工程图学第三章换面法.ppt

第三章 投影变换换面法 本章介绍投影变换，仅介绍变换投影面 法，它是解决空间几何元素定位和度量 的一种简单有效的方法。 图解问题的难易程度不仅取决于问题本 身的复杂程度，而且在很大程度上还 取决于几何元素与投影面以及投射方向 的相对位置。 一般位置元素和特殊位置元素求解方法比较 换面法基本原理 投影变换基本方法： 1、换面法 2、旋转法 换面法 一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？ 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。 解决方法：更换投影面。 V H A B a b a b 二、新投影面的选择原则 1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 平行于新的投影面 垂直于新的投影面 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。 P a1 b1 V H A a a ax X 更换一次投影面 旧投影体系 X V H 新投影体系 P1 H X1 A点的两个投影：a， a A点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立 三、点的投影变换规律 X1 P1 a1 ax1 V H X P1 H X1 a a a1 ax ax1 . ax1 V H X P1 H X1 a a a1 V H A a ax X X1 P1 a1 ax1 新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = aax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 ax a 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 . XV H a a ax 更换H面 求新投影的作图方法 V H X P1 H X1 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。 a a X1P1 H a1 ax ax1 ax1 更换V面 a1 作图规律： . . 更换两次投影面 先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系: P1 H X1 再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系: X2 P1 P2 新投影体系的建立 按次序更换 A a V H a ax X X1 P1 a1 ax1 P2 X2 ax2 a2 ax2 a a X V H 求新投影的作图方法 a2 X1 H P1X2 P1 P2 作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1 a1 ax ax1 . . V H A B a b a b 四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。 X1 H P1 P1 a1 b1 空间分析： 换H面行吗？不行！ 作图： 例：求直线AB的实长及与H面的夹角。 a b a b X V H 新投影轴的位置？ a1 b1 与ab平行。 . a1 b1 V H a a X B b b A 2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析： a b a b XV H X1 H1 P1 P1P2 X2 作图： X1 P1 a1 b1 X2 P2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 X2轴的位置？ a2b2 ax2 a2b2 . 与a1b1垂直 一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直线变换 成投影面垂直线，需经 几次变换？ a b c a b c d V H A B C D X d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 P1 X1 c1 b1 a1d1 空间分析： 在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 作图方法： 两平面垂直需满足什么条件？ 能否只进行一次变换？ 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ 正平线！ a b c a c b X V H 例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。 H P1 X1 作 图 过 程： 在平面内取一条水平 线AD。 d d 将AD变换成新投影 面的垂直线。 d1 a1d1 c1 反映平面对哪 个投影面的夹角？ . a1b1 需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 X2 P1 P2 4. 把一般位置平面变换成投影面平行面 a b a c b X V H c 作 图： AB是水平 线 空间分析： a2 c2 b2 c1 X2轴的位置？ 平面的实形 . X1 H P1 . 与其平行 b1 距离 d d1 X1 H P1 X2 P1P2 c2 d 例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 c c b a a b X V H 五、换面法的应用 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。 A P B D C c abd 作图: 求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 空间及投影分析： c1 a1 a2b2d2 过c1作线平行于x2轴。 . . . 如何确定d1 点的位置？ b a a b c d c 例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 MN m d a1b1m1 n 1 c1 d1 n 空间及投影分析： V H X H P1 X1 圆半径=MN n m 当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1c1d1。 P1 A C D N M c1 d1 a1m1b1 n1 B 作图： 请注意各点的投 影如何返回？ 求m点是难点。 . . 空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影 的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平 面变换成投影面平行面。 例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。 d X1 H P1 X1 P1 P2 a b a c b X V H c 作 图： c2 c1 a1b1 a2 d2 d b2 几个解？ 两个解！ 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。 思考： 如何解？ 解法相同！ 60 D点的投影 如何返回？ . . P2 P1 X2 H P1 X1 c d b a d a c b d1 c1 a1 d2 b1 c2 a2 b2 V H X 例4：求平面ABC和ABD的两面角。 空间及投影分析： 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 时所得两交线之间的夹角。 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 所求。 . . 小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。 一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。 换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 1. 把一般位置直线变成投影面平行线 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件