浙)第三次课概率1-4,1-5(改.ppt

习题一3.设A,B为两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,问 (1)在什么条件下,P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下,P(AB)取到最小值,最小值是多少? S AB AB BA 一、等可能概型 二、几何概率 第四节 等可能概型（古典概型） 一、等可能概型（古典概型） 1. 定义 例1. 掷一钱币. S=H, T , N(S)=2 特点:(1)2个事件出现的机会均等. (2)2个事件以外没有了. (3)每次试验,2个事件只出现1个. 例2. 掷一骰子. S=1,2,3,4,5,6, N(S)=6 特点:(1)6个事件出现的机会均等. (2) 6个事件以外没有了. (3)每次试验, 6个事件只出现1个. 例3.袋中有五个球,三红,记作1,2,3;二白,记作 (4),(5) 任取二球,共有多少种可能结果? S=12, 13, 1(4), 1(5), 23, 2(4), 2(5), 3(4), 3(5), (4)(5) N(S)=10 特点:(1)10个事件出现的机会均等. (2)10个事件以外没有了. (3)每次试验,10个事件只出现1个. 设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为 E的任意一个事件 , 且包含 m 个样本点,则事件 A出现的概率记为: 2.古典概型中事件概率的计算公式 称此为概率的古典定义. 3.古典概型的基本模型之一摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中 无放回地摸二次,每次摸出1只球,求这2只球都是白球 的概率. 解 基本事件总数为n= A所包含基本事件的个数为m= (2) 有放回地摸球 问题1(改) 设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋 中有放回地摸球2次,每次摸出1只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 基本事件总数为n=66 A所包含基本事件的个数为m=44 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中 有放回地摸球3次,求:前2 次摸到黑球,第3 次摸到 红球的概率? 分析 第1次摸球 10种 第2次摸球 10种 第3次摸球 10种 6种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球 第3次摸到红球 4种 (2) 有放回地摸球 摸球模型的应用 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求 1)点数之和为4的概率. 2)点数之和不超过4的概率. 解:设A=“点数之和为4”, B=“点数之和不超过4” 古典概型的基本模型之二-盒子模型 又称球放入杯子模型 (1)杯子容量无限 问题1 把4个球放到3个杯子中去,求第1、2 个杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子 可放任意多个球. 分析:每个球放到3个杯子的任一个,有3种放法. 4个球放到3个杯子的所有放法 即:基本事件总数 设A=“第1、2个杯子中各有两个球”, A所含基本事件个数 因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为 (2) 每个杯子只能放一个球 问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子 只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的 概率. 解第1至第4个杯子各放一个球的概率为 模型的应用 分房问题 将甲、乙、丙3人等可能地分配到3间 房中去,每间房人数不限,试求每个房间恰有1人的概 率. 生日问题 某班有20个学生都是同一年出 生的, 求有10 个学生生日是1月1日、另外10 个 学生生日是12月31日的概率. 解在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有 例1 设有N 件产品,其中有D件次品 ,今从中任 取n件,问其中恰有 件次品的概率是多 少? 在N件产品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法 共有 于是所求的概率为 例2 在12000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数既不能被6整除 ,又不能被8整除的概率是 多少? 解 设A =“取到的数能被6整除”, B=“取到的数能被8整除”, 则所求概率为 故所求概率为 设A =“取到的数能被6除”, B=“取到的数能被8整除”, 例4 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10 号的纪念章 , 任选3个记录其纪念章的号码. （1）求最小号码为5的概率； （2）求最大号码为5的概率. 解 （1）总的选法种数为 最小号码为5的选法种数为 故最小号码为5的概率为 （2）最大号码为5的选法种数为 故最大号码为5的概率为 例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已 知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有规定,且各来 访者在一周的任一天中去接待站是等可能的, 基本事件总数 n=712 设A=“12次接待来访者都是在周二、周四” A所包含基本事件数 m=212 则12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的， 从而可知接待时间是有规定的. 解 例6. 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率. 设A=“至少有2人生日相同” 64个人生日各不相同的概率为 故64 个人中至少有2人生日相同的概率为 解 即:有无限多个结果，而又有等可能性的场合，可用几 何方法来解决。 古典概型要求样本空间具有有限性与等可能性，这两个性 质使我们成功地解决了古典概率的定义和计算问题。其中 等可能性更重要，它使问题得到简化。因此人们想在保留 等可能性的前提下,取消“有限性”的限制。 二.几何概型 3. 设事件A是S的某个区域,它的面积为SA,则向区域 S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率可定义为 4.假定样本空间S可用一线段或空中某个区域表示, 并且向S上随机投掷一点的含义如前,则事件A的概 率仍可用 确定, 只不过把S, SA理解为长度或体积即可. 几何方法的要点: 1.设样本空间S是平面上某个区域,它的面积记为S, 2.向区域S上随机投掷一点,其含义是指该点落入S 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的 面积成比例,而与这部分区域的位置和形状无关. 二、几何概率 定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且 任意一点落在度量（长度, 面积, 体积）相同的 子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为 （其中S是样本空间的度量， 是构成事件A的子区 域的度量）这样借助于几何上的度量来合理规定 的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率. 例1 甲、乙两人相约在7:00 到8:00这段时 间内, 在某地点会面. 先到的人等候另一个 人20分钟 , 过时离去.设每人在7:00到8:00 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且 两人到达的时刻互不牵连.求:甲、乙两人 能会面的概率. 解.设A=“两人能会面”,求P(A) （在规定时间内到达规定地点是等可能的） 设x=“甲到达的时刻” 0x60 y=“乙到达的时刻” 0y60 样本空间S就是正方形，基本事件就是正方形 内的无穷多点,相当于面积 S=60 设A=“两人能会面” 能会面|x-y|20,即 -20x-y20, x-20yx+20, 即: 若甲先到，则y-x20，yx+20. 若乙先到，则x-y20，yx20. 解（1）假设：圆周长为100cm，阴影部分位于圆周上每 一弧长为2cm，则指针落在阴影上的概率 即:参加一次游戏不用花钱的概率为 4% 说明: 参加此游戏的人 得奖的概率很小。 从平均意义上说： 大约需转动25次,花费25元,才有可能得1次1元奖。 大约需转动625次,花费625元,才可能得1次10元奖。 大约需转动15625次,花费15625元,才可能得1次100元奖。 大约需转动39万多次,花费390625元。才可能得1次500元 奖。 由小概率原理可知,只参加一次游戏,几乎不可能得奖。 小结 最简单的随机现象 古典概型 几何概型 古典概率 几何概率 三、全概率公式 四、逆概率公式 第五节 条 件 概 率 一、条件概率 二、乘法定理 材料 颜色 玻璃 木质合计 红235 蓝4711 合计61016 一、条件概率 例1:盒中有16个球，其中6个是玻璃球，10个是 木质球，玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色 的，木质球中3个是红色的，7个是蓝色的。现 从中任取一球.求：P(蓝色球) P(玻璃球) P(蓝玻璃球) 解： 改题 已知取到蓝色球,求它是玻璃球的概率 已知取到玻璃球,求它是蓝色球的概率 解:(1) (2) 设:A=“取到蓝色球” B=“取到玻璃球” 1.定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，称 是A发生的条件下，B发生的条件概率 同理 P(B)0，称 是B发生的条件下，A发生的条件概率 2.如何求条件概率P(B|A) 方法一，从定义出发 即：在原来的样本空间S中先算出 P(AB)、P(A)，再求P(B|A). 方法二，从缩减的样本空间SA中来 计算B发生的概率 . 如引例1.求P(玻璃|蓝色) 方法一 方法二 例2 将一枚均匀的钱币掷两次，观察其出现 正、反面的情况， 设： A=“至少有一次出现反面” B=“两次抛出同一面” 求P(B|A)， P(A|B) S=HH，HT，TH，TT N(S)=4 A=HT，TH，TT N(A)=3 B=HH，TT N(B)=2 AB=TT N(AB)=1 设： A=“至少有一次出现反面”, B=“两次抛出同一面”. 解法一(从定义出发) 设H=“正面” T=“反面” 解法二 (从缩减的样本空间中求) S=HH，HT，TH，TT N(S)=4 A=HT，TH，TT N(A)=3 B=HH，TT N(B)=2 AB=TT N(AB)=1 3. 性质 例3.某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8，活25岁以上的概率为0.4，如果现在有一 个20岁的这种动物，问：它能活到25岁以上 的概率是多少? 解：设A=“能活20岁以上” B=“能活25岁以上” 求 解：设A=“能活20岁以上” B=“能活25岁以上” 求 P(A)=0.8，P(B)=0.4， BA B=AB , P(AB)=P(B) 二.乘法定理 推广 三事件A、B、C乘积的概率的乘法公式 P(ABC)=P(A