《数学物理方法》第十一章_10-2008级.ppt

继续努力 坚持不懈 愉快学习 1 第十一章 分离变量法 本章的前三节依次讨论直角坐标系 、柱坐标系、球坐标系中的分离变 量法； 11.4节介绍施图姆一刘维尔本征值 间题,它是分离变量法的理论基础. 通过这一节的讨论,让我们从新的理 论高度认识分离变量法 2 分离变量法的基本思想, 特点与关键步骤 l分离变量法的基本思想是,先求出具有变量 分离形式且满足边界条件的特解, 然后根据 叠加原理作出这些解的线性叠加, 最后由其 余的定解条件确定待定系数, 得到定解问题 的解. l分离变量法的特点是把偏微分方程化为常 微分方程来处理,使问题化难为简. l分离变量法的关键步骤是求解本征值问题, 即求解含有参量久的齐次常微分方程的边值 问题.其边界条件分别为齐次边界条件、周 期性边界条件和自然边界条件(有界性边界 条件) 3 分离变量法适用于波动问题、输运问题 和稳定场问题在特殊域 n矩形、长方形 (直角坐标系) n圆、圆柱体 (柱坐标系) n圆球 (球坐标系) 中的定解问题, 因为这些特殊域正好常 常在实际问题中出现, 这是分离变量法 有广泛的应用的原因. 4 11.1 直角坐标系中的分离变量法 本节先讨论齐次方程及齐次边界 条件的定解问题, 随后讨论对非齐次方程及非齐次 边界条件的处理, 最后讨论高维的情形. 5 11.1.1 齐次方程及齐次边界条件的定解问题 l首先通过实例说明用分离变量法解题的六个 基本步骤. l【例11.1.1】求两端固定的弦自由振动的规 律. 解 定解问题为 1.分离变量 l令 u(x,t)X(x)T(t) (11.1.4) 6 将式 u(x,t)X(x)T(t) 代入泛定方程(11.1.1), 得 l由于上式右端与x无关, 左端与t无关, 而x与t 又是互相独立的变量, 因此上式只有等于常 数才能成立。 l令常数为-l , 便得到两个常微分方程 X“(x) + l X(x) 0 (11.1.5) T“(t) + la2T(t) 0 (11.1.6) -l 7 将式(11.1.4)代入边界条件(11.1.2),可得 u(0,t)X(0)T(t)0, u(l,t)X(l)T(t)0 l若T(t)0, 代入式(11.1.4)得u(x,t)0, 是平庸 解,应略去。由此得边界条件 X(0)0, X(l)0 (11.1.7) X“(x) + l X(x) 0 X(0)0, X(l)0 8 几种常用的常系 数微分方程的解 9 附 录 几种常用的常系数常微分方程的解 l(一)齐次方程 1方程 y“- l2y 0 的通解, 将尝试解 y erx 代入方程得 r2 - l2 0 特征根为l， 将r l代入尝试解得方程的二个特解 ，其线性组合即为通解 y c1elx+c2e-lx (1) 10 2方程 y“+ l2y 0 的通解有三种形式.将尝试解 y erx 代入方程得 r2 + l2 0 特征根为il ，将r il 代入尝试解得方程的二个特解，其 线性组合即为通解 y c1eilx+c2e-ilx (2) 利用尤拉公式 e士ilx coslx士 isinlx 代入(2)式 ，可得 y D1coslx + D2sinlx (3) 令D1 Esind 及 D2 Ecosd ，其中E及d为待定常 数，则(3)式可写为 y E sin (lx + d) (4) 11 3方程 y“ py qy 0 的特征方程为 r2 pr q 0 设它的根为r1,r2，则 1)当r1 r2 (实根)时，通解为 y c1er1x+c2er2x (5) 2)当r1 r2 r(实根)时，通解为 y (c1+ c2x)erx (6) 3)当 r1 a + ib , r2 a - ib 时，通解为 y eax (c1cosbx + c2sinbx) (7) 12 l(二)非齐次方程 y“ py qy f(x) (8) 设 与(8)式相应的齐次方程 y“ py qy 0 的线性无关的特解是y1(x), y2(x)。 1非齐次方程的通解是相应齐次方程的通 解 y c1 y1(x), + c2y2(x) 与非齐次方程的特解之和 13 2常数变易法将c1 变为u(x), c2变为v(x), 即设(8)式的解具有下述形式 y u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9) 将它代入(8) 式，得到确定u(x)为v(x) 的一个条件 (uy1+vy2)“+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)f(x) (10) 确定两个函数需要两个条件，因此还可以 附加一个确定u(x) , v(x)的条件 14 为此，对 y u(x) y1(x), + v(x)y2(x) (9)式两 边求导，得 y (u y1+ vy2) + (uy1+vy2) (11) 为方便起见，第二个条件规定上武第二项为 零，即 uy1+ vy2 0 (12) 将(12)式代入10 式，并利用 y1(x)及y2(x)是齐 次方程的解，即有 uy1+ vy2 f(x) (13) 将(12)式、(13)式联立，即可求出 15 uy1+ vy2 0 (12 ) uy1+ vy2 f(x) (13) 16 uy1+ vy2 0 u“y1+ uy1+ v “y2 + vy2 0 u“y1+ v“y2 - (uy1+ v y2) (uy1+vy2)“+p(uy1+vy2)+q(uy1+vy2)f(x) (10) (uy1+vy2)“ (u“y1+2uy1+ uy1“) + (v“y2+2vy2+ vy2“) p(uy1+vy2) p(uy1+ uy1)+ p(vy2+ vy2) q(uy1+vy2) 17 (u“y1 +2uy1+ uy1“)+ p(uy1 +uy1) + quy1 + (v“y2 +2vy2+ vy2“)+ p(vy2+ vy2) + qvy2 (u“y1 + puy1 + quy1) + (vy2“+ pvy2+ qvy2) + u“y1+2uy1+ puy1 +v“y2 + 2vy2+ pvy2 u“y1+v“y2 + 2(uy1+ vy2)+p(vy2 + uy1 ) uy1 + vy2 f(x)18 19 回到主题 20 2.求解本征值问题 l式(11.1.5)及式(11.1.7)构成了常微分方程的 边值问题 l这称为本征值问题(进一步介绍详见11.4节) 。 l可以证明, 只有当l取某些特定值时才有非零 解, 求解本征值问题就是求解本征值l与本征 函数X(x). 21 现将l的取值分三种情况讨论： (1) 若l 0,方程的通解为 l由边界条件X(0) 0,得A 0.由X(l) 0， 得 l非零解要求B0,故 l本征值(加上脚标n)及相应的本征函数分别为 24 3. 求解T(t) 的常微分方程 l将本征值 代入式(11.1.6), 得到 l它的通解为 l式中Cn和Dn为任意常数 25 4. 作特解的线性叠加 l满足方程(11.1.1)及边界条件(11.1.2)的一系 列特解为 l这里已将任意常数Bn吸收到任意常数Cn和 Dn中去了 (11.1.11) 26 特解(11.1.11)一般不满足初始条件(11.1.3), 实 际上由式(11.1.11)可得 l这表明,除非j(x)和y(x)同时为sin(npx/l)的倍 数,否则任何一个特解不可能满足题目给定 的初始条件； 27 l但考虑到方程(11.1.1)及边界条件(11.1.2)都 是齐次线性的, 因此将所有的特解线性叠加 起来,如果级数收敛, u(x,t)仍然满足方程 (11.1.1)与边界条件(11.1.2)；由此得 l而待定系数Cn和Dn可由初始条件来确定. 28 5. 由初始条件确定系数 将式(11.1.14)代入初始条件, 即有 l利用正弦函数的正交性(见附录E) 29 6.解的物理意义 l将Cn及Dn代入式(11.1.14)可得定解问题的解 l先看级数(11.1.14) 的每一项(即每一个特解) 的物理意义 30 31 回顾求解过程，可将分离变量法的解题步骤总结如下 32 【例11.1.2】 设长为l 的均匀杆，两端绝热, 杆 内初始温度分布为j(x), 求杆内温度随时间的 变化规律 l解 定解问题为 33 1. 分离变量 l令 u(x,t)X(x)T(t) (11.1.24) l将式(11.1.24)代入泛定方程，得 X“(x) + l X(x) 0 (11.1.25) T(t) + la2T(t) 0 (11.1.26) l将式(11.1.24)代入边界条件式(11.1.22)，可 得 X(0)0，X(l)0 (11.1.27) 2. 求解本征值问题 l(11.1. 25)与(11.1.27)构成常微分方程的边值问 题 X“(x) + l X(x) 0 X (0)0, X (l)0 34 同样，将l的取值分三种情况讨论 (1) 若l 0,方程的通解为 l由边界条件X(0) 0,得B 0. 由X(l) 0，得 l非零解要求A 0,故 l本征值(加上脚标n)及相应的本征函数分别为 (11.1.29) 37 综合式(11.1.28)及式(11.1.29)，本征值与本征 函数为 3. 求解T(t)的常微分方程 l将ln代入式(11.1.26)得 (11.1.30) 38 4. 作特解的线性叠加 l满足方程及边界条件的一系列特解为 l将特解线性叠加为 这说明，经过相当长的时间，均匀杆各 点的温度均等于初始温度的平均值 39 5. 由初始条件确定系数 l将式(11.1.33)代入初始条件 l利用余弦函数的正交性，可得 l将式(11.1.34)及式(11.1.35)代入式(111.33) 即得定解问题的解 40 6. 解的物理意义 l 杆内各点温度随时间变化的规律由式 (11.1.33)给出。初始时刻，杆内各点温度分 布已知：u(x,0)j(x)；当t 时, 杆内各点 温度相等. l实际上，在式 (11.1.33)两端取t 的极限 ，并将 代入，即有 经过相当长的时间，均匀杆各点的温度均等于 初始温度的平均值C0 41 42 l 这两个例题可得出 X“(x) + l X(x) 0 在不同 的齐次边界条件下的本征函数系(表11-1).细 心的读者容易发现如下的规律: l(1)若齐次边界条件含X(0)0，则本征函数为 正弦函数；若齐次边界条件含X (0) 0，则 本征函数为余弦函数 l(2)若边界条件为同类齐次边界条件(均为第一 类或均为第二类)，则本征函数的宗量为 若边界条件属不同类齐次边界条件，则本征 函数的宗量为 43 表11-1在本征函数展开法中有重要的作用 X“(x) + l X(x) 0 44 11.1.2 非齐次方程 及 齐次边界条件 的定解问题 45 l对非齐次方程的定解问题；由于满足泛 定方程和边界条件的特解的线性组合，不 可能满足非齐次方程，因此分离变量法不 能直接应用。 l这里用本征函数展开法求解解题的方 法通过下述例题说明。 46 【例3】求两端固定弦的强迫振动的规律 解 本征函数展开法的基本步骤为 (1) 确定相应齐次问题的本征函数系本题相 应的齐次方程为 utt- a2uxx 0， l分离变量后得到常微分方程X“(x) + l X(x) 0 l分离变量后边界条件为X(0) 0，X(l) 0. l由表11-1可知本征函数为 47 (2) 将u(x,t)及方程的非齐次项f(x,t)按本征函 数系 展开 l显然， u(x,t)自动满足边界条件(11.1.37)。 l由 的正交性可得 48 l将式(11.1.39)代入式(11.1.38)得 49 (3)将两级数代入泛定方程 求展开系数Tn(t) l就构成了常微分方程的初值问题 50 由常数变易法可求得 (11.1.47) l将式(11.1.47)代入式(11.1.39)即为所求 l本征函数展开法是为求解非齐次方程的定解 问题提出来的当然也可用来求解齐次方 程的定解问题，读者可用本征函数展开法 重解例11. 1. 1及例11. 1.2. 51 11.1.3 非齐次方程 及 非齐次边界条件的 定解问题 52 设定解问题为 l现在，采用“边界条件齐次化”的方法求解， 即把非齐次边界条件的定解问题转化为齐次 边界条件的定解问题，再用本征函数展开法 来求解，它的基本步骤为： 53 l(1)设解u(x,t) v(x,t)+w(x, t)，为了让v(x, t) 满足齐次边界条件，适当选取w(x,t)，使它 满足u(x,t)的边界条件 w(0,t)u1(t)， w(l,t)u2(t) (11.1.51) l既然w(x,t)要满足式(11. 1. 51)的两个方程， 为了确定w(x,t) ，通常引入两个待定函数 A(t)和B(t).两者最简单的结合就是 w(x,t) A(t)x + B(t) (11.1.52) l将w(x,t)代入式(11.1.51)，求出A(t)和B(t)， 得 54 (2)求解v(x,t)的定解问题 l将 u v+w 代入式(11.1.48)、式 (11.1.49)、式(11.1.50)可得 l利用本征函数展开法可求得v(x,t)，再 由式(11.1. 53)即可求出u(x,t). 55 l对于非齐次项比较简单的题目，还可以 让w(x,t)同时满足u(x,t)的方程和边界条 件，这样v(x,t)的定解问题就可简化为 齐次方程及齐次边界条件的问题了. 56 【例11.1.4】求定解问题 解 (1) 设解 u(x,t) v(x,t) + w(x, t)，且 wtt- a2wxx a2/5；w(0,t)0，w(l,t)l/5 lw(x, t)要满足上述三个方程，不妨设 w(x, t) f2x2 + f1x + f0 (含三个待定系数) l代入上式，求出 f2 , f1 , f0 ，可得 57 (2) v(x,t)的定解问题为 l这是齐次方程、齐次边界条件的定解问题， 可解出v(x,t)-留作练习 l加上w(x,t)后，即得u(x,t). 58 总之 l对齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可 直接用分离变量法或用本征函数展开法； l对于非齐次方程及齐次边界条件的定解问题 ，可用本征函数展开法； l对于非齐次边界条件的定解问题，在非齐次 边界条件齐次化后用本征函数展开法。 l上面讨论的都是一维情形的分离变量法，最 后讨论二、三维情形的分离变量法 59 9.1.4 高维的定解问题 l下面以一个长方体中的热传导方程的定 解问题说明高维情形的分离变量法. l【例11.1.5】 求边长分别为a，b，c的 长方体中的温度分布，设物体表面温度 保持零度，初始温度分行为 u(x,y,z,0) j (x,y,z) 60 解 定解问题为 (1) 时空变量的分离 令 u(x,y,z,t) v(x,y,z)T(t) l代入式 ( 11. 1. 57) 可得 T (t) + l2kT(t) 0 (11.1.62) vxx+vyy+vzz + l2 v 0 (11.1.63) 61 (2) 空间变量的分离 l令 v(x,y,z)X(x)w(y,z), 代入式(11.1.63)及式 (11.1.58)可得关于X(x)的常微分方程及边界 条件, 构成本征值问题 l同时, w(y,z) 遵守 l再令w(y,z)Y(y)Z(z) 代入式(11.1.66)及式 (11.1.59)、式(11.1.60)可得另外两个本征值问 题 62 l三维分离变量法 三个本征值问题 63 (3)求解本征值问题 l这三个本征值问题的本征值与本征函数分别 为 l把上面三个式子相加, 得到关于v的 64 (4) 求解关于T(t)的常微分方程 将式(11.1.74)代入式(11.1.62),可求得T(t)的通 解 (5) 作特解的线性叠加.满足方程及边界条件的 一系列特解为 l由此得特解的线性叠加 (11.1.78) 65 (6)由初始条件确定系数 l将式(11.1.74)代入式(11.1.62)可得 l这是三重傅里叶级数 l由本征函数系的正交性可得 l将式(11.1.80)代入式(11.1.78)即得本定解问 题的解. (11.1.79) (11.1.80) 66 l在电动力学讨论谐振腔和波导管的问题时 ，将要用类似的方法求解亥姆霍兹方程的 边值问题 67 作业- 11.1 第220-1页 A组B组C组 1. 11.1.8 2. 11.1.12 3. 11.1.15 1. 11.1.7 2. 11.1.12 3. 11.1.13 1. 11.1.9 2. 11.1.12 3. 11.1.11 68 11.2 柱坐标系中的分离变量法 本节首先讨论波动方程、热传 导方程及拉普拉斯方程在柱坐 标系的分离变量; 然后分别讨论圆形域及柱形域 中定解问题的分离变量法 69 11.2.1 柱坐标系中三类典型数理方程的 分离变量 1. 时空变量的分离 (1) 波动方程为 l作时空变量的分离,令 w(x,y,z,t)u(x,y,z)T(t) (11.2.2) l代入式(11.2.1),整理后得 70 l上式左边与t无关,右边与x,y,z无关,故只 能等于一个常数(设为-b ), 由此得 T“+ a2b T 0 (11.2.3) 2u + b u 0 (11.2.4) lT(t)的方程是二阶常微分方程, u(x,y,z) 满足的方程(11.2.4), 称为亥姆霍兹方程. 71 (2) 热传导方程为 l同样作时空变量的分离,可得 T+ a2b T 0 (11.2.6) 2u + b u 0 (11.2.4) lT(t)的方程是一阶常微分方程, u(x,y,z) 仍满足亥姆霍兹方程, 只是常数a2的含 义依具体物理问题而异. 72 (3) 稳定场的方程 l拉普拉斯方程是描述稳定场的方程 , 它是亥姆霍兹方程在b 0时的特 例 2u 0 (11.2.7) l这表明, 对这三个方程进一步的分 离变量, 都归结为对亥姆霍兹方程 的分离变量. 73 2.柱坐标系中亥姆霍兹方程的分离变量 l在柱坐标系中, 亥姆霍兹方程(见附录A)为 l分离变量, 令 u(r, j, z) F(r)F(j)Z(z) (11.2.9) l代入式(11.2.8), 乘以 1/FFZ, 移项后得 l上式含r, j, z三个独立变量, 上式的左边与z 无关, 右边与r, j无关。因此, 两边只能等于 同一常数。设此常数为m , 则有 74 l用r2式(11.2.11)移项后得 l上式含r, j 两个独立变量, 其左边与j无关, 右边与r无关. 因此, 两边只能等于同一常数 . l设此常数为n2, 则可分离为两个常微分方程 75 其中b - m 可能大于或小于零. l若b - m 0, 设b - m l2, 式 (11.2.13) 变为 l若b - m 0, 方程的通解为 F(j) Avcosvj+Bvsinvj 代入式(11.2.25) 得 Avcos v(j +2p) +Bvsin v(j +2p) Avcosvj+Bvsinvj l显然, 仅当v取整数时上式才能成立, 即 vn 1, 2, l又因n取正整数及n取负整数时, 方程 (11.2.24)的解是线性相关的, 故只要取vn 1,2, 82 若v20, r(x)O,Q(x)0,上式 三个积分均不小于零,而且不难证明右端第 一、二项也大于或等于零(见习题11.4.2), 由 此得 ln0155 3.正交性定理 l对应于不同本征值的本征函数在区间 a,b上带权r(x)正交,即 l证明 设yn(x)及ym(x)是分别对应于ln 及lm 的 本征函数, 由施-刘型方程得 (11.4.26),