正交试验设计原理与实例.ppt

正交试验设计 在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因 其因素少 ，试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个或3个以 上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则试验的规模将 很大 ，往往因试验条件的限制而难于实施 。正 交 设计就是安排多因素试验 、寻求最优水平组合 的一 种高效率试验设计方法。 1 正交试验设计的意义 正交试验属于试验设计方法的一种。简单 地讲，试验设计是研究如何科学安排试验，以 较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息 。 试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半 ，甚至达不到预期目的。因此，如何进行试验 设计是一个至关重要的问题。 正交试验设计是试验优化的常用技术 。所谓试验优化，是指在最优化思想的指 导下，进行最优设计的一种优化方法。它 从不同的优良性出发，合理设计试验方案 ，有效控制试验干扰，科学处理试验数据 ，全面进行优化分析，直接实现优化目标 ，已成为现代优化技术的一个重要方面。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代 替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了 解全面试验的情况。 .试验为什么要设计 全面试验包含的水平组合数较多，工作量 大 ，由于受试验场地、试验材料、经费等限制 而难于实施 。例如，有6个因素： 每因素取 5 个水平，全面试验就需要56=15625个组合。 若试验的主要目的是 寻 求 最 优水平组合 ，则 可利用正交 设计来安排试验。 . 正交拉丁方 在试验安排中 ，每个因素在研究的范围内 选几个水平，就好比在选优区内打上网格 ，如 果网上的每个点都做试验，就是全面试验。3个 因素的选优区可以用一个立方体表示(图11-2)， 3个因素各取 3个水平，把立方体划分成27个格 点，反映在 图11上就是立方体内的27个“.”。 若27个网格点都试验，就是全面试验，其试验 方案如表11所示。 3 因 素 3 水 平 的 全 面试验水平组合数为 33=27，4 因素3水平的全面试验水平组合数为 34=81 ，5因素3水平的全面试验水平组合数为 35=243，这在试验中是不可能做到的。 正交设计就是从选优区全面试验点（ 水平组合）中挑选出有代表性的部分试验 点（水平组合）来进行试验。图11-A中标 有试验号的九个“()”，就是利用正交表 L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验 点。即： 关于正交的直观印象 数据点分布是均匀的 每一个面都有3个点 每一条线都有1个点 1.3 正交试验设计 正交试验设计也称正交设计(orthogonal design)，是用来科学地设计多因素试验的一种 方法。它利用一套规格化的正交表(orthogonal table)安排试验，得到的试验结果再用数理统计 方法进行处理，使之得出科学结论。正交表是试 验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思想， 运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分 布性是正交表的核心。 19世纪20年代，英国统计学家R. A. Fisher首先后马铃薯肥料试验当中，运用 排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均 匀试验条件，获得成功，并创立了“试验 设计”这一新兴学科。“均衡分布”思想 在20世纪50年代应用于工业领域， 60年 代应用于农业领域，使正交试验在科研生 产实际中得到推广。 2、正交表 . 正交表 正交拉丁方的自然推广 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用 正交 表，因此，我们先对正交表作一介绍。 安排的4因素3水平的试验，编上试验号，列成另外一 种形式，见正交表L9(34)（表11-6） 。可以由此得到系列 正交表(orthogonal table)。 常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行 正交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23) 、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)等 （详见附表17及有关参考书）。 表11-6是一张正交表，记号为L9(34)，其中 “L”代表正交表；L右下角的数字“9”表示有9行 ，用这张正交表安排试验包含3个处理(水平组 合) ；括号内的底数“3” 表示因素的水平数，括 号内3的指数“4”表示有4列 ，也指安排的因素 数，用这张正交表最多可以安排4个3水平因素 。 2.2 2.2 正交表的表示符号正交表的表示符号 正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下： L Ln n ( (t t q q ） 式中：式中：L L为正交表符号，是为正交表符号，是LatinLatin的第一个字母；的第一个字母；n n为为 试验次数，即正交表行数；试验次数，即正交表行数；t t为因素的水平数，即为因素的水平数，即1 1 列中出现不同数字的个数列中出现不同数字的个数; ;q q为最多能安排的因素数为最多能安排的因素数 ，即正交表的列数。，即正交表的列数。 正交表表示方法 L9（34） 正交表列数 一列中出现的数字个数 正交表行数 正交表的代号 正交表中1列可以安排1个因素，因此它可安排的 因素数可以小于或等于q，但不能大于q。 括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面 试验的水平组合数（即处理数）。因为安排因素个数 不能大于q，所以n /tq为最小部分实施。 显然，L4(23)是最简单的正交表，有4列3行用它 最多能安排3个2水平因素的试验。部分试验为4次，全 面试验为8次，最小部分实施为1/2，即用它安排试验 可比全面试验少做1/2。所以，当试验因素数q及每个 因素的水平数t增加时n /tq则下降，节省试验次数的效 果更明显。 一般非等水平正交表表示为Ln (t1q1 X t2 q2） （q1不等于q2）Ln (tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q ），它们各代表一个具体的数字表格。又称 混合型正交表。 当用非等水平正交表示为Ln (t1q1 X t2 q2 )安 排试验时。则因素数应不大于q1 +q2 ,且t1水平 的因素数不大于q1 ，t2水平的因素数不大于q2 ，最小部分实施为n/(t1q1+t2 q2）。 2.3 常用正交表的分类及特点 1、标准表（相同水平正交表） 2水平:L4(23）,L8 (27）,L16 (215）， 3水平:L9 (34），L27（313），L81(340）， 4水平：L16 (45）,L64 (4 21）,L256 (485）， 5水平：L25（56）,L125(5 31）,L625 (5156）， 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平 正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字 为2，称为两水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最 大数字为3，称为3水平正交表。凡是标准表，水平数 都相等。且水平数只能取素数或素数幂。因此有7水平 ，9水平的标准表，没有6水平，8水平的标准表。 2.3 常用正交表的分类及特点 2、非标准表（混合水平正交表） 各列中出现的最大数字不完全相同的正交 表称为混合水平正交表。如L8(424)表中有一 列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是 说该表可以安排一个4水平因素和4个2水平因 素。再如L16(4423)，L16(4212)等都混合水平 正交表。 2.4正交表的基本性质 任何一张正交表都有如下三个特性： （）正交性 1、任一列中，不同数字出现的次数相等 例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们 各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3， 它们各出现3次 。 2、任两列中，同一横行所组成的数字对出 现的次数相等 例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两 次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每个因素的一个 水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意 两列各个数字之间的搭配是均匀的。 由正交表的正交性可以看出： 正交表各列的地位是平等的，表中各列之间 可以互相置换，称为列间置换； 正交表各行之间也可相互置换，称行间置换 ； 正交表中同一列的水平数字也可以相互置换 ，称水平置换。 上述3种置换即正交表的3种初等置换。经 过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正 交表的同构表或等价表，显然，实际应用时， 可以根据不同需要进行变换。 (2)代表性。代表性的含义之一，在于正交 表的正交性中： 任一列的各水平都出现，使得部分试验 中包含所有因素的所有水平。 任意2列间的所有组合全部出现，使任意 两因素间都是全面试验。因此，在部分试验 中，所有因素的所有水平信息及两两因素间 的所有组合信息都无一遗漏。这样，虽然安 排的是部分试验，却能够了解全面试验的情 况，从这个意义上讲可以代表全面试验。 因为正交性，使部分试验点必然均衡 地分布后全面试验的试验点中。所谓均衡 分散，是指用正交表挑选出来的各因素水 平组合在全部水平组合中的分布是均匀的 。 由 图11-2可以看出，在立方体中 ，任 一平面内都包含 3 个“()”， 任一直线上 都包含1个“()” ，因此 ，这些点代表性 强 ，能够较好地反映全面试验的情况。 （3 3）综合可比性。）综合可比性。反映在正交性当中：反映在正交性当中： 任一列各水平出现的次数都相等。任一列各水平出现的次数都相等。 任任2 2列间所有可能的组合出现的次数都相等列间所有可能的组合出现的次数都相等 。因此使任一因素各水平的。因此使任一因素各水平的试验条件相同。这就试验条件相同。这就 保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度 地排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，地排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用， 从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的 影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。 如在如在AA、BB、C C 3 3个因素中，个因素中，AA因素的因素的3 3个水平个水平 A1A1、A2A2、A3 A3 条件下各有条件下各有 B B 、C C 的的 3 3 个不同个不同 水平，即：水平，即： 在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素 不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间 亦具有可比性。 根据以上两个特性，我们用正交表安排的 试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。 正交 表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心， 是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然 结果，从而使正交表得以具体应用。 正交表集其3个性质于一体，成为正交试验 设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具 有“均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强 ，效率也高。因而，实际应用越来越广。 交互作用的处理。在试验设计中，交互 作一律当做因素看待，这是处理交互作用 的一条总原则。 3 正交试验设计的基本步骤 正交试验设计（简称正交设计）的基本程 序是设计试验方案和处理试验结果两大部分 。主要步骤可归纳如下： 第一步，明确试验目的，确定考核指标。 第二步，挑因素，选水平。 第三步，选择合适的正交表。 第四步，进行表头设计。 第五步，确定试验方案。 第六步，试验结果分析。 3.1明确试验目的，确定考核指标 试验目的，就是通过正交试验要想解决什 么问题。 考核指标，就是用来衡量或考核试验效果 的质量指标。试验指标一经确定，就应当把 衡量和评定指标的原则、标准，测定试验指 标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身 就是一项细致而复杂的研究工作。 3.2 挑因素，选水平 影响指标者称为因素。因素在试验中变化 的各种状态，称为水平。因素的变化引起指标 的变化，正交试验法适用于试验中能人为加以 控制和调节的因素可控因素。选好的因素、 水平通常可列成因素水平表。 3.3 选择合适的正交表 总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小 。 一般有这样几条规则： (1)先看水平数。根据水平数选用相应的水平的正 交表。 (2)其次看试验要求。如只考察主效应，则可选择 较小的表，只要所有因素均能顺序上列即可。如 果还需考察交互效应，那么就要选用较大的表， 而且各因素的排列不能任意上列，要按照各种能 考察交互作用的表头设计来安排因素。 3.3 选择合适的正交表 (3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素 要考察。如果只允许做9次试验，而考察因素只有3- 4个，则用3水平的L9 (34）表来安排试验。若有重 点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如 L8(4X24）等，将重点因素多取几个水平加以详细考 察。 要求精度高，可选较大的n值的L表。 切不可遗漏重要因素，所以可倾向于多考察些因 素。 可以先用水平数少的正交表作试验，找出重要因 素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察 。 3.4 进行表头设计 所谓表头设计，就是将试验因素安排到 所选正交表的各列中去的过程。 (1)只考察主效应，不考察交互效应，正交 表中每一列的位置是一样的，可以任意变换 。因此，不考察交互效应的表头设计非常简 单，将所有因素任意上列即可。 (2)考察交互作用的表头设计，各因素及各 交互作用不能任意安排，必须严格按交互作 用列表进行配列。这是有交互作用正交设计 的重要特点，也是试验方案设计的关键一步 。 3.4 进行表头设计 避免混杂，是表头设计的一个重要原则，也是 表头设计选优的一个重要条件。所谓混杂，是指在 正交表的同一列中，安排了2个或2个以上的因素 或交互作用。这样，就无法确定同一列中的这些不 同因素或交互作用对试验指标的作用效果。为避免 混杂，使表头设计合理、更优，那些主要因素，重 点考察的因素，涉及交互作用较多的因素，就应该 优先安排；而另一些次要因素，涉及交互作用较少 的因素和不涉及交互作用的因素，可放在后面安排 。表11-10是L8(4X24)的表头设计。 3.5 排出试验方案 【例1】 鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸 和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部分有机酸 和盐属于合成的化学药剂，在卫生安全上得不到保证 ，并且不符合消费者纯天然，无污染的要求，试验以 茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不 同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了4因素 和4水平的正交试验，试安排一个正交试验方案。 正交设计一般有以下几个步骤： （1）明确目的，确定指标：本例是一个食品加工工艺 的研究试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉 天然复合保鲜剂。 （2）挑因素、选水平 影响试验结果的因素很多，我们不可 能把所有影响因素通过一次试验都予以研究 ，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对 试验指标影响最大、有较大经济意义而又了 解不够清楚的因素来研究。同时还应根据实 际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平 ，列出因素水平表。【例1】的因素水平表 如表11-11所示，选定了4个因素，每个因素 4个水平的正交试验。 (3) 选用合适的正交表 确定了因素及其水平后，根据因素、水平及需要 考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正 交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素，又要 使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。一般情况 下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号 内的底数；因素的个数（包括交互作用）应不大于正 交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由 度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验 误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正 交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验 误差。本例选L16（45）最合适，有1空列，可以作为 试验误差以衡量试验的可靠性。 (4) (4) 表头设计表头设计 所谓表头设计，就是把挑选出的因素和所谓表头设计，就是把挑选出的因素和 要考察的交互作用分别排入正交表的表头适要考察的交互作用分别排入正交表的表头适 当的列上。当的列上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安在不考察交互作用时，各因素可随机安 排在各列上；若考察交互作用，就应按该正排在各列上；若考察交互作用，就应按该正 交表的交互作用列表安排交表的交互作用列表安排 各各 因因 素与交互作素与交互作 用。用。 此例不考察交互作用，可将此例不考察交互作用，可将 ( (A)A)、 ( (B)B)和和 ( (C)C)依次安排在依次安排在L L16 16(4 (4 5 5 ) )的第的第1 1、2 2、 3 3列上，第列上，第 4 4 列列 为空列，见表为空列，见表11-1211-12。 (5) 排出试验方案 把正交表中安排各因素的每个列(不包含 欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该 因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。 表11-12就是例11-2 的正交试验方案。 从而得出试验的16个处理，即：123 3，241 2 ，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433 2，114 2，232 3，334 1，412 4，142 1，224 4，322 2，444 3。 【例2】要生产某种食品添加剂，根据试验发现影响添 加剂收率的因素有4个，每个因素设置2种水平（表11- 13）。 本例有4个因素，如果安排后L8 (27）表中，从表11-8 L8(27)表头设计可以查出,4个因素应安排在1,2,4,7列为 好，这样考察4个因素各自的效应都不会与交互作用混 杂。另外根据专业知识可知，D因素与A，B，C3因素 之间没有或者少有交互作用。故将D因素安排后第七 列，则3，5，6列就仅为AXB，AXC和BXC单独的交 互作用。 本例有4个因素，如果安排后L8 (27）表中，从表 11-8 L8(27)表头设计可以查出,4个因素应安排在 1,2,4,7列为好，这样考察4个因素各自的效应都不会 与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，D因素 与A，B，C3因素之间没有或者少有交互作用。故 将D因素安排后第七列，则3，5，6列就仅为AXB ，AXC和BXC单独的交互作用。 4正交试验的结果分析 4.1直观分析法（极差分析法） 凡采用正交表设计的试验，都可用正交 表分析试验的结果，正交试验的结果分析， 有直观分析和方差分析2种方法，现分别予 以介绍。 4.1.1不考虑交互作用的分析法 现对【例1】进行分析，该试验的结果见表 11-14。 分析方法：首先从16个处理中直观地找出最优处理组合 为9号处理，即A1B1C4D2，指标为38.79；其次为13号处理 A1B4C2D1，指标为38.02，但是究竟哪一个是最好的指标呢 ？现后通过直观分析进行验证： 4、正交试验结果的结果分析 若各号试验处理都只有一个观测值，则称 之为单独观测值正交试验；若各号试验处理都 有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观 测值正交试验。 下面分别介绍单独观测值和有重复观测正 交试验结果的方差分析。 4.1.2 考察交互作用的试验结果分析 考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是 ：应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应根据互作的效应 ，选择出最优试验组合。见表11-15。 4.2.1 无重复试验的方差分析 这种分析方法要求用正交表设计试验时， 必须留有不排入因素或互作的空例，以作为误 差的估计值。 【例3】某食品厂或产口香糖，检验口香糖的 质量好坏需要分析：拉伸率（越大越好）； 变形（越小越好）；耐弯曲次数（越多越 好）这3种指标，要求对3种指标都取得较好水 平，现要进行口香糖配方的试验分析，因素水 平表见表11-17，结果分析见表11-18。 资料整理：本试验3个指标同等重要，我们只以拉 伸率1项为例作方差分析，其余2项及综合考察留 给大家作练习之用。 表11-18中一共有A，B，C，D4项因素，每一因 素为4水平，每一水平的重复次数为4次，总次数 为16次(n)。 自由度与平方和分解： 该次试验的16个观测值总变异由A因素、B因 素、C因素、D因素及误差变异五部分组成，因而 进行方差分析时平方和与自由度的划分式为： SST = SSA+SSB+SSC + SSD +SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfD + dfe 表11-18中，Ki为各因素同一水平试验指标（拉伸 率%）之和。 如 A因素第1水平 K1=y1+y2+y3 +y4 =545+490+515+505=2055 A因素第2水平 K2=y5+y6 + y7 +y8 =492+485+499+480=1956 ， A因素第3水平 K3=y9+y10+y11+y12 =566+539+511+515=2131 ， A因素第4水平 K4=y13+y14+y15+y16 =535+488+495+475=1993 B B因素第因素第1 1水平水平 K K1 1= =y y1 1 +y+y 5 5 +y+y9 9 +y +y13 13 =545+492+566+535=2138 =545+492+566+535=2138 ， B B因素第因素第3 3水平水平 K K3 3= =y y3 3 +y+y 7 7 +y+y11 11 +y +y15 15 =515+499+511+495=2020 =515+499+511+495=2020 同理可求得同理可求得C C因素和因素和D D因素各水平试验指标之因素各水平试验指标之 和。和。 为各因素同一水平试验指标的平均数。 如A因素第1水平 =2055/4=513.75， A因素第2水平 =1956/4=489.0， A因素第3水平 =2131/4=532.75， A因素第4水平 =1993/4=489.25， 同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数 。 1 1、计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度 矫正数矫正数 C = TC = T 2 2 /n /n = 8135= 8135 2 2 /15 = 4136139.063/15 = 4136139.063 总平方和总平方和 SSSST T = = y y 2 2 -C-C =545=545 2 2 +490+490 2 2 + +475+4752 2 - - 4136139.063 4136139.063 =10167.9375 =10167.9375 AA因素平方和因素平方和 SSSSAA= /a-C /a-C =(2055=(2055 2 2 +1956+1956 2 2 +2131+2131 2 2 +1993+1993 2 2 )/4 )/4 4136139.0634136139.063=4403.6875 =4403.6875 BB因素平方和因素平方和 SSSSBB = = /b-C/b-C =(2138=(2138 2 2 +2002+2002 2 2 +2020+2020 2 2 +1975+1975 2 2 )/4)/4 -4136139063 =3897.1875=3897.1875 C因素平方和 SSC=T2C/c-C =(20162+19922+20212 +20782)/4 4136139.063 =1062.1875 D因素平方和 SSD=T2D/d-C =(20472+20162+20212 +20512)/4 4136139.063 =237.6875 误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875- 3879.1875 1062.1875-237.6875 =585.1875 总自由度总自由度 dfdf T T = =n-1n-1=16-1=15=16-1=15 A A因素自由度因素自由度 dfdf A A = =k k a a -1-1=4-1=3=4-1=3 B B因素自由度因素自由度 dfdf B B = =k kb b -1-1=4-1=3=4-1=3 C C因素自由度因素自由度 dfdf C C = =k k c c -1-1=4-1=3=4-1=3 D D因素自由度因素自由度 dfdf d d = =k kd d -1-1=4-1=3=4-1=3 误差自由度误差自由度 dfdf e e = = dfdf T T -df-df A A -df-df B B -df-df C C - -dfdf d d = 15-3-3-3 -3= 3 = 15-3-3-3 -3= 3 2、列出方差分析表，进行F检验 F 检验结果表明，四个因素对拉伸率的影 响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大 且误差自由度小(仅为3)，使检验的灵敏度低， 从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对 增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间 的多重比较。此时，可直观地从表11-18中选择 平均数大的水平A3、B1、C3、 D4组合成最优水 平组合A3B1C3 D4 。 上述无重复正交试验结果的方差分析，其 误差是由“空列”来估计的。然而“空列”并不空 ，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种 误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为 模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估 计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用 ，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考 察因素的显著性。这时，试验误差应通过重复 试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有 二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完 全随机或随机单位组设计。 多重比较。从本试验的方差分析，相对来 说A因素和B因素为重要因素，C因素和D因 素为次要因素。对A，B两因素进行多重比较 表11-20至表11-22，用LSR法。 当当dfdf e e =3=3时时，多重比较的结果以A3和B1为最好，另 外A3和B1也可考虑，作为分析其他指标后综合平衡选 择之用。从拉伸率这一指标来讲，最优组合为：A：胶 基添加量21；B：葡萄糖浆添加量17；C，D因素 不论。 4.2.2 有重复观测值正交试验结果的方差分析 有重复试验的方差分析与无重复试验的方差分 析，除误差平方和、自由度的计算有所不同外， 其余各项计算基本相同。 【例4】有一水稻3因素试验，A因素为品种(4水平）； B因素为栽插密度(2水平);C因素为施肥量(2水平)；选用 L8 (4 X24)，其表头设计和产量结果（小区面积30 m2） 。见表11-23。 用n表示试验(处理)号数，r表示试验处 理的重复数。a、b、c、ka、kb、kc的意义同上。 对于有重复、且重复采用随机单位组设计 的正交试验，总变异可以划分为处理间、单位 组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一 步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变 异四部分。此时，平方和与自由度划分式为： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1 于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 式中：SSr为单位组间平方和；SSe1为模型 误差平方和；SSe2为试验误差平方和；SSt为处 理间平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft为相应自由度 。 注意，对于重复采用完全随机设计的正交 试验，在平方和与自由度划分式中无SSr、dfr 项。 1、计算各项平方和与自由度 矫正数 C =T2/ r n = 4962/38 =10250.67 总平方和总平方和 SSSS T T = = x x 2 2 -C-C =17=17 2 2 +16+16 2 2 + +26+262 2 - 10250.67 - 10250.67 =451.33 =451.33 单位组间平方和单位组间平方和 SSSS r r = = T T 2 2 r r /n-C /n-C =(169=(169 2 2 +165+1652 2 +162 +162 2 2 )/8 - 10250.67 )/8 - 10250.67 =3.08 =3.08 处理间平方和 SSt = T2t / r - C = (522+592+822)/3 - 10250.67 = 406.67 A因素平方和 SSA = T2A / ar - C = (1112+1382+932 +1542)/23 -10250.67 = 371.0 B B因素平方和因素平方和 SSSSB B = = T T 2 2 B B / / br br - C - C =(245=(245 2 2 +251+251 2 2 )/4)/4 3 -3 -10250.67 10250.67 =1.50 =1.50 C C因素平方和因素平方和 SSSSC C = = T T 2 2 C C / / cr cr - C - C = (234 = (234 2 2 +262+262 2 2 )/4)/4 3 -3 -10250.67 10250.67 = 32.66 = 32.66 模型误差平方和模型误差平方和 SSSSe1 e1 = = SSSS t t SS SSA A SS SSB B - SS - SS C C =406.67-371.00-0 32.67 =406.67-371.00-0 32.67 =3.00 =3.00 试验误差平方和试验误差平方和 SSSSe2 e2 = =SS SST T SSSS r r - - SSSS t t =451.33-3.08 405.16 =451.33-3.08 405.16 =41.58 =41.58 总自由度 dfT=rn-1=38-1=23 单位组自由度 dfr=r-1=3-1=2 处理自由度 dft=n-1=8-1=7 A因素自由度 dfA=ka-1=4-1=3 B因素自由度 dfB=kb-1=2-1=1 C因素自由度 dfC=kc-1=2-1=1 模型误差自由度模型误差自由度 dfdfe1 e1= = dfdf t t -df-df A A -df-df B B -df-df C C = 7-3-1-1= 2 = 7-3-1-1= 2 试验误差自由度试验误差自由度 dfdfe2 e2= =df df T T -df-df t t - - dfdf r r =23-7-2 = =23-7-2 = 1414 2、列出方差分析表，进行F检验 首先检验MSe1与MSe2差异的显著性，若经F检验 不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出 合并的误差均方，进行F检验与多重比较，以提高分析 的精度；若F检验显著，说明存在交互作用，二者不能 合并，此时只能以MSe2进行F检验与多重比较。本例 MSe1/ MSe21，MSe1与MSe2差异不显著，故将误差平 方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方MSe， 即 MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2) = (3.00+41.58)/(2+14) = 2.78625 并用合并的误差均方MSe进行F检验与多重比较。 F检验结果表明，A、C因素对水稻产量有 显著影响，B因素作用不显著。 4、 A因素各水平平均数的多重比较 表11-25 A因素各水平平均数多重比较表 (SSR法) 单位：% 在实际研究中，有时试验因素之间存在交互作 用。对于既考察因素主效应又考察因素间交互 作用的正交设计，除表头设计和结果分析与前 面介绍略有不同外，其它基本相同。 【例5】 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、 C 3种成分组成，各有两个水平，除考察A、B 、C三个因素的主效因外，还考察A与B、B与C 的交互作用。试安排一个正交试验方案并进行 结果分析。 (一) 选用正交表，作表头设计 由于本试验 有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察， 各项自由度之和为：3(2-1)+2(2-1)(2-1)=5 ，因此可选用L8(27)来安排试验方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基 本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素 交互作用所占的列。可利用L8(27)二列间交互作 用列表(见表12-30)来安排各因素和交互作用。 如果将如果将A A因素放在第因素放在第1 1列列 ，B B 因素因素 放在第放在第 2 2列，查表列，查表 可知，第可知，第1 1列与第列与第2 2列的交互作用列是第列的交互作用列是第3 3列列 ，于是将，于是将 A A与与 B B 的交互作用的交互作用 A A B B放在第放在第3 3列。这样第列。这样第3 3列不能再安排其列不能再安排其 它因素它因素 ，以免出现，以免出现“ “混杂混杂” ”。然后将。然后将C C放在第放在第4 4列，列， 查表查表 可可 知，知，B B C C应放在第应放在第6 6列，余下列为空列列，余下列为空列 ，如此可得表头设，如此可得表头设 计，见表计，见表12-3112-31。 (二) 列出试验方案 根据表头设计，将A、B、C各列对应的数 字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验 方案列于表12-32。 (三) 结果分析 按表12-33所列的试验方案 进行试验，其结果见表12-34。 表中Ti、 计算方法同前。此例为单独观测 值正交试验，总变异划分为A因素、B因素、C 因素、AB、BC、与误差变异5部分，平方和 与