DSP第三章3.2DFT定义.ppt

第三章 离散傅里叶变换(DFT) 本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的 离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离 散傅里叶变换（DFT）。 周期序列（离散、周期） DFS（周期、离散） DFS变换对 1 一、预备知识 1、余数运算表达式 如果n=n1+m N， m为整数；则有： 运算符( )N表示n被N除，商为m，余数为n1。 n1是(n)N的解, 或称作取余数, 或说n对N取模值，简 称取模值，n模N，（n mod N） 。 2 例：N=9 3 若x(n)N = x(n1)，表示先取模值，后进 行函数运算; 而 表示将x(n)以N为周期的周期延 拓序列，即 2、x(n)N的含义 4 例如， 是周期为N=9的序列，则有： 5 3、有限长序列和周期序列的关系 任何周期为N的周期序列 可看作长度为N的有限长 序列 x(n)的周期延拓。 而x(n)是 的一个周期 6 以等于序列长度为周期进行周期延拓 7 以大于序列长度为周期进行周期延拓，后面为零 8 主值序列: 主值区间上的序列。 思考：如果以小于序列长度为周期进行周期延拓会如何？ 主值区间: 周期序列 中从n=0 到n=N-1的第一个周期 。 NM时， 假设有限长序列长度为M，延拓周期为N，则： 有限长序列 周期序列 主值序列 周期延拓 取主值 9 4、频域周期序列 与有限长序列X(k)的关系 周期序列 是有限长序X(k)的周期延拓 有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。 10 5、从DFS到DFT 从上式可知，DFS, IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1, k=0到N-1的主值区间进行,完全适用于主值序列x(n),X(k) 由此得到限长序列离散傅里叶变换(DFT)的定义。 DFS 变换对 11 二、 离散傅里叶变换(DFT)定义 0kN-1 0nN-1 式中 正变换 反变换 长度为M的有限长序列x(n)的N（NM）点DFT定义： 12 定义说明： x(n)与X(k)中，已知其中的一个序列，就能惟一地确定 另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列 ，都有N个独立值（可以是复数），所以信息等量。 在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长 序列都是作为周期序列的一个周期来表示的，即离散 傅里叶变换隐含着周期性。 有限长序列x(n)的N点DFT正好是x(n)的周期延拓序列 x(n)N的离散傅里叶级数系数X(k)N的主值序列。 13 显然 x(n)的N点DFT是其傅里叶变换在0，2上的N点等间 隔采样，其采样间隔为N=2/N。或是其z变换在单位 圆上的N点等间隔采样，采样点为 0kN-1 与DTFT及z变换的关系？ 14 易知，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ej)在区 间0, 2上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT 的变换结果也不同。 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 15 16 例1 已知序列x(n)=(n)，求它的N点DFT。 解 k=0, 1, , N-1 对序列(n)，不论对它进行多少点的DFT，所得结果 都是一个离散矩形序列。 17 例 2 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT。 当N=8， 则 解： 18 当N=16， 则 19 对于同一个序列 x(n)，DFT的变换区间长度N不同，在 区间0, 2上对 的采样间隔和采样点数就不同 ， DFT的变换结果也不同。 N=16 N=8 20 例 3 有限长序列x(n)为 0n4 其余n 求其N=5，10点离散傅里叶变换X(k)。 k=0, 1, 2, 3, 4 k=0 k=1, 2, 3, 4 21 N=5 22 N=10 23 例 4 有限长序列x(n)为 求其N=4点离散傅里叶变换X(k)。 24 由Matlab计算序列的DFT 函数形式： X