 Taylor(f,n,x0,x) 求函数f在x0处的以x为变量的n-1阶泰勒 级数。 注：后面3个参数的次序可以任意打乱，在不引起混淆的 情况下均能给出正确结果。 求函数 阶泰勒展式 syms x,n; taylor(exp(-x),x,8,7) ans = exp(-7)-exp(-7)*(x-7)+1/2*exp(-7)*(x-7)2-1/6*exp(- 7)*(x-7)3+1/24*exp(-7)*(x-7)4-1/120*exp(-7)*(x- 7)5+1/720*exp(-7)*(x-7)6-1/5040*exp(-7)*(x-7)7 八、符号和数字之间的转换 1转化为符号变量命令：S=sym(f) S1=sym(3.456),S2=sym(3.456), S3=sym(23f),s4=sym(23;23;32) S1 = 3.456 S2 = 432/125 2转化为数值变量及符号函数值的计算 将得到的解析解进行数值转换，可通过函数digits（设置 变量精度）和vpa（变量精度函数）来实现。通常与变量 替换函数subs配合使用，也可通过函数numeric（转换 符号矩阵成数值型）来实现。 （1）digits函数的调用格式为：digits(D)，它设置有效 数字个数为D的近似解精度。 2）vpa函数的调用格式如下： x=vpa(S) 符号表达式S在digits设置下的精确的数值解。 vpa(S，D) 符号表达式S在digits(D)函数设置下的精确 的数值解。 (3) subs 函数的调用格式为：subs(S,OLD,NEW)，将符 号表达式中的OLD变量替换为NEW变量。 （4）numeric函数的调用格式为：n=numeric(S)，它将 不含自由变量的符号表达式转换为数值形式。 求方程 的精确解和各种精度的近似解。 s=solve(3*x2-exp(x)=0) s = -2*lambertw(-1/6*3(1/2) -2*lambertw(-1,-1/6*3(1/2) -2*lambertw(1/6*3(1/2) vpa(s) ans = .91000757248870906065733829575944 3.7330790286328142006199540298434 -.45896226753694851459857243243408 vpa(s,6) ans = .910008 3.73308 -.458962 又如，求的具有20位有效数字的值。 digits(20) vpa(pi) ans = 3.1415926535897932385 求微分方程 的特解在x=0 ，0.2，0.4，0.6，0.8，1处的函数值 y=dsolve(D2y-10*Dy+25*y=0,y(0)=2,Dy(0)=1,x) y = 2*exp(5*x)-9*exp(5*x)*x t=0:0.2:1 t = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 subs(y,x,t) %将变量x替换为t ans = 1.0e+003 * 0.0020 0.0005 -0.0118 -0.0683 -0.2839 -1.0389 九、符号函数的二维图形 1用函